Matematyka 1 OO/Niestandardowe metryki - Historia wersji

Anula o 17:40, 26 maj 2015

2015-05-26T17:40:37Z

Anula o 17:34, 26 maj 2015

2015-05-26T17:34:42Z

Anula o 17:09, 26 maj 2015

2015-05-26T17:09:04Z

Anula o 20:16, 22 maj 2015

2015-05-22T20:16:58Z

Anula: Utworzono nową stronę "NOTOC ==Zadanie== Znaleźć koło o promieniu $R$ i środku w początku układu współrzędnych w metryce “miejskiej” zadanej wzorem :: ${\rm..."$

2015-05-22T13:03:15Z

Utworzono nową stronę "__NOTOC__ ==Zadanie== Znaleźć koło o promieniu <math>R</math> i środku w początku układu współrzędnych w metryce “miejskiej” zadanej wzorem ::<math> {\rm..."

Nowa strona

__NOTOC__

==Zadanie==

Znaleźć koło o promieniu <math>R</math> i środku w początku układu współrzędnych
w metryce “miejskiej” zadanej wzorem

::<math>
{\rm d}(A,B)=|x_B-x_A|+|y_B-y_A|
</math>

Warto wyjaśnić, skąd bierze się nazwa “metryka miejska”.
Odległość między dwoma punktami <math>A</math> i <math>B</math> nie jest zwykłą długością
odcinka łączącego te punkty, tylko długością krzywej łamanej złożonej
z odcinków równoległych do jednej z osi układu współrzędnych. To
odpowiada drodze, jaką musimy przebyć, jeśli możemy się poruszać
tylko ulicami, z których każda ma kierunek wschód-zachód lub
północ-południe.

[[File:MatematykaOptykaOkularowa_cwicz_sem1_picture_5.svg]]

Suma długości odcinków poziomych jest równa różnicy współrzędnych
<math>X</math> obu punktów, a suma długości odcinków pionowych jest równa
różnicy współrzędnych <math>y</math>.

Szukane koło składa się z punktów <math>A</math> spełniających warunek

::<math>
{\rm d}(A,O)=|x_A|+|y_A|\le R
</math>

Zacznijmy od okręgu o promieniu <math>r</math>:

::<math>
|x_A|+|y_A|=r
</math>

Najłatwiej jest rozwiązać to równanie po kolej w każdej
ćwiartce układu współrzędnych

<table class="wikitable">
<tr>
<td>a)</td>

<td><math>x>0,\,\,y>0</math>:</td>

<td><math>x+y=r</math></td>

<td><math>\Rightarrow </math></td>

<td><math>y=-x+r</math></td>

</tr>
<tr>
<td>b)</td>

<td><math>x>0,\,\,y<0</math>:</td>

<td><math>x-y=r</math></td>

<td><math>\Rightarrow </math></td>

<td><math>y=x-r</math></td>

</tr>
<tr>
<td>c)</td>

<td><math>x<0,\,\,y<0</math>:</td>

<td><math>-x-y=r</math></td>

<td><math>\Rightarrow </math></td>

<td><math>y=-x-r</math></td>

</tr>
<tr>
<td>d)</td>

<td><math>x<0,\,\,y>0</math>:</td>

<td><math>-x+y=r</math></td>

<td><math>\Rightarrow </math></td>

<td><math>y=x+r</math></td>

</tr>
</table>

Rysujemy wykresy wszystkich czterech linii prostych zadanych
równaniami <math>y=\mp x \mp r</math> i na każdej z nich zaznaczmy
odcinek spełniający odpowiedni warunek na znaki <math>x</math> i <math>y</math>

[[File:MatematykaOptykaOkularowa_cwicz_sem1_picture_6.svg]]

Koło o promieniu <math>R</math> jest sumą okręgów o promieniach <math>r\le R</math>

[[File:MatematykaOptykaOkularowa_cwicz_sem1_picture_7.svg]]

==Zadanie==

Znaleźć koło o promieniu <math>R</math> i środku w początku układu współrzędnych
w metryce “max” zadanej wzorem

::<math>
{\rm d}(A,B)=\max \left\lbrace |x_B-x_A|,|y_B-y_A|\right\rbrace
</math>

Takie koło składa się z punktów <math>A</math> spełniających warunek

::<math>
{\rm d}(A,O)=\max \left\lbrace |x_A|,|y_A|\right\rbrace \le R
</math>

Zacznijmy od okręgu o promieniu <math>r</math>:

::<math>
\max \left\lbrace |x_A|,|y_A|\right\rbrace =r
</math>

To równanie rozwiązujemy po kolej w każdej ćwiartce układu współrzędnych.
Dodatkowa komplikacja polega na tym, że każdą ćwiartkę musimy podzielić
na dwa obszary: <math>|x|>|y|</math> i <math>|x|<|y|</math>.

