Szeregi - Historia wersji

Anula: Utworzono nową stronę "NOTOC ==Definicje i przykłady== ===Zbieżność szeregu=== Dla danego ciągu { $a_n$ } utwórzmy nowy ciąg { $s_n$ }, zdefiniowany jako:
2015-05-22T12:08:26Z

Utworzono nową stronę "NOTOC ==Definicje i przykłady== ===Zbieżność szeregu=== Dla danego ciągu {<math>a_n</math>} utwórzmy nowy ciąg {<math>s_n</math>}, zdefiniowany jako: <equat..."

Nowa strona
NOTOC

==Definicje i przykłady==

===Zbieżność szeregu===
Dla danego ciągu {<math>a_n</math>} utwórzmy nowy ciąg {<math>s_n</math>}, zdefiniowany jako:
<equation id="eq:1">
<math>
s_1=a_1, \;\;\; s_2=a_1+a_2,\;\dots,\; s_n = a_1 + a_2 +\dots+a_n = \sum_{j=1}^n a_j
\;</math> </equation>

'''Def.''' Jeśli wyżej zdefiniowany ciąg {<math>s_n</math>} posiada granicę, to granicę tę oznaczamy symbolem:
<center><math>
\sum_{n=1}^\infty a_n = \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} s_n = \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} \sum_{j=1}^n a_j
</math></center>
i nazywamy ''sumą szeregu nieskończonego'' <math>a_1+a_2+\dots+a_n+\dots\;</math>. Mówimy w takim przypadku, że szereg jest ''zbieżny''. Jeśli powyższa granica nie istnieje, to mówimy, że szereg jest '' rozbieżny''.

===Uwaga o ciągach i szeregach===
Szeregi możemy więc uważać za szczególny przypadek ciągów. Mają one jednak swoją
specyfikę, a przy tym są na tyle ważne, że rozważa się je na ogół odrębnie.

Przykładem takiej pewnej odrębności problemów przy rozważaniu ciągów i szeregów jest problem
ich zbieżności. W przypadku ciągów (przynajmniej tych które rozważaliśmy) w większości przypadków
umiemy policzyć ich granice. Inaczej jest z szeregami: Za pomocą dostępnych nam środków rzadko
umiemy znaleźć wartość granicy i najczęściej rozważanym problemem jest problem zbieżności szeregu.

===Ciąg sum częściowych===
Ciąg {<math>s_n</math>} nazywamy ciągiem ''sum częściowych'' szeregu nieskończonego.
====Przykłady====
<ol>
<li>Szereg: <math>1+1+1+\dots\;</math> jest rozbieżny do <math>\infty\;</math>, ponieważ <math>s_n=n\;</math>.</li>
<li>Szereg '' geometryczny'' <math>1+q+q^2+\dots+q^n+\dots\;</math> jest zbieżny, gdy <math>|q|<1\;</math>. Mamy bowiem: <center><math>s_n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}
\;</math></center> i dla <math>|q|<1\;</math> ciąg {<math>s_n</math>} jest zbieżny, a jego granica jest <center><math> \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} s_n =\frac{1}{1-q} \;</math></center> </li>
<li>Szereg <math>1-1+1-1+1+\dots\;</math> jest rozbieżny; ciąg {<math>s_n</math>} jest w tym przypadku: <math>1,0,1,0,1,\dots\;</math> i nie posiada ani właściwej, ani niewłaściwej granicy.</li></ol>

===<math>n</math>-ta reszta szeregu===
<math>n-\;</math> tą resztą szeregu <math>a_1+a_2+\dots+a_n+\dots\;</math> nazywamy szereg
<equation id="eq:2">
<math>
r_n = a_{n+1} + a_{n+2} + \dots =\sum_{m=n+1}^\infty a_m.
\;</math></equation>

====Stwierdzenie====
Jeśli szereg <math>a_1+a_2+\dots+a_n+\dots\;</math> jest zbieżny, to <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} r_n=0\;</math>.
=====Dowód=====
Zauważmy, że jeśli szereg <math>a_1+a_2+\dots+a_n+\dots\;</math> jest zbieżny, to również szereg <xr id="eq:2">(%i)</xr> jest zbieżny przy każdej wartości <math>n\;</math>. Ponieważ
<center><math>
r_n=\displaystyle\mathop{\lim}_{k\to \infty} (a_{n+1}+a_{n+2}+\dots+ a_{n+k}) =
\displaystyle\mathop{\lim}_{k\to \infty} s_{n+k} -s_n = \sum_{m=1}^\infty a_m - s_n,
\;</math></center>
więc
<center><math>
\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} r_n = \sum_{m=1}^\infty a_m - \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} s_n = \sum_{m=1}^\infty a_m - \sum_{m=1}^\infty a_m =0.
\;</math></center>
'''CBDO'''

==Ogólne własności szeregów związane ze zbieżnością==
Niektóre własności szeregów są bezpośrednimi konsekwencjami własności ciągów.
W tym podrozdziale wymienimy właśnie takie.

