WnioskowanieStatystyczne/Test t - Historia wersji

Durka: /* Rozkład t Studenta */

2024-03-22T12:11:49Z

Rozkład t Studenta

Durka: /* Rozkład t Studenta */

2023-03-31T08:01:25Z

Rozkład t Studenta

Durka: /* Rozkład t Studenta */

2023-03-31T08:00:56Z

Rozkład t Studenta

Durka: /* Rozkład t Studenta */

2023-03-31T08:00:08Z

Rozkład t Studenta

Durka: /* Rozkład t Studenta */

2023-03-31T07:58:07Z

Rozkład t Studenta

Durka: /* Test t (Studenta) różnicy średnich */

2022-04-08T09:53:24Z

Test t (Studenta) różnicy średnich

Durka: /* Przykład */

2016-05-19T19:49:49Z

Przykład

Durka: /* Rozkład t Studenta */

2016-01-29T11:31:41Z

Rozkład t Studenta

Jarekz: /* Przykład */

2015-05-22T14:07:59Z

Przykład

Jarekz: Utworzono nową stronę "==Rozkład $t$ Studenta== W poprzednim rozdziale rozważaliśmy rzadki w praktyce przypadek, w którym dokładną postać rozkładu, któremu podlega statyst..."

2015-05-22T14:05:54Z

Utworzono nową stronę "==Rozkład <math>t</math> Studenta== W poprzednim rozdziale rozważaliśmy rzadki w praktyce przypadek, w którym dokładną postać rozkładu, któremu podlega statyst..."

Nowa strona

==Rozkład <math>t</math> Studenta==

W poprzednim rozdziale rozważaliśmy rzadki w praktyce przypadek, w
którym dokładną postać rozkładu, któremu podlega statystyka testowa,
mogliśmy uznać za znaną.<ref>Założyliśmy postać rozkładu normalnego i
oba określające go parametry — wariancję <math>\sigma^2</math> i
średnią <math>\mu</math>.</ref> W praktyce częściej zdarza się
sytuacja, w której informacje musimy czerpać bezpośrednio z
testowanych danych. Załóżmy, że nie mamy możliwości niezależnej oceny
rozrzutu prawidłowych wyników, ale za to każdy student przynosi wyniki
kilku (<math>N</math>) pomiarów. Na podstawie tej próby możemy
estymować wariancję wyników dla danego układu, czyli populacji
wszystkich możliwych wyników. Według wzorów [[WnioskowanieStatystyczne/Statystyki_i_estymatory#label-eq:89|na estymator wartości oczekiwanej (wartość średnią)]] i [[WnioskowanieStatystyczne/Statystyki_i_estymatory#label-eq:94| estymator wariancji wartości średniej]] jej estymatą będzie:

<math>
{ s_{x}^{2}=\frac{1}{N-1}\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}(x_{i}-
\overline{x})^{2}\ }
</math>

a estymatą wariancji wartości średniej próby

<math>
{ s_{\overline{x}}^{2}=\frac{1}{N(N-1)}\underset{i=1}{\overset{N}{\sum
}}(x_{i}-\overline{x})^{2}\ }.
</math>

Jaką funkcję wybrać na statystykę testową? Tak jak poprzednio
zakładamy, że wyniki pochodzą z rozkładu normalnego o średniej równej
tablicowej wartości przyspieszenia ziemskiego (9,81), jednak nie znamy jego
wariancji.

Jako miarę rozbieżności możemy wybrać ponownie różnicę między
wartością oczekiwaną według hipotezy zerowej i wartością otrzymaną w
wyniku eksperymentu (w tym przypadku weźmiemy średnią otrzymanych
wyników), ale podzieloną tym razem przez estymowaną wariancję wartości
średniej próby. W poprzednim przypadku wariancję populacji prawidłowo
przeprowadzanych eksperymentów uznaliśmy za znaną, np. wyznaczoną w
niezależnie przeprowadzonym eksperymencie. Tym razem wariancję
będziemy estymować z tej samej próby, która podlega ocenie w
przeprowadzanym teście.

