WnioskowanieStatystyczne/Statystyki i estymatory - Historia wersji

Durka: /* Estymator wariancji */

2026-03-25T15:49:15Z

Estymator wariancji

2026-03-25T15:45:41Z

Estymator wariancji

2026-03-25T15:43:05Z

Estymator wariancji

2026-03-25T15:40:56Z

Estymator wariancji

2026-03-25T15:39:00Z

Estymator wariancji

2026-03-20T09:18:52Z

Estymator wariancji

2026-03-12T15:06:58Z

Estymator wariancji

2026-03-12T15:04:49Z

Estymator wariancji

2026-03-12T15:02:34Z

Estymator wariancji

2026-03-12T14:59:15Z

Estymator wariancji

@@ Linia 216: / Linia 216: @@
 <math>\displaystyle
-E\left( s_o^{2}\right) =  \frac{1}{n} \left( n \left(\sigma^2_{x_i} - \mu^2\right) -n \left( \frac{1}{n}\sigma^2_{x_i} - \mu^2 \right) \right)
+E\left( s_o^{2}\right) =  \frac{1}{n} \left( n \left(\sigma^2_{x_i} + \mu^2\right) -n \left( \frac{1}{n}\sigma^2_{x_i} + \mu^2 \right) \right)
 =\frac{n-1}{n}\sigma^{2}_{x_i}
 </math>

@@ Linia 174: / Linia 174: @@
 <center><math>\displaystyle
-\frac{1}{n}\sigma^{2}_{x_i} = E(x_i^2) - \mu^2
+\frac{1}{n}\sigma^{2}_{x_i} = E(\overline{x}^2) - \mu^2
 </math></center>

@@ Linia 170: / Linia 170: @@
 Czyli <math>\sigma_\overline{x}^2 = E(\overline{x}^2) - \mu^2</math>.
-Ponieważ <math> \sigma ^{2}_\overline{x}=\frac{1}{n}\sigma^{2}_x_i </math>
+Ponieważ <math> \sigma^{2}_\overline{x}=\frac{1}{n}\sigma^{2}_{x_i} </math>
 dostajemy
 <center><math>\displaystyle
-\frac{1}{n}\sigma^{2}_{x_i} = E({x_I}^2) - \mu^2
+\frac{1}{n}\sigma^{2}_{x_i} = E(x_i^2) - \mu^2
 </math></center>

@@ Linia 164: / Linia 164: @@
 Analogicznie dla wariancji wartości średniej
-<center><math>
+<center><math>\displaystyle
   E(\overline{x}^2) = \sigma_\overline{x}^2 + \mu^2
 </math></center>
-Ponieważ
-<math>\displaystyle
+Czyli <math>\sigma_\overline{x}^2 = E(\overline{x}^2) - \mu^2</math>.
-{ \sigma ^{2}_\overline{x}=\frac{1}{n}\sigma^{2}_x }
+Ponieważ <math> \sigma ^{2}_\overline{x}=\frac{1}{n}\sigma^{2}_x_i </math>
 dostajemy
 <center><math>\displaystyle
-\frac{1}{n}\sigma^{2}_\overline{x} = E({x}^2) - \mu^2
+\frac{1}{n}\sigma^{2}_{x_i} = E({x_I}^2) - \mu^2
 </math></center>
@@ Linia 181: / Linia 180: @@
 <center><math>\displaystyle
-E(\overline{x}^2) = \frac{1}{n}\sigma^{2}_{x_i} - \mu^2
+E(\overline{x}^2) = \frac{1}{n}\sigma^{2}_{x_i} + \mu^2
 </math></center>

@@ Linia 215: / Linia 215: @@
 podstawiając wyprowadzone wcześniej wzory na <math>E(x_{i}^2)</math> i <math>E(\overline{x}^{2})</math> dostajemy
 <math>\displaystyle
-E\left( s_o^{2}\right) =  \frac{1}{n} \left( n (\sigma^2_{x_i} - \mu^2) -n ( \frac{1}{n}\sigma^2_{x_i} - \mu^2 ) \right)
+E\left( s_o^{2}\right) =  \frac{1}{n} \left( n \left(\sigma^2_{x_i} - \mu^2\right) -n \left( \frac{1}{n}\sigma^2_{x_i} - \mu^2 \right) \right)
 =\frac{n-1}{n}\sigma^{2}_{x_i}
 </math>
@@ Linia 233: / Linia 234: @@
 ===Estymator wariancji wartości średniej===
-Podstawiając tę zależność do wyprowadzonego powyżej wzoru na
+Podstawiając tę zależność do wyprowadzonego powyżej wzoru na wariancję wartości średniej w miejsce <math>\sigma^2</math>, dostajemy wzór na estymator wariancji wartości średniej próby

@@ Linia 210: / Linia 210: @@
 <math>\displaystyle =
-\frac{1}{n} \left(n E(x_{i}^2) - n E(\overline{x}^{2}) \right)
+\frac{1}{n} \left(n E\left(x_{i}^2\right) - n E\left(\overline{x}^{2}\right) \right)
 </math>

@@ Linia 148: / Linia 148: @@
 <math>\displaystyle
 \sigma^{2}(x_i)=E((x_i-\mu)^{2})=E(x_i^{2}-2x_i\mu+\mu ^{2})=E(x_i^{2})-2\mu E(x_i)+\mu^{2}=\\
-\quad\quad= E(x_i^{2})-\mu^{2}=E(x_i^{2})-\left\{ E(x_i)\right\} ^{2}
+\quad\;\;\;\;\;\: = E(x_i^{2})-\mu^{2}=E(x_i^{2})-\left\{ E(x_i)\right\} ^{2}
 </math>