===Twierdzenie (Warunek Cauchy'ego)===
Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby szereg <math>a_1+a_2+\dots\;</math> był zbieżny, jest, aby:
<equation id="eq:3">
<math>
\forall_{\epsilon >0} \exists_{k\in \mathbb N \; } \forall_{m\in \mathbb N \; }:
|a_{k+1}+a_{k+2} +\dots + a_{k+m}|<\epsilon.
\;</math></equation>
====Dowód====
Widzieliśmy, że zbieżność szeregu jest równoważna zbieżności jego sum częściowych.
Ponadto, przypomnijmy sobie warunek Cauchy'ego zbieżności ciągu {<math>s_n</math>}: Mówił on, iż
<center><math>
\forall_{\epsilon >0} \exists_{k\in \mathbb N \; } \forall_{m\in \mathbb N \; }: |s_{k+m}-s_k| < \epsilon,
\;</math></center>
a że <math>s_n\;</math> jest <math>n-\;</math> tą sumą częściową szeregu, to otrzymujemy warunek <xr id="eq:3">(%i)</xr>.

'''CBDO'''
===Twierdzenie===
Jeśli szereg <math>a_1+a_2+\dots\;</math> jest zbieżny, to <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} a_n =0\;</math>.
====Uwaga====
Innymi słowy, jeśli <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} a_n \ne 0\;</math>, to szereg <math>a_1+a_2+\dots\;</math> nie jest zbieżny.
====Dowód====
Mamy: <math>a_n=s_n-s_{n-1}\;</math>, co daje
<center><math>
\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} a_n = \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} s_n - \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} s_{n-1} = 0,
\;</math></center>
ponieważ <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} s_n = \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} s_{n-1}\;</math>.

'''CBDO'''
====Uwaga====
Powyższe twierdzenie nie daje się odwrócić. Istnieją bowiem szeregi <math>a_1+a_2+\dots\;</math> ''rozbieżne'', dla których jednak <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} a_n=0\;</math>. Takim szeregiem jest ''szereg harmoniczny'':
<center><math>
1+ \frac{1}{2} +\frac{1}{3}+\dots+ \frac{1}{n}+\dots
\;</math></center>
Mamy bowiem:
<math> \sum_{k=2^n}^{2^{n+1}-1}\frac{1}{k} \geq 2^n \frac{1}{2^{n+1}-1}\;</math>

<math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} \frac{2^n}{2^n(2-\frac{1}{2^n})}=\frac{1}{2}</math>
<center><math>
\frac{1}{2} +\frac{1}{3} \geq 2\cdot \frac{1}{3};\;\;\;
\frac{1}{4}+ \frac{1}{5} +\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8} \geq 4\cdot \frac{1}{8};\;\;\; \dots
\;\;\; \frac{1}{2^n}+\dots + \frac{1}{2^{n+1}-1} \geq 2^n \frac{1}{2^{n+1}-1}</math></center>
tak, więc ciąg sum częściowych szeregu harmonicznego jest ograniczony przez 1/2.

<center><math>
s_{2^{n+1}} - s_{2^n} > \frac{1}{2} \Longrightarrow s_{2^n}> \frac{1}{2} n.
\;</math></center>
Tak więc <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} s_{2^n} = \infty\;</math>, czyli ciąg sum częściowych szeregu harmonicznego jest rozbieżny, a to znaczy, że sam szereg harmoniczny też jest rozbieżny (do <math>\infty\;</math> ).

===Szereg ograniczony===
Szereg nazywamy ''ograniczonym'', jeśli ciąg jego sum częściowych jest ograniczony (tzn. jeśli istnieje taka liczba <math>M\;</math>, że dla każdego <math>n\in N\;</math> : <math>s_n<M\;</math> ).

====Twierdzenie====
Każdy szereg zbieżny jest ograniczony.
=====Dowód=====
jest to inne wypowiedzenie znanego nam twierdzenia, że każdy ciąg zbieżny jest ograniczony.

'''CBDO'''

===Twierdzenie o zbieżności sumy szeregów i iloczynu szeregu przez stałą===
Mamy dwa naturalne twierdzenia dotyczące zbieżności szeregu sumy oraz iloczynu szeregu przez stałą.