Przypomnijmy, że gdy dysponujemy "prawdziwą" wartością wariancji,
transformacja zmiennej losowej <math>x_i</math> pochodzącej z rozkładu
Gaussa o średniej <math>\mu</math> i wariancji <math>\sigma^2</math>

<math>
\overline{x}\longrightarrow \frac {\overline{x} - \mu}{\sigma_{\overline{x}}}
</math>

daje zmienną ze standardowego rozkładu Gaussa o <math>\mu=0</math> i
<math>\sigma=1</math>. Jednak jeśli w miejsce wariancji wartości
średniej <math>\overline{x}</math> wstawimy jej estymatę, dostaniemy
zmienną <math>t</math>:

<equation id="eq:103">
<math>
t=\frac{\overline{x}-\mu}{s_{\overline{x}}}
=\frac{\overline{x}-\mu}
{\sqrt{\frac{1}{(N-1)N}\sum\limits_{i=1}^N(x_{i}-\overline{x})^{2}}}.
</math>
</equation>

Przy założeniu normalnego rozkładu populacji, z której losowano <math>x_i</math>, zmienna <math>t</math> podlega<ref>Dowód tego faktu można znaleźć w
[http://www.wnt.com.pl/product.php?action=0&prod_id=1488&hot=1 książce "Probabilistyka. Rachunek Prawdopodobieństwa. Statystyka matematyczna. Procesy stochastyczne" Agnieszki i Edmunda Plucińskich].</ref>
'''rozkładowi Studenta'''<ref>Rozkład ten wprowadził do statystyki w roku 1908 [[wikipl:William S. Gosset|William S. Gosset]] — chemik z browaru Guinessa, posługujący się pseudonimem "Student".</ref>
o <math>f=(N-1)</math> stopniach swobody<ref>
Liczba stopni swobody to w skrócie liczba zmiennych niezależnych pomniejszona o liczbę wyznaczanych na ich podstawie wielkości; w tym przypadku mamy <math>N</math> zmiennych i korzystamy z wyznaczonej na ich podstawie jednej wielkości — wartości średniej <math>\overline{x}</math>, czyli <math>f=N-1</math>.
</ref>:
<equation id="eq:105">
<math>
p(t)=\frac{\Gamma (\frac{f+1}{2})}{\Gamma (\frac{f}{2})\sqrt{\pi }\sqrt{f}}
\left(1+\frac{t^{2}}{f}\right)^{-\frac{f+1}{2}},
</math>
</equation>
gdzie <math>\Gamma</math> — funkcja Eulera; <math>\Gamma(x+1)=\int_0^\infty t^xe^{-t}dt</math>;
<math>\Gamma(n+1)=n!</math> dla <math>n=1,2,\ldots</math>

Cóż, nie udało się "dojść" do rozkładu Gaussa, ale rozkład dany równaniem <xr id="eq:105">(%i)</xr> możemy równie dobrze wykorzystywać do weryfikacji hipotez,
używając wciąż tego samego schematu. Statystykę testową będziemy obliczać według wzoru <xr id="eq:103">(%i)</xr>, a obszar akceptacji testu dla tej statystyki będziemy wyznaczać z rozkładu danego równaniem <xr id="eq:105">(%i)</xr>.

Mimo zupełnie różnego wzoru, rozkład Studenta dla dużej liczby stopni
swobody <math>f</math> dąży asymptotycznie do rozkładu Gaussa;
zbieżność tę ilustruje rysunek <xr id="fig:106">(%i)</xr>.

[[Plik:rozklad_t.png|thumb|center|600px|<figure id="fig:106"></figure>Rozkład <math>t</math> Studenta (linia ciągła) dla różnej liczby stopni swobody <math>f</math>. Na każdym rysunku w tej samej skali linią przerywaną narysowano standardowy rozkład Gaussa.]]

==Test <math>t</math> (Studenta) różnicy średnich==

W praktyce najczęściej występuje sytuacja, w której nie znamy żadnego
z parametrów rozkładów określających hipotezę zerową. Wprowadzony w
poprzednim rozdziale rozkład Studenta najczęściej wykorzystujemy w
sytuacji, gdy mamy dwie próby (grupy wyników) i pytamy, czy pochodzą z
tej samej populacji. Wartości średnie prób oznaczymy
<math>\overline{x}_{1}</math> i <math>\overline{x}_{2}</math>, a ich
wariancje, zgodnie ze wzorem [[WnioskowanieStatystyczne/Statystyki_i_estymatory#label-eq:93|na estymator wariancji]], estymujemy przez

<math>
s_{x_i}^2= \frac{1}{(N_i-1)}\sum\limits_{j=1}^{N_i} (x_{j}-\overline{x}_{i})^{2}
</math>

dla <math>i=1</math> lub <math>2</math>. Estymatą wariancji populacji
<math>s^2</math> (jeśli próby pochodzą z jednej populacji) będzie suma
kwadratów odchyleń od średniej w każdej próbie, czyli
<math>(N_i-1)s_{x_i}^2</math>, podzielona przez liczbę stopni swobody,
czyli sumę liczb elementów w obu próbach minus dwa, gdyż wyliczamy
dwie średnie w próbach:

<math>
s^{2}=\frac{(N_1-1)s_{x_{1}}^{2}+(N_2-1)s_{x_{2}}^{2}}{N_{1}+N_{2}-2}.
</math>

Przy założeniu losowania obu grup z tej samej populacji, wariancje średnich będą
wynosić <math>s_{\overline{x}_{i}}^{2}=\frac{s^{2}}{N_{i}}</math> (według wzoru [[WnioskowanieStatystyczne/Statystyki_i_estymatory#label-eq:94|na estymator wariancji wartości średniej]]), więc estymatą wariancji różnicy wartości średnich będzie suma tych wariancji:

<math>
s_{\Delta }^{2}=s_{\overline{x}_{1}}^{2}+s_{\overline{x}_{2}}^{2}
=\frac 1{N_1} s_1^2+\frac 1{N_2}s_2^2
=\frac{N_{1}+N_{2}}{N_{1}N_{2}}s^{2}.
</math>

Wielkość
<equation id="eq:108">
<math>
t=\frac{\overline{x}_{1}-\overline{x}_{2}}{s_{\Delta }}
=\frac{\overline{x}_{1}-\overline{x}_{2}}
{\sqrt{\frac{N_1+N_2}{N_1 N_2} \cdot \frac{(N_1-1)s_{x_1}^2+(N_2-1)s_{x_2}^2}{N_1+N_2-2}}}
</math>
</equation>
podlega rozkładowi Studenta z liczbą stopni swobody <math>f=N_{1}+N_{2}-2</math>.

Ta właśnie statystyka liczona jest w popularnym teście różnicy
wartości średnich dwóch grup (<math>\overline{x}_1</math> i
<math>\overline{x}_2</math>). Do obliczania granic obszaru akceptacji
użyjemy oczywiście wzoru <xr id="eq:105">(%i)</xr>), któremu w świetle
hipotezy zerowej podlega wielkość <math>t</math> z równania <xr
id="eq:108">(%i)</xr>.

Podobnie jak inne testy parametryczne<ref>Czyli oparte na założeniu
normalności rozkładu populacji, z których pochodzą badane
próby.</ref>, wyprowadzony powyżej test podlega zasadniczemu
ograniczeniu. Otóż rozumowanie, które doprowadziło nas do
wyprowadzenia postaci rozkładu statystyki testowej opiera się na
założeniu, że zmienne pochodzą z populacji o rozkładzie gaussowskim.
Jeśli nie jest ono spełnione,<ref> W tym przypadku dodatkowym wymogiem
jest równość (w praktyce podobna wartość) wariancji obu prób —
założyliśmy ją wyprowadzając statystykę testową.</ref> różnica
średnich nie będzie podlegać rozkładowi Studenta. Nawet jeśli równość
ta nie jest spełniona, to według wzoru <xr id="eq:108">(%i)</xr>
większa wartość <math>t</math> odpowiada większej różnicy średnich
grup, niezależnie od rozkładu populacji, z której grupy
pochodzą. Jednak dla innych niż gaussowski rozkładów zmiennych
wejściowych nie możemy obliczać poziomów istotności według wzoru <xr
id="eq:105">(%i)</xr>, który wyprowadzono w oparciu o założenie
losowania prób z rozkładu normalnego. Jeśli założenia nie będą
spełnione, otrzymamy nieprawdziwe wyniki. Obliczony w ten (błędny)
sposób poziom istotności dla akceptacji hipotezy zerowej nie będzie
odpowiadał rzeczywistości, co może prowadzić np. do odrzucenia zamiast
przyjęcia hipotezy.

Jest to podstawowy problem, z którym stykamy się używając testów
statystycznych opartych o założenie normalnego rozkładu
populacji. Alternatywą są oczywiście opisane w części pierwszej
[[WnioskowanieStatystyczne/Testy permutacyjne|testy permutacyjne]], lub — pozostając
w ramach statystyki klasycznej — [[WnioskowanieStatystyczne/Testy nieprametryczne|testy nieparametryczne]]. Jednak jeśli założenie o
normalności rozkładu jest spełnione (uzasadnione), test parametryczny
oferuje większą moc (dzięki wykorzystaniu dodatkowej informacji o
rozkładzie).

===Przykład===

Zastosujmy test <math>t</math> do danych [[WnioskowanieStatystyczne/Testy_permutacyjne#Przykład|z przykladu]] — przypomnijmy:

<equation id="eq:109"> </equation>
liczby braków w kolejnych dniach przed remontem lini produkcyjnej
wynosiły: 12, 9, 21, 14, 7 i 17, a po remoncie: 5, 9, 3, 11, 8, 19, 7,
5, 9, 12, 5, 11, 9, 6, 8, 17, 9 i 12. Pytamy, czy remont zmienił
średnią ilość braków na dzień.

