WnioskowanieStatystyczne/Test chi2 - Historia wersji

Durka: /* Test \chi^2 Pearsona */

2024-04-05T05:29:46Z

Test \chi^2 Pearsona

Durka: /* Przykład */

2024-04-05T05:24:36Z

Przykład

Durka: /* Za dokładnie? */

2024-04-05T05:12:26Z

Za dokładnie?

Durka: /* Test \chi^2 Pearsona */

2024-04-05T05:12:08Z

Test \chi^2 Pearsona

Durka: /* Rozkład \chi ^2 */

2024-04-05T04:23:20Z

Rozkład \chi ^2

Durka: /* Rozkład \chi ^2 */

2024-04-05T04:21:28Z

Rozkład \chi ^2

Durka: /* Test \chi^2 Pearsona */

2024-04-05T04:20:49Z

Test \chi^2 Pearsona

Durka: /* Za dokładnie? */

2024-04-05T04:19:57Z

Za dokładnie?

Durka: /* Za dokładnie? */

2024-04-05T04:18:57Z

Za dokładnie?

Durka: /* Za dokładnie? */

2024-04-05T04:17:00Z

Za dokładnie?

@@ Linia 210: / Linia 210: @@
 zwykle przynajmniej pięć. Dla mniejszych ilości zliczeń w binach,
 <math>\chi^2</math> nie będzie dobrym przybliżeniem rozkładu powyższej
-statystyki.
+statystyki — w takich przypadkach możemy zastosować test oparty na dokładnych wartościach statystyki, wyliczanych kombinatorycznie, jak np. dokładny test Fishera; dokładne statystyki można oczywiście stosować w każdym przypadku.
 [[Plik:chi2Pearson.png|thumb|center|600px|<figure id="fig:119"></figure>Górny wykres: histogram 200 wartości (jasne, szerokie słupki); wąskie (ciemniejsze) słupki przedstawiają wartości oczekiwane <math>Np_i</math>, gdzie <math>p_i</math> są całkami dopasowanej krzywej (rozkładu Gaussa) w odpowiednim przedziale. Dolny wykres: rozkład statystyki <math>\chi^2=\sum_{i=1}^{15} \frac{(n_i-Np_i)^2}{Np_i}</math> dla 12 stopni swobody (15 binów minus więzy: wyznaczone z danych <math>\mu</math>, <math>\sigma</math> oraz <math>\sum_{i=1}^{15}n_i=N</math>) z zaznaczoną wartością <math>\chi^2_d</math> dla danych z lewego wykresu. Ponieważ <math>\int_{\chi^2_d}^\infty p(\chi^2)=0,24</math>, hipotezę o pochodzeniu danych z rozkładu normalnego możemy przyjąć na poziomie istotności nawet 48% (test dwustronny).]]