====Twierdzenie o zbieżności sumy====
Jeżeli szeregi <math>a_1 + a_2 + \cdots\;</math> i <math>b_1 + b_2 + \cdots\;</math> są zbieżne, to
<center><math>
\sum_{n=1}^\infty(a_n\pm b_n) = \sum_{n=1}^\infty a_n \pm \sum_{n=1}^\infty b_n.
\;</math></center>
=====Dowód=====
Dla ustalenia uwagi weźmy sumę. Mamy
<center><math>
\sum_{n=1}^\infty(a_n+ b_n) =
\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} (a_1+b_1 + a_2+b_2 +\dots + a_n+b_n)
\;</math></center>
<center><math>
=\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} (a_1+ a_2 +\dots + a_n)
+ \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} (b_1 + b_2 +\dots + b_n)
= \sum_{n=1}^\infty a_n + \sum_{n=1}^\infty b_n;
</math></center>
dla różnicy dowód jest analogiczny.

'''CBDO'''
====Twierdzenie o iloczynie====
Jeżeli szereg <math>a_1 + a_2 + \cdots\;</math> jest zbieżny, to dla dowolnej stałej <math>c\in \mathbb R \; \;</math>
<center><math>
\sum_{n=1}^\infty c a_n = c \sum_{n=1}^\infty a_n.
\;</math></center>
=====Dowód=====
Mamy bowiem
<center><math>
\sum_{n=1}^\infty c a_n =
\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} (c a_1+ c a_2 +\dots + c a_n)
\;</math></center>
<center><math>
=c \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} (a_1+ a_2 +\dots + a_n)
= c \sum_{n=1}^\infty a_n.
\;</math></center>
'''CBDO'''
=====Wniosek=====
W szczególności
<center><math>
\sum_{n=1}^\infty (- a_n) = - \sum_{n=1}^\infty a_n.
\;</math></center>

==Szeregi naprzemienne-twierdzenie Leibniza; twierdzenie Abela==
===Szereg naprzemienny — definicja===
''Szeregiem naprzemiennym'' nazywamy szereg postaci
<equation id="eq:4">
<math>
a_1-a_2+a_3-a_4+\dots,</math> gdzie <math>a_n\geq 0.
\;</math></equation>
===Twierdzenie Leibnitza===
(zwane też częściej ''kryterium Leibniza'')
Szereg naprzemienny <xr id="eq:4">(%i)</xr>, spełniający warunki
<math> a_1\geq a_2\geq a_3\geq \dots \;</math>
oraz
<equation id="eq:5">
<math>displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} a_n =0\;</math></equation>
jest zbieżny. Ponadto sumy częściowe tego szeregu: <math>s_n=a_1-a_2+a_3-a_4+\dots \pm a_n\;</math> oraz suma szeregu spełniają nierówności
<equation id="eq:6">
<math>
s_{2n}\leq \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}a_n \leq s_{2n+1}.
\;</math></equation>
====Dowód====
Ciąg sum częściowych o wskaźnikach ''parzystych'' jest ''niemalejący''. Mamy bowiem
<center><math>
s_{2m+2}=s_{2m}+(a_{2n+1}-a_{2n+2}),\;\;\mbox{a z zalozenia}\;\;a_{2n+1}-a_{2n+2}\geq 0.
\;</math></center>
Jest to jednocześnie ciąg ''ograniczony'', ponieważ
<center><math>
s_{2n}=a_1-((a_2-a_3)+(a_4-a_5)+\dots)\leq a_1.
\;</math></center>
Skoro tak, to ciąg <math>\{s_{2n}\}\;</math> jest zbieżny. Oznaczmy jego granicę przez <math>g\;</math>: <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} s_{2n}=g\;</math>. Zauważmy, że udowodnimy zbieżność szeregu <xr id="eq:5">(%i)</xr> dowodząc, że <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} s_{2n+1}=g\;</math>.

Mamy <math>s_{2n+1}=s_{2n}+a_{2n+1}\;</math>, co daje
<center><math>
\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} s_{2n+1} =\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} s_{2n} + \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} a_{2n+1}=g,
\;</math></center>
bo <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} a_{2n+1}=0\;</math> na mocy założenia.

Wreszcie, nierówności <xr id="eq:6">(%i)</xr> wynikają z faktów, że ciąg <math>\{s_{2n}\}\;</math> jest rosnący (więc jego granica jest większa lub równa dowolnemu z wyrazów ciągu), zaś ciąg <math>\{s_{2n+1}\}\;</math> jest malejący (więc <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} s_{2n+1} \geq s_{2k+1}\;</math> dla dowolnego <math>k\;</math> ).

