Durka: /* Równoważność statystyk W_{m,n} i M_{m,n} */

2024-04-19T06:58:25Z

Równoważność statystyk W_{m,n} i M_{m,n}

Durka: /* Równoważność statystyk W_{m,n} i M_{m,n} */

2017-04-18T12:15:33Z

Równoważność statystyk W_{m,n} i M_{m,n}

Durka: /* Równoważność statystyk W_{m,n} i M_{m,n} */

2017-04-18T12:12:09Z

Równoważność statystyk W_{m,n} i M_{m,n}

Durka: /* Test rang Wilcoxona–Manna–Whitneya */

2016-01-29T11:31:58Z

Test rang Wilcoxona–Manna–Whitneya

Jarekz: Utworzono nową stronę " ==Test rang Wilcoxona–Manna–Whitneya== W WnioskowanieStatystyczne/Test_t#label-eq:109|przykładzie sprawdzającym skuteczność remontu linii produkcyjn..."

2015-05-22T14:36:55Z

Utworzono nową stronę " ==Test rang Wilcoxona–Manna–Whitneya== W WnioskowanieStatystyczne/Test_t#label-eq:109|przykładzie sprawdzającym skuteczność remontu linii produkcyjn..."

Nowa strona

==Test rang Wilcoxona–Manna–Whitneya==

W [[WnioskowanieStatystyczne/Test_t#label-eq:109|przykładzie sprawdzającym skuteczność remontu linii produkcyjnej w fabryce]] zetknęliśmy się z jedną z sytuacji najczęściej
spotykanych w praktycznym stosowaniu statystyki, mianowicie pytaniem o
istotność różnic między dwoma grupami. Bardzo często zdarza się, że
nie mamy wystarczających informacji o rozkładach, z których pochodzą
analizowane dane. Jeśli pomimo to zastosujemy np. test <math>t</math>
oparty na założeniu normalności populacji, to popełniamy poważny błąd
metodologiczny, przez co możemy uzyskać nieprawdziwy wynik.

Dlatego od wielu lat ogromną popularnością — szczególnie w
naukach biomedycznych — cieszą się odpowiedniki testu
<math>t</math>, nie wymagające założeń normalności. Najpopularniejszym
z nich jest test zwany czasami testem Wilcoxona, innym znów razem
testem Manna–Whitneya. Niejasności wynikają z faktu, że
statystyki testowe zaproponowane przez
[http://sci2s.ugr.es/keel/pdf/algorithm/articulo/wilcoxon1945.pdf Wilcoxona w roku 1945] oraz przez
[http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.aoms/1177730491 Manna i Whitneya w roku 1947] są równoważne, czyli zastosowanie dowolnej z nich daje ''de facto'' ten sam test.

===Statystyka Wilcoxona===

Mamy dwie próby o liczebnościach odpowiednio <math>m</math> i
<math>n</math> elementów. Elementy pierwszej grupy oznaczymy
<math>\{x_i\}_{i=1\dots m}</math>, a drugiej —
<math>\{y_j\}_{j=1\dots n}</math>. Hipoteza zerowa zakłada ich
pochodzenie z tej samej populacji.

Liczby z obydwu prób "wrzucamy do jednego worka", a następnie
porządkujemy rosnąco. Każdej liczbie przypisujemy jej pozycję (rangę)
<math>R(x)</math>. Statystyką testową jest suma rang liczb
pochodzących z pierwszej próby. Wartość statystyki Wilcoxona możemy
zapisać jako
<equation id="eq:134">
<math>
W_{m,n}=\sum\limits_{i=1}^{m} R(x_i).
</math>
</equation>

Dla ilustracji użyjemy raz jeszcze danych z [[WnioskowanieStatystyczne/Test_t#label-eq:109|przykładu]]:
{| class="wikitable"
|-
|pierwsza próba (a)
|12, 9, 21, 14, 7, 17;
|-
|druga próba (b)
| 5, 9, 3, 11, 8, 19, 7, 5, 9, 12, 5, 11, 9, 6, 8, 17, 9, 12
|}

połączone próby:

{| class="wikitable"
|-
|''liczba''
| 3
| 5
| 7
| 8
| 9
| 9
| 11
| 12
| 14
| 17
| 19
| 21
|-
|''grupa''
| b
| b
| a
| b
| a
| b
| b
| a
| a
| a
| b
| a
|-
|''ranga''
| 1
| 2
| 3
| 4
| 5,5
| 5,5
| 7
| 8
| 9
| 10
| 11
| 12
|}

W tym przypadku suma rang dla pierwszej grupy (a) wyniesie 47,5.<ref>W przypadku występowania jednakowych wartości przypisujemy odpowiednie rangi ułamkowe.</ref>

===Statystyka Manna–Whitneya===

Ponownie porządkujemy elementy obu prób w jeden rosnący ciąg. Jako
inwersję definiujemy taką parę liczb z tego ciągu, w której liczba z
próby drugiej poprzedza (czyli jest od niej mniejsza) liczbę z próby pierwszej.
Wartość statystyki Manna–Whitneya jest ilością takich inwersji w ciągu
utworzonym z badanych prób.

