WnioskowanieStatystyczne/Momenty - Historia wersji

Durka: /* Wariancja */

2024-03-17T21:09:23Z

Wariancja

Durka: /* Mediana */

2023-07-03T13:04:19Z

Mediana

Durka: /* Wartość oczekiwana */

2020-03-05T17:53:53Z

Wartość oczekiwana

Durka: /* Kowariancja i współczynnik korelacji */

2017-03-02T10:38:22Z

Kowariancja i współczynnik korelacji

Durka: /* Mediana */

2017-03-02T10:35:50Z

Mediana

Durka: /* Wariancja, korelacja, mediana */

2016-01-29T11:30:13Z

Wariancja, korelacja, mediana

Jarekz: /* Mediana */

2015-05-22T13:47:33Z

Mediana

Jarekz: /* Mediana */

2015-05-22T13:47:11Z

Mediana

Jarekz: Utworzono nową stronę " ==Wariancja, korelacja, mediana== Jak widać, własności rozkładów ciągłych i dyskretnych będą opisywać nieco odmienne wzory; poniżej przytaczamy najczęściej..."

2015-05-22T13:46:40Z

Utworzono nową stronę " ==Wariancja, korelacja, mediana== Jak widać, własności rozkładów ciągłych i dyskretnych będą opisywać nieco odmienne wzory; poniżej przytaczamy najczęściej..."

Nowa strona

==Wariancja, korelacja, mediana==
Jak widać, własności rozkładów ciągłych i dyskretnych będą opisywać nieco
odmienne wzory; poniżej
przytaczamy najczęściej wykorzystywane w praktyce definicje i zależności.

===Wartość oczekiwana===
Zgodnie z nazwą i intuicją, wartość oczekiwana określa środek rozkładu, czyli okolicę, w którą najczęściej powinny "trafiać" wyniki.<ref>Nie musi być równa wartości zmiennej losowej, dla której prawdopodobieństwo jest największe.</ref>
Dla rozkładów dyskretnych będzie się ona wyrażać wzorem:

<math>
\mu=E(x)=\overset{n}{\underset{i=1}{\sum }}x_{i}P(X=x_{i})
</math>

a dla rozkładów ciągłych:
<equation id="eq:60">
<math>
\mu=E(x)=\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}x p(x)dx.
</math>
</equation>

Na podstawie tych wzorów łatwo dowieść liniowości wartości oczekiwanej; dla zmiennych losowych <math>x</math> i
<math>y</math> oraz stałych <math>c_1</math> i <math>c_2</math>
<equation id="eq:61">
<math>
E(c_1 x+c_2 y)=c_1 E(x)+c_2 E(y).
</math>
</equation>
===Mediana===

Mediana to inna od wartości oczekiwanej miara położenia środka rozkładu. Określamy ją jako
taką wartość zmiennej losowej <math>x_{\nicefrac{1}{2}}</math>, która dzieli rozkład gęstości
prawdopodobieństwa na dwie równe części — wartościom zmiennych losowych
mniejszym niż <math>x_{\nicefrac{1}{2}}</math> odpowiada tyle samo przypadków, co wartościom większym:

<math>
\int\limits_{-\infty}^{x_{\nicefrac{1}{2}}} p(x) dx = \int\limits_{x_{\nicefrac{1}{2}}}^\infty p(x) dx= \ \frac{1}{2}.
</math>

Dla rozkładów symetrycznych mediana i wartość oczekiwana są sobie równe.

===Wariancja===

Wariancja jest miarą rozrzutu zmiennej losowej wokół wartości
oczekiwanej, czyli "szerokości" rozkładu prawdopodobieństwa. Mała
wariancja oznacza, że zmienne (np. wyniki losowań) będą gromadzić się
("wypadać") blisko wartości oczekiwanej (i blisko siebie).

