Anula: Utworzono nową stronę "NOTOC ==Zadanie== :: $\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime }=(x^{-1})^{\prime }=-x^{-1-1}=-x^{-2}=-\frac{1}{x^2}$ ==Zadanie== :: $\left(\frac{x^{4..."$

2015-05-22T13:04:24Z

Utworzono nową stronę "__NOTOC__ ==Zadanie== ::<math> \left(\frac{1}{x}\right)^{\prime }=(x^{-1})^{\prime }=-x^{-1-1}=-x^{-2}=-\frac{1}{x^2} </math> ==Zadanie== ::<math> \left(\frac{x^{4..."

Nowa strona

__NOTOC__

==Zadanie==

::<math>
\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime }=(x^{-1})^{\prime }=-x^{-1-1}=-x^{-2}=-\frac{1}{x^2}
</math>

==Zadanie==

::<math>
\left(\frac{x^{4/3}}{1+e^x}\right)^{\prime }
=
\frac{\frac{4}{3}x^{1/3}(1+e^x)-x^{4/3}e^x}{(1+e^x)^2}
=
\frac{4}{3}\,\frac{x^{1/3}}{1+e^x}-\frac{x^{4/3}e^x}{(1+e^x)^2}
</math>

==Zadanie==

::<math>
(\sin ^2{x}+\cos ^2{x})^{\prime }
=2\sin {x}\cos {x}+2\cos {x}(-\sin {x})=0
</math>

co można obliczyć prościej korzystając z jedynki trygonometrycznej
<math>(\sin ^2{x}+\cos ^2{x})^{\prime }=1^{\prime }=0</math>

==Zadanie==

<math>\ln {x}</math> jako funkcja odwrotna do <math>e^x</math>

::<math>
\left(\ln {x}\right)^{\prime }
=
\left.\frac{1}{(e^y)^{\prime }}\right|_{y=\ln {x}}
=\left.\frac{1}{e^y}\right|_{y=\ln {x}}=\frac{1}{e^{\ln {x}}}=\frac{1}{x}
</math>

==Zadanie==

Podkreślić różnicę między <math>\sin (\sin (x))</math> a <math>(\sin (x))^2</math>.
Pochodne tych funkcji też (oczywiście) są różne:
<math>[\sin (\sin (x))]^{\prime }=\cos (\sin (x))\cdot \cos (x)</math>,
<math>[(\sin (x))^2]^{\prime }=2\sin (x)\cdot \cos (x)</math>

==Zadanie==

<math>\begin{matrix}
&&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\left[\frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2}+\frac{1}{2}\arcsin {x}\right]^{\prime }
=\frac{1}{2}\sqrt{1-x^2}+\frac{1}{2}x\frac{1}{2}\frac{-2x}{\sqrt{1-x^2}}
+\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
\\&&\!\!\!\!
=\frac{1}{2}\left[
\sqrt{1-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
\right]
=\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\left[\sqrt{1-x^2}^2-x^2+1\right]
\\&&\!\!\!\!
=\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\left[2(1-x^2)\right]
=\frac{1-x^2}{\sqrt{1-x^2}}
=\sqrt{1-x^2}
\end{matrix}</math>

==Zadanie==

::<math>
\left(e^{-1/x^2}\right)^{\prime }
=e^{-1/x^2}\left({-1/x^2}\right)^{\prime }
=e^{-1/x^2}\left(-\frac{-2}{x^3}\right)
=\frac{2e^{-1/x^2}}{x^3}
</math>

==Zadanie==

::<math>
\left[\sin \left(\frac{1}{x}\right)\right]^{\prime }
=\cos \left(\frac{1}{x}\right)\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime }
=-\frac{\cos \left(\frac{1}{x}\right)}{x^2}
</math>

Dwie ostatnie funkcje nie są ani określona ani różniczkowalne w <math>x=0</math>.