@@ Linia 224: / Linia 224: @@
 ====Przykład====
 <figure id="fig:120">
 {|class="wikitable"
@@ Linia 254: / Linia 255: @@
 |}
 <caption>Powyższa tabela sumuje liczby ofiar słynnej katastrofy statku pasażerskiego Titanic (zob. [http://www.encyclopedia-titanica.org http://www.encyclopedia-titanica.org]) w zależności od klasy, którą podróżowali pasażerowie. Czy wykupienie biletu w pierwszej zamiast trzeciej klasie zwiększało szanse przeżycia?</caption></figure>
 Okazuje się, że wśród uratowanych było więcej pasażerów III klasy (178),
@@ Linia 264: / Linia 266: @@
 wszystkich pasażerów niezależnie od klasy i ocenić je można jako stosunek
 ilości uratowanych (499) do wszystkich pasażerów (1316), czyli ok. 38%<ref>dokładnie 37,9..., w tekście przytaczamy wartości bardziej zaokrąglone niż w faktycznych obliczeniach.</ref> W tej sytuacji spośród pasażerów III klasy powinno ocaleć 38% z 706, czyli prawie prawie 268<ref>Dokładniej 267,5. Nie oznacza to bynajmniej, że jeden pasażer
-powinien ocaleć ,,połowicznie'', tylko że 267 i 268 są liczbami najbliższymi
+powinien ocaleć "połowicznie", tylko że 267 i 268 są liczbami najbliższymi
 najbardziej prawdopodobnej.</ref>, z drugiej klasy 38% z 285 czyli około 108, wreszcie z pierwszej klasy &mdash; 38% z 325, czyli około123 pasażerów.
 Przewidywane ilości zaginionych możemy obliczyć z analogicznych proporcji &mdash; w każdej klasie powinno zginąć średnio 817/1316 czyli ok. 62% pasażerów. W ten sposób możemy stworzyć tabelę:
 <figure id="fig:121">
 {|class="wikitable"
@@ Linia 298: / Linia 302: @@
 |}
 <caption>Wartości oczekiwane dla tabeli z tabeli <xr id="fig:120"> %i</xr> (zaokrąglone do liczb całkowitych) w świetle hipotezy o niezależności kolumn i wierszy.</caption></figure>
 Zwróćmy uwagę, że obliczone w ten sposób wartości oczekiwane dają takie same
@@ Linia 303: / Linia 309: @@
 W ogólnym przypadku dla tabeli o wymiarach <math>3\times 2</math>:
 {| class="wikitable"
 |-
@@ Linia 313: / Linia 320: @@
 |f
 |}
 i wartości brzegowych:
 {| class="wikitable"
 |-
@@ Linia 333: / Linia 342: @@
 |(a+b+c+d+e+f)
 |}
-hipotezę o niezależności kolumn i wierszy wyrażać będą wartości
+<center>
 <figure id="fig:122">
 {| class="wikitable"
 |-
-|<math>\frac{(a+b+c)(a+d)}{a+b+c+d+e+f}</math>
+|<math>\displaystyle\frac{(a+b+c)(a+d)}{a+b+c+d+e+f}</math>
-|<math>\frac{(a+b+c)(b+e)}{a+b+c+d+e+f}</math>
+|<math>\displaystyle\frac{(a+b+c)(b+e)}{a+b+c+d+e+f}</math>
-|<math>\frac{(a+b+c)(c+f)}{a+b+c+d+e+f}</math>
+|<math>\displaystyle\frac{(a+b+c)(c+f)}{a+b+c+d+e+f}</math>
-|(a+b+c)
+|<math>(a+b+c)</math>
 |-
-|<math>\frac{(d+e+f)(a+d)}{a+b+c+d+e+f}</math>
+|<math>\displaystyle\frac{(d+e+f)(a+d)}{a+b+c+d+e+f}</math>
-|<math>\frac{(d+e+f)(b+e)}{a+b+c+d+e+f}</math>
+|<math>\displaystyle\frac{(d+e+f)(b+e)}{a+b+c+d+e+f}</math>
-|<math>\frac{(d+e+f)(c+f)}{a+b+c+d+e+f}</math>
+|<math>\displaystyle\frac{(d+e+f)(c+f)}{a+b+c+d+e+f}</math>
-|(d+e+f)
+|<math>(d+e+f)</math>
 |-
-|(a+d)
+|<math>(a+d)</math>
-|(b+e)
+|<math>(b+e)</math>
-|(c+f)
+|<math>(c+f)</math>
-|(a+b+c+d+e+f)
+|<math>(a+b+c+d+e+f)</math>
 |}
 <caption>Wartości oczekiwane dla hipotezy o niezależności kolumn i wierszy tabeli <math>3\times 2</math>.</caption></figure>
-Ale wróćmy do pytania postawionego w przykładzie <xr id="fig:120">
-%i</xr>. Porównując dane z tego przykładu z tabelą <xr id="fig:121">
+Ale wróćmy do pytania postawionego w  <xr id="fig:120">
-%i</xr> widzimy, że w klasach pierwszej i drugiej ocalało więcej
+przykładzie</xr>. Porównując dane z tego przykładu z  <xr id="fig:121">
 pasażerów, niż wynikałoby to z hipotezy o niezależności szans
 przeżycia od klasy. Czy są to różnice statystycznie istotne, czy mogą
@@ Linia 366: / Linia 382: @@
 Statystycznych.  Wartości oczekiwane w świetle hipotezy zerowej
 opisuje <xr id="fig:121">tabela</xr>, a za statystykę testową
-posłuży <math>\chi^2</math> Pearsona.  Analogicznie do  <xr
+posłuży <math>\chi^2</math> Pearsona:
@@ Linia 373: / Linia 388: @@
 <equation id="eq:123">
 <math>
 \chi^2=\sum\limits_{i=1}^r
 \frac{(n_i^{\textrm{obserwowane}}-n_i^{\textrm{oczekiwane}})^2}{n_i^{\textrm{oczekiwane}}},
@@ Linia 398: / Linia 414: @@
 dokładne wartości <math>n_i^{\textrm{oczekiwane}}</math>, które nie muszą wyrażać się liczbami całkowitymi.</ref>
 {| class="wikitable"
 |-
@@ Linia 408: / Linia 426: @@
 |<math>\frac{(528-438)^2}{438}</math>
 |}
 Suma tych wartości wynosi ponad 133. Prawdopodobieństwo przypadkowego

← poprzednia wersja		Wersja z 05:12, 5 kwi 2024
Linia 158:		Linia 158:

	[[Plik:chi2_2.png\|thumb\|center\|800px\|<figure id="fig:116"></figure>W danych z rysunku <xr id="fig:114"> %i</xr> zmieniliśmy pierwszą i ostatnią liczbę, otrzymując serię: 10,1, 9,8, 9,83, 9,86 i 9,63. Tym razem rozrzut okazuje się "za duży" jak na hipotezę o pochodzeniu tych danych z rozkładu normalnego o wariancji 0,1.]]		[[Plik:chi2_2.png\|thumb\|center\|800px\|<figure id="fig:116"></figure>W danych z rysunku <xr id="fig:114"> %i</xr> zmieniliśmy pierwszą i ostatnią liczbę, otrzymując serię: 10,1, 9,8, 9,83, 9,86 i 9,63. Tym razem rozrzut okazuje się "za duży" jak na hipotezę o pochodzeniu tych danych z rozkładu normalnego o wariancji 0,1.]]
−
−

	==Test <math>\chi^2</math> Pearsona==		==Test <math>\chi^2</math> Pearsona==

← poprzednia wersja		Wersja z 05:12, 5 kwi 2024
Linia 158:		Linia 158:

	[[Plik:chi2_2.png\|thumb\|center\|800px\|<figure id="fig:116"></figure>W danych z rysunku <xr id="fig:114"> %i</xr> zmieniliśmy pierwszą i ostatnią liczbę, otrzymując serię: 10,1, 9,8, 9,83, 9,86 i 9,63. Tym razem rozrzut okazuje się "za duży" jak na hipotezę o pochodzeniu tych danych z rozkładu normalnego o wariancji 0,1.]]		[[Plik:chi2_2.png\|thumb\|center\|800px\|<figure id="fig:116"></figure>W danych z rysunku <xr id="fig:114"> %i</xr> zmieniliśmy pierwszą i ostatnią liczbę, otrzymując serię: 10,1, 9,8, 9,83, 9,86 i 9,63. Tym razem rozrzut okazuje się "za duży" jak na hipotezę o pochodzeniu tych danych z rozkładu normalnego o wariancji 0,1.]]
		+
		+

	==Test <math>\chi^2</math> Pearsona==		==Test <math>\chi^2</math> Pearsona==

@@ Linia 17: / Linia 17: @@
 z rozkładu normalnego o zerowej średniej <math>\mu=0</math> i jednostkowej
 wariancji <math>\sigma ^{2}=1.</math> Suma
 <equation id="eq:111">
 <math>
 \chi ^2=\sum\limits_{i=1}^N x_i^2
 </math>
 </equation>
 będzie podlegać<ref>Dowód tego faktu można znaleźć np. w [http://www.wnt.com.pl/product.php?action=0&prod_id=1488&hot=1 książce "Probabilistyka. Rachunek Prawdopodobieństwa. Statystyka matematyczna. Procesy stochastyczne" Agnieszki i Edmunda Plucińskich].</ref> rozkładowi <math>\chi^2</math> o gęstości prawdopodobieństwa danej następującym równaniem:
 <equation id="eq:112">
 <math>
 p(\chi ^{2})=\frac{1}{\Gamma \left(\frac{f}{2}\right)2^{\frac{f}{2}}}
 \left(\chi^{2}\right)^{\frac{f}{2}-1}e^{-\frac{\chi ^{2}}{2}} ,
 </math>
 </equation>
 gdzie <math>f</math> oznacza liczbę stopni swobody,
 a <math>\Gamma</math> funkcję Eulera.<ref>
@@ Linia 35: / Linia 46: @@
 </ref>
-W przypadku, gdy zmienne w sumie <xr id="eq:111">(%i)</xr> są
+W przypadku, gdy zmienne w <xr id="eq:111">sumie </xr> są
 niezależne, <math>f=N</math>, czyli liczba stopni swobody jest równa
 liczbie składników w sumie <xr id="eq:111">(%i)</xr>. W praktyce, jak

@@ Linia 8: / Linia 8: @@
-[[Plik:Rozklad_gaussa.png|600px|thumb|right|<math>N(0,1)</math>, czyli
+[[Plik:Rozklad_gaussa.png|600px|thumb|center|<math>N(0,1)</math>, czyli
 standardowy rozkład Gaussa o zerowej średniej (<math>\mu=0</math>) i
 jednostkowej wariancji (<math>\sigma=1</math>).]]
 Rozważmy sumę kwadratów zmiennych z rozkładu Gaussa.