<table class="wikitable">
<tr>
<td>a)</td>

<td><math>x>y>0</math>:</td>

<td><math>\max \lbrace |x|,|y|\rbrace =|x|=x</math></td>

<td><math>\Rightarrow </math></td>

<td><math>x=r</math></td>

</tr>
<tr>
<td>b)</td>

<td><math>y>x>0</math>:</td>

<td><math>\max \lbrace |x|,|y|\rbrace =|y|=y</math></td>

<td><math>\Rightarrow </math></td>

<td><math>y=r</math></td>

</tr>
<tr>
<td>c)</td>

<td><math>|y|>x>0>y</math>:</td>

<td><math>\max \lbrace |x|,|y|\rbrace =|y|=-y</math></td>

<td><math>\Rightarrow </math></td>

<td><math>y=-r</math></td>

</tr>
<tr>
<td>d)</td>

<td><math>x>0>y>-|x|</math>:</td>

<td><math>\max \lbrace |x|,|y|\rbrace =|x|=x</math></td>

<td><math>\Rightarrow </math></td>

<td><math>x=r</math></td>

</tr>
<tr>
<td>e)</td>

<td><math>|x|>y>0>x</math>:</td>

<td><math>\max \lbrace |x|,|y|\rbrace =|x|=-x</math></td>

<td><math>\Rightarrow </math></td>

<td><math>x=-r</math></td>

</tr>
<tr>
<td>f)</td>

<td><math>0>x>y</math>:</td>

<td><math>\max \lbrace |x|,|y|\rbrace =|y|=-y</math></td>

<td><math>\Rightarrow </math></td>

<td><math>y=-r</math></td>

</tr>
<tr>
<td>g)</td>

<td><math>0>x>y</math>:</td>

<td><math>\max \lbrace |x|,|y|\rbrace =|y|=-y</math></td>

<td><math>\Rightarrow </math></td>

<td><math>y=-r</math></td>

</tr>
</table>

[[File:MatematykaOptykaOkularowa_cwicz_sem1_picture_8.svg]]

Koło o promieniu <math>R</math> jest sumą okręgów o promieniach <math>r\le R</math>

[[File:MatematykaOptykaOkularowa_cwicz_sem1_picture_9.svg]]

==Zadanie==

Znaleźć koło o promieniu <math>R</math> i środku w ustalonym punkcie
<math>P=(x_P,y_P)</math> w metryce “rzymskiej” zadanej wzorem

::<math>
{\rm d}(A,B)=\left\lbrace
\begin{array}{ll}
\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2} &
\exists _c\,\, [x_B,y_B]=c[x_A,y_A]
\\[6pt]
\sqrt{x_A^2+y_A^2}+\sqrt{x_B^2+y_B^2} &
w innych przypadkach
\end{array}
\right.
</math>

Warunek w pierwszej linii powyższego wzoru opisuje przypadek,
gdy punkty <math>A</math> i <math>B</math> leżą na jednej prostej przechodzącej
przez początek układu współrzędnych (“Rzym”). Dla takich punktów
ich wzajemna odległość
jest równa zwykłej odległości euklidesowej
<math>\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}</math>. W innych przypadkach
(dolna linia powyższego wzoru) odległość punktów <math>A</math>
i <math>B</math> jest sumą odległości
każdego z tych punktów od początku układu współrzędnych.
(Jeśli dwa punkty leżą na różnych “drogach prowadzących do
Rzymu”, to aby się dostać z jednego z nich do drugiego
musimy przejechać przez “Rzym”).