Wariancję określamy jako wartość oczekiwaną kwadratu różnicy zmiennej i jej
wartości oczekiwanej; dla rozkładów dyskretnych:

<math>
\sigma ^{2}(x)=E((x-\mu)^{2})=\overset{n}{\underset{i=1}{\sum }}
P(X=x_{i})(x_{i}-\mu)^{2}.
</math>

Dla rozkładów ciągłych:
<equation id="eq:63">
<math>
\sigma ^2(x)=E((x-\mu)^{2})=\underset{-\infty }{\overset{\infty }{
\int }}(x-\mu)^{2} p(x)dx.
</math>
</equation>

Pierwiastek wariancji <math>\left( \sigma=\sqrt{\sigma^2}\right)</math> nosi nazwę ''odchylenia standardowego''.

Wyprowadzimy jeszcze jeden ogólny wzór na obliczanie wariancji, użyteczny w wielu przypadkach:

<equation id="eq:64">
<math>
\sigma ^{2}(x)= \sigma^2_x = E(x^{2})-\left\{ E(x)\right\} ^{2}.
</math>
</equation>

====Dowód====

<math>
\sigma^{2}(x)=E((x-\mu
)^{2})=E(x^{2}-2x\mu+\mu ^{2})=E(x^{2})-2\mu E(x)+\mu^{2}=E(x^{2})-\mu^{2}=E(x^{2})-\left\{ E(x)\right\} ^{2}
</math>

Czyli wariancja zmiennej losowej jest równa różnicy wartości oczekiwanej
kwadratu tej zmiennej i kwadratu jej wartości oczekiwanej.

===Kowariancja i współczynnik korelacji===

[[Plik:Korelacja.png|300px|thumb|left|<figure id="fig:rozw2"></figure>Przykładowe wartości współczynnika korelacji dla 300 par <math>(x, y)</math> o
różnych stopniach współzależności.
]]

Miarą związku między zmiennymi <math>x</math> i <math>y</math> jest kowariancja

<math>
\sigma_{x, y} = E\left( (x-\mu_{x})(y-\mu_{y})\right)
</math>

lub unormowany do jedności współczynnik korelacji zmiennych <math>x</math> i <math>y</math>:

<math>
\rho_{x, y}= \frac{\sigma_{x, y}}{\sigma_x \sigma_y}=
\frac{E\left( \left(x-\mu_{x})(y-\mu_{y}\right)\right)}
{\sqrt{E\left( (x-\mu_{x})^2\right) E\left( (y-\mu_{y})^2\right)}},
</math>

gdzie <math>\mu_x</math> i <math>\mu_y</math> to odpowiednio wartości
oczekiwane zmiennych <math>x</math> i <math>y</math>. Jeśli zmienne
<math>x</math> i <math>y</math> związane są deterministyczną
zależnością liniową (typu <math>y=c_1 x+c_2</math>), to ich korelacja
wynosi <math>1</math> (lub <math>-1</math>, jeśli <math>c_1<
0</math>). Jeśli wzrostowi zmiennej <math>x</math> towarzyszy
statystycznie wzrost zmiennej <math>y</math>, to ich korelacja jest
dodatnia (pomiędzy <math>0</math> a <math>1</math>). Dla zmiennych
niezależnych korelacja wynosi <math>0</math>.

--------------------
<references />

← poprzednia wersja		Wersja z 21:09, 17 mar 2024
Linia 69:		Linia 69:

	Pierwiastek wariancji <math>\left( \sigma=\sqrt{\sigma^2}\right)</math> nosi nazwę ''odchylenia standardowego''.		Pierwiastek wariancji <math>\left( \sigma=\sqrt{\sigma^2}\right)</math> nosi nazwę ''odchylenia standardowego''.
−
−	~~Wyprowadzimy jeszcze jeden ogólny wzór na obliczanie wariancji, użyteczny w wielu przypadkach:~~
−
−	~~<equation id="eq:64">~~
−	~~<math>~~
−	~~\sigma ^{2}(x)= \sigma^2_x = E(x^{2})-\left\{ E(x)\right\} ^{2}.~~
−	~~</math>~~
−	~~</equation>~~
−
−	~~====Dowód====~~
−
−	~~<math>~~
−	~~\sigma^{2}(x)=E((x-\mu~~
−	~~)^{2})=E(x^{2}-2x\mu+\mu ^{2})=E(x^{2})-2\mu E(x)+\mu^{2}=E(x^{2})-\mu^{2}=E(x^{2})-\left\{ E(x)\right\} ^{2}~~
−	~~</math>~~
−
−	~~Czyli wariancja zmiennej losowej jest równa różnicy wartości oczekiwanej~~
−	~~kwadratu tej zmiennej i kwadratu jej wartości oczekiwanej.~~

