WnioskowanieStatystyczne/CLT - Historia wersji

Durka: /* Rozkład Gaussa */

2026-03-05T17:24:26Z

Rozkład Gaussa

Durka: /* Dowód twierdzenia Lindeberga–Lévy'ego */

2026-03-05T17:20:27Z

Dowód twierdzenia Lindeberga–Lévy'ego

Durka: /* Dowód twierdzenia Lindeberga–Lévy'ego */

2026-03-05T17:16:37Z

Dowód twierdzenia Lindeberga–Lévy'ego

Durka: /* Dowód twierdzenia Lindeberga–Lévy'ego */

2026-03-05T17:16:02Z

Dowód twierdzenia Lindeberga–Lévy'ego

Durka: /* Dowód twierdzenia Lindeberga–Lévy'ego */

2026-03-05T17:15:32Z

Dowód twierdzenia Lindeberga–Lévy'ego

Durka: /* Rozkład Gaussa */

2026-03-05T17:14:19Z

Rozkład Gaussa

Durka: /* Funkcja charakterystyczna rozkładu prawdopodobieństwa */

2026-03-05T17:14:01Z

Funkcja charakterystyczna rozkładu prawdopodobieństwa

Durka: /* Związek pochodnej funkcji charakterystycznej z momentami zmiennej losowej */

2026-03-05T17:13:42Z

Związek pochodnej funkcji charakterystycznej z momentami zmiennej losowej

Durka: /* Pochodna funkcji charakterystycznej */

2026-03-05T17:13:22Z

Pochodna funkcji charakterystycznej

Durka: /* Dowód twierdzenia Lindeberga–Lévy'ego */

2026-03-05T17:12:46Z

Dowód twierdzenia Lindeberga–Lévy'ego

@@ Linia 31: / Linia 31: @@
 <equation id="eq:80">
-<math>
+<math>\displaystyle
   x\in N(\mu,\sigma)\quad \Rightarrow \quad
 \begin{cases}

@@ Linia 143: / Linia 143: @@
 </math></center>
 </equation>
 Z wyprowadzonej wcześniej własności funkcji charakterystycznej <xr id="eq:84">(%i)</xr>
 <math>
@@ Linia 162: / Linia 163: @@
 </math></center>
 </equation>
 Wrócmy do występującej w twierdzeniu sumy <math>S</math>
@@ Linia 173: / Linia 173: @@
 </math>
-Jej funkcja charakterystyczna
+<math>\displaystyle \phi_S(z) = E(e^{izS}) = E\left(e^{iz \frac{1}{\sqrt{n}} \sum\limits_{i=1}^{n} y_i}  \right)
 </math>
-<math>
+<math>\displaystyle
 =  E\left(\prod_{i=1}^{n} e^{iz \frac{1}{\sqrt{n}}  y_i}  \right)
 </math>
-ponieważ zmienne <math>y_i</math> są wzajemnie niezależne,
+Ponieważ zmienne <math>y_i</math> są wzajemnie niezależne,
-<math>\phi_S(z)=  \prod_{i=1}^{n} E\left( e^{i\frac{z}{\sqrt{n}} y_i }  \right)
+<math>\displaystyle \phi_S(z)=  \prod_{i=1}^{n} E\left( e^{i\frac{z}{\sqrt{n}} y_i }  \right)
 = \prod_{i=1}^{n} \phi_{y_i}\left(\frac{z}{\sqrt{n}}\right)
   </math>
-ponieważ zmienne <math>y_i</math> pochodzą z tego samego rozkładu prawdopodobieństwa,
+Ponieważ zmienne <math>y_i</math> pochodzą z tego samego rozkładu prawdopodobieństwa,
-<math>\phi_S(z)=
+<math>\displaystyle \phi_S(z)=
 \prod_{i=1}^{n} \phi_{y_i}\left(\frac{z}{\sqrt{n}}\right) =
 \left( \phi_{y_i}\left(\frac{z}{\sqrt{n}}\right) \right)^n =
@@ Linia 199: / Linia 198: @@
 Przy przejściu z <math>n</math> do nieskończoności (i pomijaniu wyrazów rzędu wyższego niż drugi) dostajemy
-<center><math>
+<center><math>\displaystyle
 \phi_y(z)\rightarrow
 \underset{n\rightarrow \infty }{\lim }\left(1-\frac{z^2}{2n}\right)^n=
@@ Linia 253: / Linia 252: @@
-<center><math>
+<center><math>\displaystyle
 \phi _{x}(t) =
 \int\limits_{-\infty}^\infty e^{itx}\frac{1}{\sqrt{2\pi }} e^{\frac{-x^{2}}{2}} dx =
 e^{-t^2 / 2}
 </math></center>