Szukane koło składa się z punktów <math>A</math> spełniających warunek

::<math>
{\rm d}(A,P)\le R
</math>

Jak zwykle, zacznijmy od okręgu o promieniu <math>r</math>. W tym przypadku
musimy być jednak bardziej uważni, niż w zadaniach poprzednich.
Powodem jest to, że w metryce “rzymskiej” kształt koła
zależy od jego promienia. Dla małych <math>r</math>, kołem (o środku różnym
od początku układu współrzędnych) są dwa punkty leżące na półprostej
łączącej dany punkt z początkiem układu współrzędnych, odległe od
<math>P</math> o <math>r</math>:

::<math>
r=\sqrt{(x_A-x_P)^2+(y_A-y_P)^2}
\qquad \qquad [x_A,y_A]=c[x_P,y_P]
</math>

Podstawiając drugie z tych równań do pierwszego, podniesionego
stronami do kwadratu, dostajemy

::<math>
r^2
=
(cx_P-x_P)^2+(cy_P-y_P)^2
=
(c-1)^2(x_P^2+y_P^2)
</math>

Obliczamy stąd liczbę <math>c</math>:

::<math>
(c-1)^2=\frac{r^2}{x_P^2+y_P^2}
</math>

::<math>
c-1=\pm \frac{r}{\sqrt{x_P^2+y_P^2}}
</math>

::<math>
c=1\pm \frac{r}{\sqrt{x_P^2+y_P^2}}
</math>

Wstawiając <math>c</math> do warunku łączącego współrzędne punktu <math>A</math>
ze współrzędnymi punktu <math>P</math> (warunek opisujący fakt, że <math>A</math> i
<math>P</math> leżą na jednej półprostej zaczynającej się w środku
układu współrzędnych)

::<math>
[x_A,y_A]=c[x_P,y_P]
</math>

otrzymujemy

<math>\begin{matrix}
x_{A_\pm }=x_P\pm \frac{rx_P}{\sqrt{x_P^2+y_P^2}}
\\
y_{A_\pm }=y_P\pm \frac{ry_P}{\sqrt{x_P^2+y_P^2}}
\end{matrix}</math>

[[File:MatematykaOptykaOkularowa_cwicz_sem1_picture_10.svg]]

Kształt koła o promieniu <math>r</math> jest inny dla <math>r>\sqrt{x_P^2+y_P^2}</math>.
Punkty <math>A_-</math> i <math>A_+</math> nadal leżą na prostej <math>OP</math>, z tym, że <math>A_-</math>
znajduje się “po drugiej stronie” początku układu współrzędnych,
co odpowiada ujemnej wartości współczynnika <math>c</math>:

::<math>
c_-=1-\frac{r}{\sqrt{x_P^2+y_P^2}}<0
</math>

Okrąg o promieniu <math>r>\sqrt{x_P^2+y_P^2}</math> zawiera jednak nie
tylko punkty <math>A_-</math> i <math>A_+</math>, ale także punkty niewspółliniowe
z <math>O</math> i <math>P</math>. Położenie takich punktów znajdujemy korzystając
ze wzoru na odległość punktów nie leżących na jednej “drodze”
prowadzącej do “Rzymu”:

::<math>
d(A,P)=\sqrt{x_A^2+y_A^2}+\sqrt{x_P^2+y_P^2}
</math>

Przyrównujemy te odległość do <math>r</math>:

::<math>
r=\sqrt{x_A^2+y_A^2}+\sqrt{x_P^2+y_P^2}
</math>

::<math>
x_A^2+y_A^2=\left(r-\sqrt{x_P^2+y_P^2}\right)^2
</math>

Jest to zwykły okrąg o promieniu <math>r-\sqrt{x_P^2+y_P^2}</math> i środku
w początku układu współrzędnych.

[[File:MatematykaOptykaOkularowa_cwicz_sem1_picture_11.svg]]

Okrąg w metryce “rzymskiej” o środku w punkcie
<math>P=(x_P,y_P)</math> i promieniu <math>r>\sqrt{x_P^2+y_P^2}</math>
jest sumą zwykłego okręgu o środku w początku układu współrzędnych
i promieniu <math>r-\sqrt{x_P^2+y_P^2}</math> i punktu <math>A_+</math> leżącego
na półprostej <math>OP</math> w odległości <math>r</math> od punktu <math>P</math>.