=====Przykład=====
Szereg anharmoniczny:
<equation id="eq:7">
<math>
1-\frac{1}{2} +\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots
\;</math></equation>
jest zbieżny. Pokażemy później, że sumą tego szeregu jest <math>\ln 2\;</math>. Interpretacja elektrostatyczna: suma szeregu anharmonicznego to połowa energii elektrostatycznej (w przeliczeniu na 1 jon) jednowymiarowego kryształu jonowego (por. Feynman, t.2 cz. 1)
[[Image:Atomy.png|right|thumb|Rysunek sieci krystalicznej]]

'''CBDO'''
===Twierdzenie (Abela)===
(zwane też częściej ''kryterium Abela'')

Jeśli ciąg {<math>a_n</math>} dąży monotonicznie do zera, zaś szereg sum częściowych ciągu {<math>b_n</math>}: <math>B_n =a_1 + a_2 + \cdots +b_n\;</math> jest ograniczony, to szereg
<equation id="eq:8">
<math>
a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n +\dots
\;</math> </equation>
jest zbieżny.
====Dowód====
Oznaczmy przez <math>\{s_n\}\;</math> ciąg sum częściowych szeregu <math>b_1 + b_2 + \cdots\;</math> : <math>s_n = b_1+b_2+\dots+b_n\;</math>. Na mocy założenia, istnieje takie <math>M\;</math>, że dla każdego <math>n\in \mathbb N \; \;</math> zachodzi <math>|s_n|<M\;</math>.

Aby dowieść, że szereg <xr id="eq:8">(%i)</xr> jest zbieżny, oszacujmy sumę
<equation id="eq:9">
<math>
a_k b_k + a_{k+1} b_{k+1} +\dots + a_n b_n
\;</math></equation>
dla <math>n>k\;</math>. Zauważmy najsampierw, iż
<equation id="eq:10">
<math>
-2M < b_m+b_{m+1} + \dots + b_n<2M
\;</math></equation>
dla każdego <math>m\;</math> i <math>n\geq m\;</math>, ponieważ
<center><math>
|b_m+b_{m+1} + \dots + b_n|= |s_n -s_{m-1}| \leq |s_n| + |s_{m-1}| \leq 2M.
\;</math></center>
Wyrażenie <xr id="eq:9">(%i)</xr> przepiszmy teraz tak:
<center><math>
a_k b_k + a_{k+1} b_{k+1} +\dots + a_n b_n =
\;</math></center>
<center><math>
(a_k-a_{k+1})b_k + (a_{k+1}-a_{k+2})(b_k+b_{k+1}) +
\;</math></center>
<center><math>
+(a_{k+2}-a_{k+3})(b_k+b_{k+1}+b_{k+2})+\dots +(a_{n})(b_k+b_{k+1}+\dots +b_{n})\leq
\;</math></center>
<math>
\leq 2M ((a_k-a_{k+1})+ (a_{k+1}-a_{k+2}) +\dots+a_n)= 2 M a_k
\;</math>
na mocy <xr id="eq:10">(%i)</xr>.

Analogicznie mamy <math>a_k b_k + a_{k+1} b_{k+1} +\dots + a_n b_n\geq -2 M a_k\;</math>, a stąd
<equation id="eq:11">
<math>
|a_k b_k + a_{k+1} b_{k+1} +\dots + a_n b_n| \leq 2 M a_k.
\;</math></equation>
Weźmy teraz jakieś <math>\epsilon>0\;</math>. Zakładamy, że ciąg {<math>a_n</math>} jest zbieżny do zera; znaczy to, że istnieje takie <math>k\;</math>, że <math>a_k<\frac{\epsilon}{2M}\;</math>. Wyżej udowodniliśmy <xr id="eq:11">(%i)</xr>, co przepiszemy jako <math>|a_k b_k + a_{k+1} b_{k+1} +\dots + a_n b_n| <\epsilon\;</math>. Zgodnie z warunkiem Cauchy'ego zbieżności ciągu (jeżeli <math>|a_n-a_m|<\epsilon\;</math> dla <math>n,m\;</math> dostatecznie dużych, to ciąg {<math>a_n</math>} jest zbieżny), szereg <math>\sum_{n=1}^\infty a_n b_n\;</math> jest zbieżny.

'''CBDO'''

====Uwagi====
<ol>
<li>Z wzoru <xr id="eq:11">(%i)</xr> mamy oszacowanie na sumę szeregu:
<math>
\left|
\sum_{n=1}^\infty a_n b_n
\right|
\leq 2 M a_1;
\;</math>
jest tak, ponieważ na mocy wzoru <xr id="eq:11">(%i)</xr> nierówność
<math>|a_1 b_1 + a_{k+1} b_{k+1} +\dots + a_n b_n| \leq 2 M a_1\;</math> zachodzi dla każdego <math>n\;</math>.</li>
<li>Uwaga 2''. Kryterium Leibniza jest szczególnym przypadkiem kryterium Abela: W tym ostatnim trzeba za ciąg {<math>b_n\;</math>} wziąć <math>b_n = (-1)^n</math>.</li></ol>