Anula: Utworzono nową stronę "NOTOC ==Szeregi o wyrazach dodatnich. Kryteria zbieżności d'Alemberta i Cauchy'ego== Przy założeniu, że wszystkie składniki szeregu $a_1 + a_2 + \cdots\;..."$

2015-05-22T12:09:59Z

Utworzono nową stronę "__NOTOC__ ==Szeregi o wyrazach dodatnich. Kryteria zbieżności d'Alemberta i Cauchy'ego== Przy założeniu, że wszystkie składniki szeregu <math>a_1 + a_2 + \cdots\;..."

Nowa strona

__NOTOC__

==Szeregi o wyrazach dodatnich. Kryteria zbieżności d'Alemberta i Cauchy'ego==
Przy założeniu, że wszystkie składniki szeregu <math>a_1 + a_2 + \cdots\;</math> są dodatnie, ciąg jego sum częściowych jest rosnący. Wynika stąd natychmiast stwierdzenie:

===Stwierdzenie===
Szereg o wyrazach dodatnich jest albo zbieżny, albo rozbieżny do <math>\infty\;</math>.

'''CBDO'''
===Twierdzenie (kryterium porównawcze)===
<small>Można je wyrażać w różnych wersjach; tu jest jedna z nich</small>

Jeśli dla wszystkich <math>n\;</math> zachodzi <math>0\leq b_n \leq a_n\;</math> i jeśli szereg <math>a_1 + a_2 + \cdots\;</math> jest zbieżny, to zbieżny jest również szereg <math>b_1 + b_2 + \cdots\;</math>. Przy tym zachodzi
<center><math>
\sum_{n=1}^\infty b_n \leq \sum_{n=1}^\infty a_n.
\;</math></center>

====Dowód====
Oznaczmy sumy częściowe szeregów <math>a_1 + a_2 + \cdots\;</math> i <math>b_1 + b_2 + \cdots\;</math> jako <math>s_n\;</math> i <math>t_n\;</math> :
<center><math>
s_n = a_1 + a_2 + \cdots+a_n, \;\;\; t_n = b_1 + b_2 + \cdots+b_n.
\;</math></center>
Mamy oczywiście <math>t_n\leq s_n\;</math>.
Mamy też: (przypomnijmy sobie odpowiednie twierdzenia o granicach ciągów monotonicznych)
<center><math>
s_n\leq \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} s_n = \sum_{n=1}^\infty a_n\;\;\;\mbox{wiecc}\;\;\;t_n \leq \sum_{n=1}^\infty a_n.
\;</math></center>

Z nierówności tej wnioskujemy, że ciąg sum częściowych szeregu <math>b_1 + b_2 + \cdots\;</math> jest ograniczony, a więc szereg <math>b_1 + b_2 + \cdots\;</math> jest zbieżny.
Z drugiej strony, wynika stąd nierówność
<math>\sum_{n=1}^\infty b_n \leq \sum_{n=1}^\infty a_n\;</math>. Bo jak pamiętamy, dla ciągów było:
Jeżeli dla ciągu <nowiki>{</nowiki><math>x_n</math><nowiki>}</nowiki> każdego <math>n\;</math> zachodzi: <math>x_n\leq C\;</math> , to <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} x_n \leq C\;</math>.

'''CBDO'''
====Przykład====
Kryterium powyższe jest ogólne i sukces w jego stosowaniu do jakiegoś szeregu <math>b_1 + b_2 + \cdots\;</math> zależy od tego, czy znajdziemy taki szereg zbieżny <math>a_1 + a_2 + \cdots\;</math> , który szacuje od góry <math>b_1 + b_2 + \cdots\;</math>.

Pokażemy zbieżność szeregu
<equation id="eq:1">
<math>
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}.
</math></equation>
Uczynimy to przez porównanie go z szeregiem:
<equation id="eq:2">
<math>
\frac{1}{1\cdot 2}+ \frac{1}{2\cdot 3}+ \dots + \frac{1}{n(n+1)}+\dots;
</math></equation>
mamy:
<center><math>
\frac{1}{1\cdot 2}+ \frac{1}{2\cdot 3}+ \dots + \frac{1}{(n-1)n} = \left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right)+\dots+\left(\frac{1}{(n-1)} - \frac{1}{n}\right)=1-\frac{1}{n},
</math></center>
czyli granica sum częściowych <math>s_n\;</math> szeregu <xr id="eq:2">(%i)</xr> jest: <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} s_n=1\;</math>.