Ilość inwersji zliczamy kolejno dla każdego elementu pierwszej grupy i sumujemy.
Możemy to zapisać jako
<equation id="eq:135">
<math>
M_{m,n}=\sum\limits_{i=1}^{m} \#\{j: y_j<x_i\} ,
</math>
</equation>
gdzie symbol <math>\#</math> oznacza liczebność.

==Równoważność statystyk <math>W_{m,n}</math> i <math>M_{m,n}</math>==

Dla każdego elementu drugiej próby <math>x_i</math> jego ranga jest
równa ilości poprzedzających go elementów (z obu prób) powiększonej o
jeden. Z kolei w <math>i</math>-tym składniku sumy <xr id="eq:135">(%i)</xr> zliczamy
wyłącznie poprzedzające <math>x_i</math> elementy drugiej próby
(<math>y_j</math>) — do pełnej sumy rang brakuje ilości
poprzedzających <math>x_i</math> elementów tej samej próby. Aby
uzyskać "pełną" rangę, musimy je dodać: dla <math>x_i</math> będzie
ich <math>i-1</math>.<ref>Przyjmujemy w tym miejscu, że
<math>x_i</math> są uporządkowane rosnąco.</ref> Ostatecznie w <xr id="eq:135">(%i)</xr> do pełnej sumy rang brakuje <math>\sum\limits_{i=1}^n
i</math>. Ponieważ
<math>
\sum\limits_{i=1}^m i = \frac{m(m+1)}{2} ,
</math>
dostajemy

<math> W_{m,n} =M_{m,n}+\frac{m(m+1)}{2}. </math>

Ponieważ dla ustalonych liczebności grup wartości tych statystyk
różnią się o czynnik zależny wyłącznie od liczebności jednej z grup, ich
rozkłady będą jednakowe z dokładnością do przesunięcia o ten czynnik, czyli
oparte na nich testy będą równoważne.

Oznacza to, że testy oparte na tych statystykach będą dawać dokładnie takie same
wyniki, czyli nie ma sensu ich rozróżnianie. Pozostaje więc znaleźć postać
rozkładu prawdopodobieństwa dla jednej z tych statystyk...

<center>
:-/
</center>

No tak, może faktycznie po ciężkich doświadczeniach z wyprowadzaniem postaci
rozkładu z poprzedniego rozdziału byłoby to mało rozwijające. W dodatku w tym
wypadku nie da się znaleźć tak "spójnej" postaci jak w poprzednim
rozdziale,<ref>Za to rozkład statystyki <xr id="eq:134">(%i)</xr> jest szybko zbieżny
do rozkładu normalnego (por. [http://www.wnt.com.pl/product.php?action=0&prod_id=1488&hot=1 z książką Probabilistyka. Rachunek Prawdopodobieństwa. Statystyka matematyczna. Procesy stochastyczne" Agnieszki i Edmunda Plucińskich]) i zwykle korzysta się z tego przybliżenia.</ref> więc zadowoliwszy się znajomością ogólnych reguł możemy spokojnie
skorzystać z tablic lub odpowiednich programów komputerowych.