==Zadanie==

Rozpatrzmy następującą funkcję:

::<math>
F(x)=\left\lbrace
\begin{array}{ll}
|x|^{3/2}\sin \left(\frac{1}{x}\right) & dla x\ne 0
\\[8pt]
0 & dla x=0
\end{array}
\right.
</math>

Wiemy już, że <math>\sin (1/x)</math> nie jest różniczkowalne w <math>x=0</math>.
Sprawdzamy teraz różniczkowalność <math>|x|^{3/2}</math>

::<math>
\left(|x|^{3/2}\right)^{\prime }=\frac{3}{2}|x|^{1/2}\cdot (|x|)^{\prime }
</math>

gdzie

::<math>
|x|^{\prime }=
\left\lbrace
\begin{array}{ll}
\mathrm{dla}\ x>0 & (x)^{\prime }=+1
\\[8pt]
\mathrm{dla}\ x=0 &\ \mathrm{pochodna\ nie\ istnieje}
\\[8pt]
\mathrm{dla}\ x<0 & (-x)^{\prime }=-1
\end{array}
\right.
</math>

co można zapisać jako <math>|x|^{\prime }=\frac{x}{|x|}</math> (to wyrażenie, jak i sama pochodna
<math>|x|</math>, jest określone tylko dla <math>x\ne 0</math>).

Korzystając z powyższych wzorów, dla <math>x\ne 0</math> dostajemy:

<math>\begin{matrix}
&&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
F^{\prime }(x)=\left[|x|^{3/2}\sin \left(\frac{1}{x}\right)\right]^{\prime }
=\left(|x|^{3/2}\right)^{\prime }\sin \left(\frac{1}{x}\right)
+|x|^{3/2}\left[\sin \left(\frac{1}{x}\right)\right]^{\prime }
\\[4pt]&&\!\!\!\!
=\frac{3}{2}|x|^{1/2}\frac{x}{|x|}\sin \left(\frac{1}{x}\right)
+|x|^{3/2}\cos \left(\frac{1}{x}\right)\left(-\frac{1}{x^2}\right)
=\frac{3}{2}\frac{x}{\sqrt{|x|}}\sin \left(\frac{1}{x}\right)
-\frac{|x|^{3/2}}{x^2}\cos \left(\frac{1}{x}\right)
\\[4pt]&&\!\!\!\!
=\frac{3}{2}\frac{x}{\sqrt{|x|}}\sin \left(\frac{1}{x}\right)
-\frac{1}{\sqrt{|x|}}\cos \left(\frac{1}{x}\right)
\end{matrix}</math>

Pochodną funkcji <math>F(x)</math> w <math>x=0</math> trzeba liczyć z definicji:

<math>\begin{matrix}
F^{\prime }(0)
&&\!\!\!\!\!\!\!\!
=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}\frac{F(0+\varepsilon )-F(0)}{\varepsilon }
=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}\frac{F(\varepsilon )}{\varepsilon }
=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}
\frac{|\varepsilon |^{3/2}\sin \left(\frac{1}{\varepsilon }\right)}{\varepsilon }
\\
&&\!\!\!\!\!\!\!\!
=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}\left[\sqrt{|\varepsilon |}\,
\frac{|\varepsilon |}{\varepsilon }\sin \left(\frac{1}{\varepsilon }\right)\right]
=0
\end{matrix}</math>

Ostatnia równość wynika z tego, że wyrażenie
<math>\frac{|\varepsilon |}{\varepsilon }\sin \left(\frac{1}{\varepsilon }\right)</math>
dla każdego <math>\varepsilon </math> ma skończona wartość z przedziału <math>[-1,+1]</math>,
a <math>\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}\sqrt{|\varepsilon |}=0</math>. Funkcja <math>F(x)</math> jest
więc różniczkowalna w <math>x=0</math> i <math>F^{\prime }(0)=0</math>.

Zbadajmy, czy pochodna <math>F^{\prime }(x)</math> jest ciągła w <math>x=0</math>. W tym celu liczymy
granicę:

::<math>
\lim _{x\rightarrow 0^+}F^{\prime }(x)
=\lim _{x\rightarrow 0^+}\left[\frac{3}{2}\frac{x}{\sqrt{|x|}}\sin \left(\frac{1}{x}\right)
-\frac{1}{\sqrt{|x|}}\cos \left(\frac{1}{x}\right)\right]
=0-\lim _{x\rightarrow 0^+}\frac{\cos \left(\frac{1}{x}\right)}{\sqrt{|x|}}
</math>

Ta ostatnia granica nie istnieje. Przy zbliżaniu się do <math>x=0^+</math>
wyrażenie <math>\cos (1/x)/\sqrt{|x|}</math> oscyluje wokół zera z rosnącymi
amplitudą i częstością. Podobnie nie istnieje granica przy <math>x=0^-</math>.

Funkcja <math>F(x)</math> jest ciągła i różniczkowalna dla każdego <math>x</math>, w tym także
dla <math>x=0</math>, natomiast jej pochodna <math>F^{\prime }(x)</math> nie jest ciągła w <math>x=0</math>.