Znając kształty okręgów, możemy wyznaczyć postać kół o środku
w punkcie <math>P=(x_P,y_P)</math>. Jeśli promień koła <math>R</math> jest nie większy niż
<math>\sqrt{x_P^2+y_P^2}</math>, to kołem o tym promieniu jest suma
“dwupunktowych” okręgów o <math>r\le R</math>, czyli

[[File:MatematykaOptykaOkularowa_cwicz_sem1_picture_12.svg]]

Jeśli promień <math>R</math> przekracza wartość <math>\sqrt{x_P^2+y_P^2}</math>,
koło jest sumą odcinka i zwykłego koła o środku w początku układu
współrzędnych i promieniu <math>R-\sqrt{x_P^2+y_P^2}</math>

[[File:MatematykaOptykaOkularowa_cwicz_sem1_picture_13.svg]]

Na koniec pozostaje rozpatrzeć przypadek, gdy środek okręgu
<math>P</math> pokrywa się z początkiem układu współrzędnych <math>O</math>.
W takim przypadku odległość w metryce “rzymskiej”
sprowadza się do odległości euklidesowej

::<math>
d(A,O)=\sqrt{x_A^2+y_A^2}
</math>

i koło o promieniu <math>R</math> jest zwykłym kołem o takim samym promieniu
i środku w początku układu współrzędnych.

==Zadanie==

Warto zrobić proste zadanie, które pokazuje, że mówienie o różnych
metrykach nie jest tylko “akademicką zabawą”. Można np. zadać pytanie: jaka jest odległość z Gdyni do Kapsztadu.
Przyjmujemy następujące dane: oba miasta mają taką samą długość
geograficzną (około <math>18^{\circ }30^{\prime }</math>E), a szerokości geograficzne
odpowiednio <math>54^{\circ }30^{\prime }</math>N i <math>34^{\circ }</math>S, natomiast promień
Ziemi wynosi <math>R=6370</math> km.

Odpowiedzi na pytanie od odległość między tymi dwoma miastami mogą
być aż trzy:

<ol>

<li>
Oba miasta leżą na jednym południku, który jest (w przybliżeniu)
okręgiem o promieniu <math>R</math>. Kąt między promieniami tego okręgu
przechodzącymi przez te miasta wynosi
<math>\alpha =54,5^\circ +34^\circ =88,5^\circ </math>.
Odległość w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej wynosi więc

::<math>
d_E=2R\sin \left(\frac{\alpha }{2}\right)
</math>

Taka odległość odpowiada długości prostoliniowego tunelu
łączącego oba miasta (gdyby taki tunel istniał).

<li>
Odległość mierzona wzdłuż okręgu, czyli po powierzchni Ziemi
wynosi

::<math>
d_S=R\alpha ,\,
</math>

gdzie kąt <math>\alpha </math> jest wyrażony w radianach

::<math>
\alpha =\pi \frac{88,5}{180}
</math>

Oczywiście odległość po okręgu (po powierzchni Ziemi)
jest większa od odległości po cięciwie (wzdłuż tunelu)

::<math>
\sin \left(\frac{\alpha }{2}\right)<\frac{\alpha }{2}
\qquad \Rightarrow \qquad d_E<d_S
</math>

[[File:MatematykaOptykaOkularowa_cwicz_sem1_picture_14.svg]]

<li>
Odległość między dwoma portami można też zdefiniować, jako
długość drogi, jaką musi przebyć statek. Jest ona większa od obu
poprzednich odległości i na dodatek dość skomplikowana (zależy
od kształtu i położenia kontynentów).

</ol>

Odległości a) i b) można opisać dwiema metrykami na okręgu
(wydaje się, że wprowadzanie metryki na sferze może być zbyt
skomplikowane dla słuchaczy tych zajęć):

::<math>
d_E(\phi _1,\phi _2)=2R\sin \left(\frac{\phi _2-\phi _1}{2}\right),\,
</math>

::<math>
d_S(\phi _1,\phi _2)=R|\phi _1-\phi _2|,\,
</math>

gdzie <math>\phi _i</math> są wartościami wspołrzędnej kątowej
opisującej położenie danych punktów na okręgu.

@@ Linia 346: / Linia 346: @@
 w początku układu współrzędnych.
-[[File:MatematykaOptykaOkularowa_cwicz_sem1_picture_11.svg]]
+[[File:MatematykaOptykaOkularowa_cwicz_sem1_picture_11.png]]
 Okrąg w metryce “rzymskiej” o środku w punkcie