Na mocy kryterium porównawczego, szereg <math>1/n^2</math> jest zbieżny<ref>Zobaczymy później, że suma szeregu <xr id="eq:1">(%i)</xr> jest równa <math>\frac{\pi^2}{6}\;</math></ref>.

Biorąc do porównywania w kryterium porównawczym szereg geometryczny, otrzymujemy następujące dwa kryteria.

===Twierdzenie (kryterium d'Alemberta)===
Szereg <math>a_1 + a_2 + \cdots\;</math> o wyrazach dodatnich, spełniający warunek
<equation id="eq:3">
<math>
\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} < 1
</math></equation>
jest zbieżny.
====Dowód====
Weźmy <math>h\;</math> takie, aby były spełniona nierówności: <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} < h<1\;</math>. Istnieje więc <math>k\;</math> takie, że dla <math>n\geq k\;</math> mamy <math>\frac{a_{n+1}}{a_n} < h\;</math> , czyli <math>a_{n+1}<a_n h\;</math>. Tak więc szereg <math>a_k+a_{k+1}+\dots\;</math> ma składniki odpowiednio nie większe od składników szeregu geometrycznego <math>a_k+a_k h + a_k h^2 +\dots\;</math>.

Ten szereg geometryczny jest zbieżny, bo <math>0<h<1\;</math>. Z kryterium porównawczego jest więc zbieżny szereg <math>\sum_{n=k}^\infty a_n\;</math> , a co za tym idzie — i szereg <math>\sum_{n=1}^\infty a_n\;</math>.

'''CBDO'''
===Twierdzenie (kryterium Cauchy'ego)===
Szereg <math>a_1 + a_2 + \cdots\;</math> o wyrazach dodatnich, spełniający warunek
<equation id="eq:4">
<math>
\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n} < 1
</math></equation>
jest zbieżny.
====Dowód====
Podobnie jak w kryterium d'Alemberta, istnieje takie <math>h\;</math> i takie <math>k\;</math> , że dla <math>n\geq k\;</math> zachodzi <math>\sqrt[n]{a_n}<h\;</math> , a to jest równoważne nierówności <math>a_n<h^n\;</math>. Porównując teraz szereg <math>a_k+a_{k+1} +\dots\;</math> z szeregiem geometrycznym <math>h^k+h^{k+1}+\dots\;</math> , widzimy, że jeżeli szereg geometryczny jest zbieżny (tzn. <math>h<1\;</math> ), to zbieżny jest również szereg <math>a_1 + a_2 + \cdots\;</math>.

'''CBDO'''

Ustaliliśmy więc pewne kryteria zbieżności. Daje się też znaleźć kryteria '' rozbieżności''.

===Twierdzenie (Kryteria rozbieżności)===
Jeśli dla szeregu <math>a_1 + a_2 + \cdots\;</math> o składnikach dodatnich zachodzi jedna z nierówności
<equation id="eq:5">
<math>
\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}>1 \;\;\;\mbox{lub}\;\;\; \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n}>1,
</math></equation>
to szereg jest rozbieżny.
====Dowód====
Jeśli ma miejsce pierwsza z nierówności <xr id="eq:5">(%i)</xr>, to dla dostatecznie dużych <math>n\;</math> mamy
<center><math>
\frac{a_{n+1}}{a_n}>1\;\;\;\mbox{co daje}\;\;\;a_{n+1}>a_n,
</math></center>
a to znaczy, że ciąg {<math>a_n</math>} nie jest zbieżny do 0, czyli nie jest spełniony warunek konieczny zbieżności szeregu — tak więc szereg <math>a_1 + a_2 + \cdots\;</math> jest '' rozbieżny''.