==Zadanie==

Trzeba obliczyć granice kilku funkcji wykładniczych, w których
i podstawa i wykładnik zależą od zmiennej niezależnej:

=== <math>\lim _{x\rightarrow 0}x^x</math> ===

(wyrażenie typu “<math>0^0</math>” nie jest jednoznacznie określone: <math>x^0=1</math> ale
<math>0^x=0</math> dla <math>x>0</math> i jest rozbieżne dla <math>x<0</math>)

::<math>
\lim _{x\rightarrow 0}x^x
=\lim _{x\rightarrow 0}e^{\ln (x^x)}
=\lim _{x\rightarrow 0}e^{x\ln (x)}
=e^{\lim _{x\rightarrow 0}(x\ln (x))}=e^0=1
</math>

=== <math>\lim _{x\rightarrow 1}x^{1/(x-1)}</math> ===

(wyrażenie typu “<math>1^\infty </math>”)

<math>\begin{matrix}
&&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\lim _{x\rightarrow 1}x^{1/(x-1)}
=\lim _{x\rightarrow 1}e^{\ln (x^{1/(x-1)})}
\lim _{x\rightarrow 1}e^\frac{\ln (x)}{(x-1)}
=e^{\lim _{x\rightarrow 1}\frac{\ln (x)}{(x-1)}}
=e^{\lim _{x\rightarrow 1}\frac{(\ln (x))^{\prime }}{(x-1)^{\prime }}}
\\&&\!\!\!\!
=e^{\lim _{x\rightarrow 1}\frac{1/x}{1}}
=e^{\lim _{x\rightarrow 1}\frac{1}{x}}=e^1=e
\end{matrix}</math>

=== <math>\lim _{x\rightarrow x_0}x^{1/x}</math> dla kilku wartości <math>x_0</math> ===

::<math>
\lim _{x\rightarrow 0^+}x^{1/x}
=\lim _{x\rightarrow 0^+}e^{\ln (x^{1/x})}
=\lim _{x\rightarrow 0^+}e^{\ln (x)/x}
=e^{\lim _{x\rightarrow 0^+}(\ln (x)/x)}=0
</math>

::<math>
\lim _{x\rightarrow 1}x^{1/x}=1^1=1
\qquad \qquad \qquad \lim _{x\rightarrow 2}x^{1/x}=2^\frac{1}{2}=\sqrt{(}2)
</math>

::<math>
\lim _{x\rightarrow \infty }x^{1/x}
=\lim _{x\rightarrow \infty }e^{\ln (x)/x}
=\lim _{x\rightarrow \infty }e^{(\ln (x))^{\prime }/(x)^{\prime }}
=\lim _{x\rightarrow \infty }e^{(1/x)}
=e^{\lim _{x\rightarrow \infty }(1/x)}=e^0=1
</math>

===Zadanie===

<math>\begin{matrix}
&&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\left(x^{\arcsin {x}}\right)^{\prime }
=\left(e^{\ln (x^{\arcsin {x}})}\right)^{\prime }
=\left(e^{{\arcsin {x}}\ln (x)}\right)^{\prime }
=e^{{\arcsin {x}}\ln {x}}\left({{\arcsin {x}}\ln {x}}\right)^{\prime }
\\&&\!\!\!\!
=e^{{\arcsin {x}}\ln {x}}\left[(\arcsin {x})^{\prime }\ln (x)+\arcsin {x}(\ln {x})^{\prime }\right]
=e^{{\arcsin {x}}\ln {x}}
\left[\frac{\ln (x)}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{\arcsin {x}}{x}\right]
\\&&\!\!\!\!
=x^{\arcsin {x}}
\left[\frac{\ln (x)}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{\arcsin {x}}{x}\right]
\end{matrix}</math>

Matematyka 1 OO/Pochodne funkcji - Historia wersji

Anula: Utworzono nową stronę "__NOTOC__ ==Zadanie== :: \left(\frac{1}{x}\right)^{\prime }=(x^{-1})^{\prime }=-x^{-1-1}=-x^{-2}=-\frac{1}{x^2} ==Zadanie== :: \left(\frac{x^{4..."

Anula: Utworzono nową stronę "NOTOC ==Zadanie== :: $\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime }=(x^{-1})^{\prime }=-x^{-1-1}=-x^{-2}=-\frac{1}{x^2}$ ==Zadanie== :: $\left(\frac{x^{4..."$