	===Kowariancja i współczynnik korelacji===		===Kowariancja i współczynnik korelacji===

@@ Linia 42: / Linia 42: @@
 </math>
-Dla rozkładów symetrycznych mediana i wartość oczekiwana są sobie równe, w ogólnym przypadku rozkładów niesymetrycznych -- NIE, por. np.
+Dla rozkładów symetrycznych mediana i wartość oczekiwana są sobie równe, w ogólnym przypadku rozkładów niesymetrycznych — NIE, por. np.
 [https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/de/Comparison_mean_median_mode.svg ilustracja różnic z Wikipedii]

← poprzednia wersja		Wersja z 11:30, 29 sty 2016
Linia 1:		Linia 1:
		+
		+	[[Wnioskowanie_Statystyczne_-_wykład]]
		+

	==Wariancja, korelacja, mediana==		==Wariancja, korelacja, mediana==

@@ Linia 30: / Linia 30: @@
 Mediana to inna od wartości oczekiwanej miara położenia środka rozkładu. Określamy ją jako
-taką wartość zmiennej losowej <math>x_{\nicefrac{1}{2}}</math>, która dzieli rozkład gęstości
+taką wartość zmiennej losowej <math>x_{\frac{1}{2}}</math>, która dzieli rozkład gęstości
 prawdopodobieństwa na dwie równe części &mdash; wartościom zmiennych losowych
-mniejszym niż <math>x_{\nicefrac{1}{2}}</math> odpowiada tyle samo przypadków, co wartościom większym:
+mniejszym niż <math>x_{\frac{1}{2}}</math> odpowiada tyle samo przypadków, co wartościom większym:
 <math>

@@ Linia 35: / Linia 35: @@
 <math>
-\int\limits_{-\infty}^{x_{\nicefrac{1}{2}}} p(x) dx  = \int\limits_{x_{\nicefrac{1}{2}}}^\infty p(x) dx= \ \frac{1}{2}.
+\int\limits_{-\infty}^{x_{\frac{1}{2}}} p(x) dx  = \int\limits_{x_{\frac{1}{2}}}^\infty p(x) dx= \ \frac{1}{2}.
 </math>

@@ Linia 9: / Linia 9: @@
 ===Wartość oczekiwana===
-Zgodnie z nazwą i intuicją, wartość oczekiwana określa środek rozkładu, czyli okolicę, w którą najczęściej powinny "trafiać" wyniki.<ref>Nie musi być równa wartości zmiennej losowej, dla której prawdopodobieństwo jest największe.</ref>
+Zgodnie z nazwą i intuicją, wartość oczekiwana (wartość średnia, przeciętna) określa środek rozkładu, czyli okolicę, w którą najczęściej powinny "trafiać" wyniki.<ref>Nie musi być równa wartości zmiennej losowej, dla której prawdopodobieństwo jest największe.</ref>
 Dla rozkładów dyskretnych będzie się ona wyrażać wzorem:
@@ Linia 30: / Linia 30: @@
 </math>
 </equation>
 ===Mediana===

@@ Linia 117: / Linia 117: @@
 niezależnych korelacja wynosi <math>0</math>.
 --------------------
 <references />

@@ Linia 41: / Linia 41: @@
 </math>
-Dla rozkładów symetrycznych mediana i wartość oczekiwana są sobie równe.
+Dla rozkładów symetrycznych mediana i wartość oczekiwana są sobie równe, w ogólnym przypadku rozkładów niesymetrycznych -- NIE, por. np.
 ===Wariancja===