Jeśli natomiast spełniona jest druga z nierówności <xr id="eq:5">(%i)</xr>, to dla dostatecznie dużych <math>n\;</math> mamy
<center><math>
\sqrt[n]{a_n}>1;\;\;\mbox{co daje}\;\;\;a_{n+1}>1,
\;</math></center>
i znowu ciąg {<math>a_n</math>} nie jest zbieżny do 0.
'''CBDO'''
====Przykład====
Szereg:
<equation id="eq:6">
<math>
\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n!}
</math></equation>
dla <math>x\geq 0\;</math> jest zbieżny.
=====Dowód=====
Mamy:
<center><math>
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{x^{n+1}}{x^n} \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{x}{n+1}\Longrightarrow\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = 0.
</math></center>
Z kryterium d'Alemberta wynika, że szereg <xr id="eq:6">(%i)</xr> jest zbieżny.
====Przykład====
Kryterium d'Alemberta ''nie rozstrzyga'' o zbieżności szeregu harmonicznego ani szeregu <xr id="eq:2">(%i)</xr>, bo <math> \lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = 1 </math> w obu przypadkach.
==Szeregi bezwzględnie zbieżne==

'''Def.''' Szereg <math>a_1 + a_2 + \cdots\;</math> nazywamy '' bezwzględnie zbieżnym'', jeśli szereg <math>|a_1| + |a_2| + \dots\;</math> jest zbieżny. Szereg, który jest zbieżny, ale nie jest bezwzględnie zbieżny, nazywamy '' warunkowo zbieżnym''.

===Twierdzenie===
Jeśli szereg <math>a_1 + a_2 + \cdots\;</math> jest zbieżny bezwzględnie, to jest też zbieżny w zwykłym sensie. Ponadto
<equation id="eq:7">
<math>
\left|\sum_{n=1}^\infty a_n \right| \leq \sum_{n=1}^\infty |a_n|.
</math></equation>
====Dowód====
Zgodnie z warunkiem Cauchy'ego zbieżności szeregów, musimy oszacować sumę: <math>a_k+ a_{k+1}+\dots + a_n\;</math> i pokazać, że dla dostatecznie dużych <math>k\;</math> i dowolnych <math>n\;</math> <math>(n>k)\;</math> suma ta jest dowolnie mała. Mamy:
<center><math>
|a_k+ a_{k+1}+\dots + a_n| \leq |a_k|+ |a_{k+1}|+\dots + |a_n| \leq \sum_{i=k}^\infty |a_i|.
</math></center>
Ostatnia suma powyżej, jako reszta <math>r_{k-1}\;</math> szeregu zbieżnego, dąży do 0, gdy <math>k\;</math> dąży do <math>\infty\;</math>. Innymi słowy, dla dowolnego <math>\epsilon>0\;</math> istnieje takie <math>k\;</math> , że <math>r_{k-1}<\epsilon\;</math> , skąd <math>|a_k+ a_{k+1}+\dots + a_n|<\epsilon\;</math> dla każdego <math>n>k\;</math>.

W ten sposób pokazaliśmy zbieżność szeregu <math>a_1 + a_2 + \cdots\;</math>. Ponadto, oznaczając: <math>s_n = a_1 + a_2 + \cdots+a_n\;</math> oraz <math>t_n = |a_1|+|a_2|+\dots +|a_n|\;</math> mamy: <math>|s_n|\leq t_n\;</math> , skąd, po przejściu do granicy, wynika
<center><math>
|\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} s_n| = \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} |s_n| \leq \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} t_n,
\;</math></center>
a to jest dokładnie wzór <xr id="eq:7">(%i)</xr>.

'''CBDO'''
====Przykłady====
#Szereg geometryczny <math>1+q+q^2+\dots\;</math> , gdzie <math>|q|<1\;</math> , jest zbieżny bezwzględnie, ponieważ jest zbieżny szereg <math>1+|q|+|q|^2+\dots\;</math>.
#Szereg <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n!}\;</math> jest zbieżny bezwzględnie dla każdego <math>x\;</math>. Jak się niedługo okaże, jego suma jest równa <math>e^x\;</math>.
#Szereg anharmoniczny jest zbieżny '' warunkowo'', ponieważ szereg wartości bezwzględnych jego składników to szereg '' harmoniczny'', który jest rozbieżny.

==(Pozorne) paradoksy z szeregami nieskończonymi==
Przyjrzymy się teraz zagadnieniu ''przemienności'' szeregów nieskończonych. Wiemy, że dodawanie jest ''przemienne'', tzn. <math>a+b=b+a\;</math>, co implikuje, że suma ''skończonej'' ilości składników jest przemienna, tzn. nie zależy od kolejności składników. Okazuje się, że analogiczna własność ma też miejsce dla szeregów bezwzględnie zbieżnych, natomiast na ogół ''nie zachodzi'' dla szeregów zbieżnych warunkowo. Będziemy to pokazywać, ale najsampierw sprecyzujemy, co rozumiemy przez zmianę kolejności składników, gdy ilość tych składników jest nieskończona.