Spróbujmy zastosować ten test do danych z
[[WnioskowanieStatystyczne/Test_t#label-eq:109|przykładu sprawdzającego skuteczność remontu linii produkcyjnej w fabryce]]. Po obliczeniu wartości
statystyki <xr id="eq:134">(%i)</xr> i porównaniu ze stablicowanymi
wartościami<ref>Tablice statystyk <xr id="eq:134">(%i)</xr> czy [[WnioskowanieStatystyczne/Test_serii#label-eq:131|dla testu serii]] można znaleźć praktycznie w każdym
podręczniku statystyki, choć w praktyce korzystamy z programów
komputerowych, zawierających te informacje. Tak naprawdę dla większych
prób programy te korzystają z postaci asymptotycznych tych rozkładów,
wyznaczonych analitycznie.</ref> okazuje się, że hipotezę o
pochodzeniu wyników przed i po remoncie z tej samej populacji można
przyjąć na poziomie 5% (graniczne prawdopodobieństwo wynosi 7,4%). Z
kolei stosowany przy pierwszej dyskusji tego przykładu
[[WnioskowanieStatystyczne/Testy_permutacyjne#Przykład|test permutacyjny]] odrzucił
hipotezę o braku zmian przy poziomie istotności
ok. 3,8%<ref>[[WnioskowanieStatystyczne/Test_t#label-eq:109|Test Studenta dla tych samych danych]] dał wynik podobny do uzyskanego w teście permutacyjnym,
jednak w tym przypadku nie mamy gwarancji spełnienia założeń.</ref>
Zgodnie z oczekiwaniami sugeruje to mniejszą moc testu
Wilcoxona–Manna–Whitneya, jako opartego jedynie na
względnych wartościach. Zauważmy, że np. zastąpienie największej z
wartości (21) wartością dowolnie większą (np. 21000) nie zmieni
wartości statystyki <xr id="eq:134">(%i)</xr>! Tak więc test ten nie wykorzystuje całej informacji zawartej w analizowanych danych — jest to cena za
niezależność od rozkładu.

Na koniec powinniśmy wziąć pod uwagę jeszcze jeden czynnik. Ponieważ
rozkład statystyki <xr id="eq:134">(%i)</xr> jest symetryczny względem
zamiany grupy "pierwszej" i "drugiej", czyli <math>P(W_{m, n})=P(W_{n,
m})</math>, implementacje tego testu w programach komputerowych podają
zwykle wynik dla testu dwustronnego. Graniczne prawdopodobieństwo dla
testu jednostronnego byłoby dwukrotnie mniejsze od podanego, co daje
dowód hipotezy o wpływie remontu linii na ilość braków, podobnie jak w
teście permutacyjnym i <math>t</math>. Jednak fakt ten nie podważa
ogólnej wartości rozważań poprzedniego akapitu.

-------------
<references>

← poprzednia wersja		Wersja z 11:31, 29 sty 2016
Linia 1:		Linia 1:
		+
		+	[[Wnioskowanie_Statystyczne_-_wykład]]
		+

	==Test rang Wilcoxona–Manna–Whitneya==		==Test rang Wilcoxona–Manna–Whitneya==

@@ Linia 123: / Linia 123: @@
 jeden.  Z kolei w <math>i</math>-tym składniku sumy <xr id="eq:135">(%i)</xr> zliczamy
 wyłącznie poprzedzające <math>x_i</math> elementy drugiej próby
-(<math>y_j</math>) &mdash; do pełnej sumy rang brakuje ilości
+(<math>y_j</math>) &mdash; do pełnej sumy rang brakuje liczby
 poprzedzających <math>x_i</math> elementów tej samej próby. Aby
 uzyskać "pełną" rangę, musimy je dodać: dla <math>x_i</math> będzie

@@ Linia 155: / Linia 155: @@
 do rozkładu normalnego (por. [http://www.wnt.com.pl/product.php?action=0&prod_id=1488&hot=1 z książką Probabilistyka. Rachunek Prawdopodobieństwa. Statystyka matematyczna. Procesy stochastyczne" Agnieszki i Edmunda Plucińskich]) i zwykle korzysta się z tego przybliżenia.</ref>  więc zadowoliwszy się znajomością ogólnych reguł możemy spokojnie
 skorzystać z tablic lub odpowiednich programów komputerowych.
 Spróbujmy zastosować ten test do danych z

@@ Linia 120: / Linia 120: @@
 Dla każdego elementu drugiej próby <math>x_i</math> jego ranga jest
-równa ilości poprzedzających go elementów (z obu prób) powiększonej o
+równa liczbie poprzedzających go elementów (z obu prób) powiększonej o
 jeden.  Z kolei w <math>i</math>-tym składniku sumy <xr id="eq:135">(%i)</xr> zliczamy
 wyłącznie poprzedzające <math>x_i</math> elementy drugiej próby

WnioskowanieStatystyczne/Test Wilcoxona - Historia wersji

Durka: /* Równoważność statystyk W_{m,n} i M_{m,n} */

Durka: /* Równoważność statystyk W_{m,n} i M_{m,n} */

Durka: /* Równoważność statystyk W_{m,n} i M_{m,n} */

Durka: /* Test rang Wilcoxona–Manna–Whitneya */

Jarekz: Utworzono nową stronę " ==Test rang Wilcoxona–Manna–Whitneya== W WnioskowanieStatystyczne/Test_t#label-eq:109|przykładzie sprawdzającym skuteczność remontu linii produkcyjn..."