@@ Linia 162: / Linia 162: @@
 wynosi <math>Np_i</math>, gdzie <math>p_i</math> jest całką rozkładu w granicach <math>i</math>-tego
 przedziału histogramu (wartości te reprezentują na górnym wykresie <xr id="fig:119">rys. %i</xr> wąskie szare słupki). Jeśli ilość danych w <math>i</math>-tym binie<ref>W literaturze polskojęzycznej bin określa się również jako "przedział stałych wartości histogramu".</ref> histogramu oznaczymy jako <math>n_i</math>, to wygodną miarą rozbieżności danych od hipotetycznego rozkładu może być suma kwadratów <math>\sum(n_i-Np_i)^2</math>. Wyrazy tej sumy warto podzielić przez wartość oczekiwaną w każdym binie, czyli <math>Np_i</math>, dzięki czemu zaproponowana przez Pearsona w roku 1900 statystyka
 <center>
 <equation id="eq:118">
 <math>
 \chi ^{2}=\sum\limits_{i=1}^r \frac{\left( n_i-N p_i\right) ^{2}}{N p_i}
 </math>
 </equation>
 </center>
 dla <math>N\rightarrow\infty</math> i odpowiednio dużych

@@ Linia 109: / Linia 109: @@
 <equation id="eq:115">
 <math>
 \chi^2=\sum_{i=1}^N
 \left(\frac{x_i-\overline{x}}{\sigma}\right)^2 ,

@@ Linia 103: / Linia 103: @@
 wartość oczekiwaną &mdash; rozrzut lepiej liczyć względem wartości
 średniej próby.
-Można udowodnić, <ref>Dowód można znaleźć np. w [http://books.google.pl/books?id=XphcKk7VBqUC&printsec=frontcover&dq=Siegmund+Brandt}&source=bl&ots=voUbdUtqIL&sig=xa5JobprniVzaOiCfwqKo95Exu8&hl=pl&ei=mmy8S7fmKKaImwOdl6i9CA&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=5&ved=0CBUQ6AEwBA#v=onepage&q&f=false książce Siegmunda Brandta "Analiza danych. Metody statystyczne i obliczeniowe"].</ref> że wielkość
+Można udowodnić, <ref>Dowód można znaleźć np. w [http://books.google.pl/books?id=XphcKk7VBqUC&printsec=frontcover&dq=Siegmund+Brandt}&source=bl&ots=voUbdUtqIL&sig=xa5JobprniVzaOiCfwqKo95Exu8&hl=pl&ei=mmy8S7fmKKaImwOdl6i9CA&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=5&ved=0CBUQ6AEwBA#v=onepage&q&f=false książce Siegmunda Brandta "Analiza danych. Metody statystyczne i obliczeniowe"].</ref>
 <equation id="eq:115">
 <math>
 \chi^2=\sum_{i=1}^N
-\left(\frac{x_i-\overline{x}}{\sigma}\right)^2
+\left(\frac{x_i-\overline{x}}{\sigma}\right)^2 ,
 </math>
 </equation>
 gdzie <math>\overline{x}=\frac 1 N \sum\limits_{i=1}^N x_i </math>,
 podlega rozkładowi <math>\chi^2</math> o <math>N-1</math> stopniach
 swobody.
-Rozkład ten przedstawiony jest w prawej części rysunku
+Rozkład ten przedstawiony jest w prawej części
-<xr id="fig:114"> %i</xr>. Zaznaczono na nim również (przerywaną linią
+<xr id="fig:114">rysunku</xr>. Zaznaczono na nim również (przerywaną linią
 pionową) wartość statystyki <math>\chi^2</math>, obliczoną dla dyskutowanego
 przypadku. Okazuje się, że wartość ta jest podejrzanie

@@ Linia 56: / Linia 56: @@
   ''Studenci wykonują ćwiczenie za pomocą znanego układu''
   ''doświadczalnego, dla którego prawidłowo przeprowadzane pomiary dają''
-  ''wyniki z rozkładu normalnego o odchyleniu standardowym''
+  ''wyniki z rozkładu normalnego o odchyleniu standardowym 0,1.''
-  ''<math>\sigma=0,1</math>. Jakie jest prawdopodobieństwo, że seria''
+  ''Jakie jest prawdopodobieństwo, że seria''
   ''wyników: 9,78, 9,81, 9,83, 9,86 i 9,79 pochodzi z pomiarów''
   ''przeprowadzanych na tym zestawie?''
 Przyjrzyjmy się tym danym w kontekście znanej wariancji. Lewy wykres
-na rysunku <xr id="fig:114"> %i</xr> przedstawia te liczby oraz ich
+na  <xr id="fig:114">rysunku</xr> przedstawia te liczby oraz ich
 średnią (linia przerywana) z zaznaczonym przedziałem <math>\pm</math>
 odchylenie standardowe. Przedział ten bywa zwany potocznie "korytarzem