===Permutacja===
Przez ''permutację'' ciągu liczb naturalnych rozumiemy ciąg liczb naturalnych {<math>m_n</math>}<math>=m_1, m_2, \dots\;</math> taki, że każda liczba naturalna występuje w ciągu {<math>m_n</math>} dokładnie raz. Jeśli <math>m_1, m_2, \dots\;</math> jest permutacją ciągu liczb naturalnych, to mówimy, że szereg <math>a_{m_1}+a_{m_2}+\dots+a_{m_n}+\dots\;</math> powstał z szeregu <math>a_1 + a_2 + \cdots + a_n+\dots\;</math> przez zmianę porządku jego składników.
====Twierdzenie====
Każdy szereg bezwzględnie zbieżny jest przemienny. Inaczej mówiąc, jeśli szereg <math>\sum_{n=1}^\infty a_n\;</math> jest bezwzględnie zbieżny i jeśli <math>m_1, m_2,\dots\;</math> jest permutacją ciągu liczb naturalnych, to
<equation id="eq:8">
<math>
\sum_{n=1}^\infty a_{m_n}=\sum_{n=1}^\infty a_n.
</math></equation>
=====Dowód=====
Niech <math>\epsilon>0\;</math>. Ze zbieżności szeregu <math>|a_1|+|a_2|+\dots\;</math> wynika, że istnieje takie <math>k\;</math> , że
<equation id="eq:9">
<math>
\sum_{i=k+1}^\infty |a_i| < \epsilon.
</math></equation>
Ponieważ ciąg {<math>m_n</math>} zawiera wszystkie liczby naturalne, więc istnieje takie <math>r\;</math> , że wśród liczb <math>m_1, m_2, \dots, m_r\;</math> występują liczby <math>1,2,3,\dots,\;</math> aż do <math>k\;</math>. Ponieważ zaś każda liczba naturalna występuje dokładnie raz w ciągu {<math>m_n</math>}, to dla każdego <math>n>r\;</math> mamy <math>m_n>k\;</math>. Jeśli więc przy danym <math>n>r\;</math> ze zbioru <math>m_1, m_2, \dots, m_r,\dots, m_n\;</math> skreślimy liczby <math>1,2,\dots, k\;</math> , to pozostaną w nim wyłącznie liczby większe od <math>k\;</math> (przy tym wszystkie różne). Tak więc, oznaczając
<center><math>
s_n=a_1 + a_2 + \cdots + a_n, \;\;\;t_n = a_{m_1} + a_{m_2} + \dots + a_{m_n}
</math></center>
i skreślając w różnicy <math>t_n-s_n\;</math> składniki o równych wskaźnikach, otrzymamy w różnicy <math>t_n-s_n\;</math> jedynie składniki o wskaźnikach większych od <math>k\;</math>. Wynika stąd, że
<center><math>
|t_n-s_n| \leq \sum_{i=k+1}^\infty |a_i|,
</math></center>
skąd mamy:
<center><math>
|t_n-s_n|< \epsilon.
</math></center>
na mocy <xr id="eq:9">(%i)</xr>. Ponieważ ta ostatnia nierówność zachodzi dla każdego <math>n>r\;</math> , to zachodzi: <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} t_n = \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} s_n\;</math> , a to oznacza, że spełniona jest teza twierdzenia, tzn. <xr id="eq:8">(%i)</xr>.
'''CBDO'''
====Uwaga====
Powyższe twierdzenie ''nie jest'' prawdziwe dla dowolnego szeregu zbieżnego.

Jako przykład, weźmy szereg anharmoniczny i oznaczymy jego sumę przez <math>c\;</math> (niedługo okaże się, że <math>c=\ln 2\;</math> ),
<center><math>
c=1-\frac{1}{2} +\frac{1}{3} -\frac{1}{4} + \frac{1}{5}-\frac{1}{6} + \frac{1}{7}-\frac{1}{8} + \frac{1}{9}-\dots;
</math></center>
policzmy <math>c+\frac{1}{2}c\;</math> :
<center><math>
c+\frac{1}{2}c= 1+\frac{1}{3} - \frac{1}{2}+\frac{1}{5} + \frac{1}{7}-\frac{1}{4} + \frac{1}{9}+ \frac{1}{11}-\frac{1}{6}+\dots
</math></center>
w czym rozpoznajemy sumę szeregu anharmonicznego '' po przestawieniu składników''. Tak więc przez przestawienie składników uzyskaliśmy szereg zbieżny '' do innej wartości''. Okazuje się, że ma miejsce nawet bardziej (pozornie) paradoksalna sytuacja:
===Twierdzenie (Riemanna)===
Mając dany szereg zbieżny warunkowo, można przez zmianę porządku jego składników uzyskać szereg rozbieżny lub zbieżny do dowolnej, z góry zadanej granicy (skończonej lub nieskończonej).

