Szereg Fouriera - Historia wersji

Durka: /* Energia, moc, widmo */

2024-10-11T08:24:48Z

Energia, moc, widmo

Durka: /* Energia, moc, widmo */

2024-10-11T08:22:39Z

Energia, moc, widmo

Durka: /* Energia, moc, widmo */

2024-10-11T08:22:03Z

Energia, moc, widmo

Durka: /* AS/ Szereg Fouriera */

2024-10-11T08:20:42Z

AS/ Szereg Fouriera

Durka: /* AS/ Szereg Fouriera */

2024-10-11T08:10:59Z

AS/ Szereg Fouriera

Durka: /* Energia, moc, widmo */

2024-10-10T17:26:37Z

Energia, moc, widmo

Durka: /* Energia, moc, widmo */

2024-10-10T17:25:37Z

Energia, moc, widmo

Durka o 17:24, 10 paź 2024

2024-10-10T17:24:15Z

Durka: /* Tożsamość Parsevala dla szeregów Fouriera */

2024-10-10T16:49:41Z

Tożsamość Parsevala dla szeregów Fouriera

Durka: /* AS/ Szereg Fouriera */

2024-10-10T16:46:41Z

AS/ Szereg Fouriera

@@ Linia 148: / Linia 148: @@
 Tak więc z <xr id="eq:15">wzoru</xr>
-<math>\displaystyle \begin{matrix}
+<math>\displaystyle
 \Theta(t) = \sum_{-\infty}^{\infty}  c_n e^{-i 2 \pi t n} =
-\frac{1}{2}\; + \sum_{n=\pm1, \pm3, \ldots} \frac{i}{\pi n} e^{-i 2 \pi t n}= \\
+\frac{1}{2}\; + \sum_{n=\pm1, \pm3, \ldots} \frac{i}{\pi n} e^{-i 2 \pi t n}= \\ \displaystyle
-= \frac{1}{2}\; + \sum_{n=\pm1, \pm3, \ldots} \frac{i}{\pi n} \left( \cos(2\pi n t) - i \sin( 2\pi n t) \right)=\\
+= \frac{1}{2}\; + \sum_{n=\pm1, \pm3, \ldots} \frac{i}{\pi n} \left( \cos(2\pi n t) - i \sin( 2\pi n t) \right)=\\\displaystyle
 = \frac{1}{2}\; + \sum_{n=\pm1, \pm3, \ldots} \frac{i}{\pi n} \cos(2\pi n t)\;\; + \sum_{n=\pm1, \pm3, \ldots} \frac{1}{\pi n} \sin( 2\pi n t)
-\end{matrix}</math>
+</math>
 <br/>

@@ Linia 115: / Linia 115: @@
 | <strong>Rozwinięcie prostokąta w szereg Fouriera</strong>
 |-
-|Policzmy postać współczynników Fouriera dla funkcji <math>\Theta(t)</math> określonej na przedziale <math>[0,1]</math> w następujący sposób:
+|Policzmy postać współczynników Fouriera dla funkcji <math>\Theta(t)</math>, określonej na przedziale <math>[0,1]</math>:
 <equation id="eq:18">

@@ Linia 115: / Linia 115: @@
 | <strong>Rozwinięcie prostokąta w szereg Fouriera</strong>
 |-
-|Policzmy postać współczynników Fouriera dla funkcji <math>\Theta(t)</math>
+|Policzmy postać współczynników Fouriera dla funkcji <math>\Theta(t)</math> określonej na przedziale <math>[0,1]</math> w następujący sposób:
 <equation id="eq:18">