@@ Linia 158: / Linia 158: @@
 czyli funkcja charakterystyczna zmiennej <math>y_i</math> rozwinięta w szereg Taylora <xr id="eq:86">(%i)</xr> do wyrazów drugiego rzędu będzie miała postać
 <equation id="eq:87">
-<center><math>
+<center><math>\displaystyle
 \phi_{y_i}(z)=1-\frac{z^{2}}{2}+\cdots .
 </math></center>

@@ Linia 138: / Linia 138: @@
 Funkcję charakterystyczną rozkładu zmiennej <math>y_i</math>
 <center><math>\phi_{y_i}(z) = E(e^{i z y_i}) </math></center>
-możemy rozwinąć w szereg Taylora wokół <math>z=0</math>\displaystyle
+możemy rozwinąć w szereg Taylora wokół <math>z=0</math><equation id="eq:86">
-<equation id="eq:86">
+<center><math>\displaystyle
 \phi_{y_i}(z)=\underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{\phi^{(n)}(0)}{n!}z^n
 </math></center>

@@ Linia 138: / Linia 138: @@
 Funkcję charakterystyczną rozkładu zmiennej <math>y_i</math>
 <center><math>\phi_{y_i}(z) = E(e^{i z y_i}) </math></center>
-możemy rozwinąć w szereg Taylora wokół <math>z=0</math>
+możemy rozwinąć w szereg Taylora wokół <math>z=0</math>\displaystyle
 <equation id="eq:86">
 <center><math>

@@ Linia 7: / Linia 7: @@
 parametrów <math>\mu</math> i <math>\sigma</math>. Jego gęstość prawdopodobieństwa określona jest wzorem:
-<center><math display="block">
+<center><math display="block">\displaystyle
   p(x)=N(\mu, \sigma)= \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }e^{\frac{-(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}.
 </math></center>

@@ Linia 71: / Linia 71: @@
 Dla zmiennej losowej <math>z</math> jest to wartość oczekiwana wyrażenia <math>e^{itz}</math>, gdzie <math>i=\sqrt{-1}</math>. Dla rozkładów ciągłych jest to [[Przekształcenie_Fouriera|transformata Fouriera]] funkcji gęstości prawdopodobieństwa <math>f(z)</math>:
-<center><math>
+<center><math>\displaystyle
 \phi_z (t)=E(e^{itz})=\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}
 e^{itz}f\left( z\right) dz

@@ Linia 108: / Linia 108: @@
 <math>n</math>-ta pochodna funkcji charakterystycznej w zerze (czyli dla <math>t=0</math>) wynosi
 <equation id="eq:84">
-<center><math>
+<center><math>\displaystyle
 \phi^{(n)}(0)=
 i^{n}\underset{}{\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}z^{n}}\ e^{i 0 x} f(z) dz =

@@ Linia 99: / Linia 99: @@
 Bezpośrednio z definicji — różniczkujemy po <math>dt</math>, więc przy każdym różniczkowaniu spada nam z wykładnika <math>i z</math>, <math>z</math> zostaje pod całką a <math>i</math> jako stała wychodzi przed całkę — widać, że:
 <equation id="eq:pochodna_funkcji_tworzacej">
-<center><math>
+<center><math>\displaystyle
 \frac{d^{n}\phi (t)}{dt^{n}}=i^{n}\underset{}{\underset{-\infty }{\overset{
 \infty }{\int }}z^{n}}\ e^{itz}f(z) dz

@@ Linia 147: / Linia 147: @@
 <math>
 \phi^{(n)}(0)=
-i^{n}E(x^{n})
+i^{n}E(z^{n})
 </math>
 wynika, że