Bez dowodu. (Dla ciekawych, jest np. w skrypcie P. Urbańskiego, "Analiza", t. 1).

==Zagadka==
Widzieliśmy, że energia elektrostatyczna kryształu jednowymiarowego jest równa sumie szeregu anharmonicznego. Czy to znaczy, że ta energia może być '' dowolna'', jeśli przez zmianę kolejności sumowania można uzyskać dowolną wartość? Może więc energia elektrostatyczna jest źle określoną wielkością?
==Mnożenie szeregów==
Wiemy, że jeśli pomnożymy dwie skończone sumy, to znów otrzymamy jakąś sumę. Przy szeregach nieskończonych
pojawiają się pytania o zbieżność. Poniższe twierdzenie pokazuje, że dla szeregów bezwzględnie zbieżnych
szeregi dadzą się pomnożyć, i szereg w wyniku powstały ma taką postać, jakiej oczekujemy.
===Twierdzenie (Cauchy'ego)===
Jeżeli szeregi: <math>\sum_{n=1}^\infty a_n\;</math> i <math>\sum_{n=1}^\infty b_n\;</math> są bezwzględnie zbieżne, to również szereg
<equation id="eq:10">
<math>
\sum_{n=1}^\infty c_n = \sum_{n=1}^\infty a_n\cdot \sum_{n=1}^\infty b_n
</math></equation>
jest bezwzględnie zbieżny.
====Dowód====
<center><math>
c_1=a_1 b_1,
</math></center>
<center><math>
c_2=a_1 b_2 + a_2 b_1,\ldots,c_n= a_1 b_n + a_2 b_{n-1}+ \dots + a_{n-1} b_2 + a_n b_1 = \sum_{k=1}^n a_k b^{n+1-k}.
\;</math></center>
Oznaczmy
<center><math>
s_n = a_1 + a_2 + \cdots+ a_n, \;\;\;t_n = b_1 + b_2 + \cdots+b_n, \;\;\; u_n = c_1 + c_2 + \cdots + c_n,
</math></center>
czyli
<center><math>
u_n=a_1 t_n + a_2 t_{n-1} + a_3 t_{n-2} + \dots + a_n t_1.
</math></center>
Będziemy szacować różnicę
<center><math>
s_n t_n - u_n = a_1 t_n + a_2 t_n + \dots + a_n t_n -u_n=
\;</math></center>
<equation id="eq:11">
<math>
=a_2(t_n-t_{n-1}) +a_3(t_n-t_{n-2})+\dots+a_n(t_n-t_1).
</math></equation>
Ponieważ szeregi: <math>\sum_{n=1}^\infty b_n\;</math> i <math>\sum_{n=1}^\infty |a_n|\;</math> są zbieżne, a więc ograniczone, to istnieje taka liczba <math>M\;</math> , że dla każdego <math>j\;</math> zachodzi:
<equation id="eq:12">
<math>
|t_j|<M \;\; \mbox{oraz}\;\; |a_1| + |a_2| +\dots + |a_j|<M.
</math></equation>
Warunek zbieżności szeregu <math>b_1 + b_2 + \cdots\;</math> oznacza dokładnie tyle, co warunek zbieżności ciągu {<math>t_n</math>}; zapiszmy warunek Cauchy'ego zbieżności ciągu {<math>t_n</math>}: Dla każdego <math>\epsilon>0\;</math> istnieje takie <math>k\;</math> , że jeśli <math>n>m>k\;</math> , to zachodzi
<equation id="eq:13">
<math>
|t_n-t_m|<\epsilon
</math>
</equation>
Podobnie dla szeregu <math>|a_1|+|a_2|+\dots\;</math> mamy
<equation id="eq:4">
<math>
|a_{k+1}|+|a_{k+2}|+\dots+|a_n|<\epsilon.
</math></equation>
W dalszym ciągu weźmy <math>n>2k\;</math>. Na mocy <xr id="eq:11">(q%i)</xr> mamy
<center><math>
|s_n t_n-u_n|\leq (|a_2| |t_n-t_{n-1}| + \dots + |a_k||t_n-t_{n-k+1}|)+(|a_{k+1}||t_n-t_{n-k}| + \dots+ |a_n||t_n-t_1|).
</math></center>
Oszacujmy teraz pierwszy nawias wykorzystując <xr id="eq:13">(%i)</xr>, a drugi — wykorzystując <xr id="eq:12">(%i)</xr>,pamiętając zarazem, że <math>n-k+1>k\;</math> oraz <math>|t_n-t_j|\leq |t_n| + |t_j|<2M\;</math> :
<center><math>
|s_n t_n -u_n| \leq (|a_2|+\dots +|a_k|)\epsilon + (|a_{k+1}| +\dots + |a_n|)\cdot 2M <M\epsilon + \epsilon\cdot 2M,
\;</math></center>
Tym samym pokazaliśmy, że nierówność: <math>|s_n t_n -u_n|<3 M \epsilon\;</math> zachodzi dla każdego <math>n>2k\;</math>. Znaczy to, że <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} (s_n t_n -u_n)=0\;</math>. Ponieważ zaś ciągi: {<math>s_n</math>} i {<math>t_n</math>} są zbieżne, więc <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} s_n t_n =\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} s_n \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} t_n\;</math> , a to znaczy, że <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} s_n \cdot \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} t_n = \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} s_n t_n = \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} u_n\;</math>, czyli zachodzi wzór <xr id="eq:10">(%i)</xr>.