@@ Linia 34: / Linia 34: @@
 | znikanie całki <math>\int_0^T e^{i{{2 \pi (k-n)}\over{T}} t}dt </math>
 |-
-|oznaczmy <math>m = k-n, m \in \mathbb N</math>
+|niech <math>m = k-n, m \ne 0, m \in \mathbb N</math>
 <math>\displaystyle \int_0^T e^{i{{2 \pi m t}\over{T}} t}dt =
 \left[\frac{i T}{2 \pi m} e^{i \frac{2 \pi m t}{T} }\right]_0^T =
@@ Linia 59: / Linia 59: @@
 '''Dowód''':
-<math>
+<math> \displaystyle
 \frac{1}{T} \int_0^T \left| s(t) \right|^2 d t  = \frac{1}{T} \int_0^T s(t) \overline{s(t)} \,d t \; = </math>
-<math>\frac{1}{T} \int_0^T \left( \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{-i\frac{2\pi t}{T} n} \right)
+<math> \displaystyle
-\left( \sum_{m=-\infty}^{+\infty} \overline{c_m} e^{i\frac{2\pi t}{T} m} \right) d t =</math>
+\frac{1}{T} \int_0^T \left( \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{-i\frac{2\pi t}{T} n} \right)
 <math>
-  \left\| \; \int_0^T e^{-i\frac{2\pi t}{T} n} e^{i\frac{2\pi t}{T} m} dt= \int_0^T e^{-i\frac{2\pi t}{T} m-n} dt = \delta_{(m-n)} T \;\right\|\; =</math>
+  \left\| \; \int_0^T e^{-i\frac{2\pi t}{T} n} e^{i\frac{2\pi t}{T} m} dt= \int_0^T e^{-i\frac{2\pi t}{T} m-n} dt = \delta_{(m-n)} T \;\right\|</math>
-<math>\sum_{n = -\infty}^{\infty} c_n \overline{c_n} \;\;= \sum_{n = -\infty}^{\infty} |c_n|^2
+<math> \displaystyle
 </math>
@@ Linia 112: / Linia 115: @@
 | <strong>Rozwinięcie prostokąta w szereg Fouriera</strong>
 |-
-|Policzmy postać współczynników Fouriera dla funkcji <math>\Theta(t)</math> (<xr id="fig:20"></xr>), określonej na przedziale <math>[0,1]</math> w następujący sposób:
+|Policzmy postać współczynników Fouriera dla funkcji <math>\Theta(t)</math>
 <equation id="eq:18">

@@ Linia 38: / Linia 38: @@
 \left[\frac{i T}{2 \pi m} e^{i \frac{2 \pi m t}{T} }\right]_0^T =
 \frac{i T}{2 \pi m} \big( e^{i 2 \pi m} - 1 \big) =
-\frac{i T}{2 \pi m} \big( \cos(2 m \pi) - i \sin(2 m \pi) \big)
+\frac{i T}{2 \pi m} \big( \cos(2 m \pi) - i \sin(2 m \pi) - 1 \big) = \frac{i T}{2 \pi m} \big( 1 - i 0 - 1 \big) = 0
 </math>
 |}

@@ Linia 158: / Linia 158: @@
 <equation id="eq:19">
-<math>
+<math>\displaystyle
 \Theta(t) = \frac{1}{2} + \frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin\left(2\pi (2n-1) t\right)}{(2n-1)}
 </math>

@@ Linia 128: / Linia 128: @@
 <math>\displaystyle
 c_{n} = \frac{1}{T}\int_{0}^{T} \Theta(t) e^\frac{i 2\pi n t}{T} d t
-= \int_{0}^\frac{1}{2} e^{{{i 2\pi n t}}} d t = \\
+= \int_{0}^\frac{1}{2} e^{{{i 2\pi n t}}} d t  \\
 ( \mathrm{dla}\; n \ne 0 ) =
-\left [\frac{1}{i 2\pi n} e^{{i 2\pi n t}} \right ]_{t=0}^{t=\frac{1}{2}}
+c_n = \left [\frac{1}{i 2\pi n} e^{{i 2\pi n t}} \right ]_{t=0}^{t=\frac{1}{2}}
 = \frac{1}{i 2\pi n} ( e^{i \pi n} - 1 ) =
 \left\{

@@ Linia 60: / Linia 60: @@
 <math>
-\frac{1}{T} \int_0^T \left| s(t) \right|^2 d t  =</math>
+\frac{1}{T} \int_0^T \left| s(t) \right|^2 d t  = \frac{1}{T} \int_0^T s(t) \overline{s(t)} \,d t \; = </math>
 <math>\frac{1}{T} \int_0^T \left( \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{-i\frac{2\pi t}{T} n} \right)
@@ Linia 69: / Linia 67: @@
 <math>
-  \left\| \; \int_0^T e^{-i\frac{2\pi t}{T} n} e^{i\frac{2\pi t}{T} m}= \delta_{(m-n)} T \;\right\|\; =</math>
+  \left\| \; \int_0^T e^{-i\frac{2\pi t}{T} n} e^{i\frac{2\pi t}{T} m} dt= \int_0^T e^{-i\frac{2\pi t}{T} m-n} dt = \delta_{(m-n)} T \;\right\|\; =</math>