'''CBDO'''
====Przykład====
Pokażemy, że <math>\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!} \sum_{n=0}^\infty \frac{y^n}{n!} =\sum_{n=0}^\infty\frac{(x+y)^n}{n!}</math>
Mamy bowiem:
<center><math>
\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}\cdot \sum_{n=0}^\infty \frac{y^n}{n!} =
\sum_{n=0}^\infty\left(
1\cdot \frac{y^n}{n!} + \frac{x}{1!}\cdot\frac{y^{n-1}}{(n-1)!}
+\frac{x^2}{2!}\cdot \frac{y^{n-2}}{(n-2)!}+ \dots +\frac{x^n}{n!}\cdot 1
\right)
</math></center>
<center><math>
=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}\left(
y^n+\frac{n}{1!} x y^{n-1} + \frac{n(n-1)}{2!} x^2 y^{n-2}+\dots + x^n
\right)
= \sum_{n=0}^\infty\frac{(x+y)^n}{n!}
\;</math></center>
(przy ostatniej równości wykorzystaliśmy wzór dwumienny Newtona).

=====Uwaga=====
Twierdzenie o mnożeniu szeregów jest prawdziwe też przy słabszym założeniu, a mianowicie, że jeden z szeregów (tu: <math>a_1 + a_2 + \cdots\;</math> ) jest bezwzględnie zbieżny, a drugi(tu: <math>b_1 + b_2 + \cdots\;</math> ) jest zbieżny, ale niekoniecznie bezwzględnie. W dowodzie wykorzystywaliśmy bowiem tylko bezwzględną zbieżność szeregu <math>a_1 + a_2 + \cdots\;</math>. Jeśli natomiast oba szeregi są warunkowo zbieżne, to szereg <math>c_1 + c_2 + \dots</math> może być rozbieżny.

====Przykład====
Weźmy
<center><math>
a_n = b_n =\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}};
</math></center>
szeregi <math>a_1 + a_2 + \cdots\;</math> i <math>b_1 + b_2 + \cdots\;</math> są wówczas zbieżne (z jakiego kryterium?), zaś szereg <math>c_1 + c_2 + \dots</math> jest rozbieżny.
<references/>

Szeregi 2 - Historia wersji

Anula: Utworzono nową stronę "__NOTOC__ ==Szeregi o wyrazach dodatnich. Kryteria zbieżności d'Alemberta i Cauchy'ego== Przy założeniu, że wszystkie składniki szeregu a_1 + a_2 + \cdots\;..."

Anula: Utworzono nową stronę "NOTOC ==Szeregi o wyrazach dodatnich. Kryteria zbieżności d'Alemberta i Cauchy'ego== Przy założeniu, że wszystkie składniki szeregu $a_1 + a_2 + \cdots\;..."$