Przede wszystkim zastanówmy się, czy w ogóle możemy zastosować do tych
danych test <math>t</math>? Musielibyśmy wtedy przyjąć
odpowiedzialność za założenie, że dane pochodzą z populacji o
rozkładzie normalnym.<ref>Oraz o równości wariancji, lecz w tym
przypadku wydają się one wystarczająco podobne.</ref> Jednak w tym
przypadku trudno znaleźć ''a priori'' uzasadnienie dla takiego
założenia, a samych danych mamy za mało, żeby zastosować
np. sprawdzian proponowany w
[[WnioskowanieStatystyczne/Test_chi^2#Test_.CF.872_Pearsona|rozdziale o teście
<math>\chi^2</math> Pearsona]]. Tak więc w przypadku braku dodatkowych
informacji należy stwierdzić, że nie ma wystarczającego uzasadnienia
dla zastosowania testu <math>t</math> i należy skorzystać np. z
[[WnioskowanieStatystyczne/Testy permutacyjne|testu permutacyjnego]] lub [[WnioskowanieStatystyczne/Test Wilcoxona|nieparametrycznego testu Manna-Whitney'a-Wilcoksona]],
który również nie wymaga spełnienia założenia o normalności rozkładów.

Załóżmy jednak, że po przeprowadzeniu dodatkowych badań (tj. zebraniu
większej ilości danych lub badaniach istoty samego procesu)
uzyskaliśmy wyniki uzasadniające przyjęcie założenia o
normalności.<ref>W przypadku danych określających liczby zliczeń
bardziej uzasadnione będzie zwykle założenie
[[WnioskowanieStatystyczne/Rozklady-przyklady#Rozkład_Poissona|rozkładu
Poissona]]. Jednak dla dużych wartości parametru <math>\lambda</math>
rozkład Poissona przechodzi w rozkład Gaussa — załóżmy, że mamy
do czynienia właśnie z takim przypadkiem.</ref> Wtedy obliczona według
wzoru <xr id="eq:108">(%i)</xr>. wartość statystyki <math>t</math>
wyniesie 2,0185. Porównywać ją będziemy z rozkładem <math>t</math>
(wzór <xr id="eq:105">(%i)</xr>) dla 22 stopni swobody, gdyż mamy 6+18
liczb i dwa więzy (średnie w dwóch grupach). Wartość krytyczna poziomu
istotności dla testu jednostronnego (testujemy hipotezę o zmniejszeniu
liczby braków) wyniesie 2,8%, czyli na poziomie istotności 5% morzemy
odrzucić hipotezę o braku różnic między grupami, co sugeruje istotne
zmniejszenie liczby braków po remoncie.

Zwróćmy uwagę, że zastosowany dla tych samych danych [[WnioskowanieStatystyczne/Testy permutacyjne#Przykład|test permutacyjny]] dał tę samą odpowiedź,
jednak przy większej wartości krytycznej poziomu istotności
(3,8%). Świadczy to o większej mocy
(por. [[WnioskowanieStatystyczne/Weryfikacja_hipotez_statystycznych#label-fig:101|rys 3 z
poprzedniego rozdziału]]) testu (<math>t</math>) opartego na
dodatkowych założeniach, czyli wykorzystującego więcej informacji
(znajomość postaci rozkładu).

-----------------------
<references>

← poprzednia wersja		Wersja z 08:01, 31 mar 2023
Linia 2:		Linia 2:


−	==Rozkład ''t'' [https://pl.wikipedia.org/wiki/William_Sealy_Gosset Studenta]==	+	==Rozkład <math>t</math> [https://pl.wikipedia.org/wiki/William_Sealy_Gosset Studenta]==

	W poprzednim rozdziale rozważaliśmy rzadki w praktyce przypadek, w		W poprzednim rozdziale rozważaliśmy rzadki w praktyce przypadek, w

← poprzednia wersja		Wersja z 08:00, 31 mar 2023
Linia 2:		Linia 2:


−	==Rozkład ~~<math>~~t~~</math>~~ [https://pl.wikipedia.org/wiki/William_Sealy_Gosset Studenta]==	+	==Rozkład ''t'' [https://pl.wikipedia.org/wiki/William_Sealy_Gosset Studenta]==

	W poprzednim rozdziale rozważaliśmy rzadki w praktyce przypadek, w		W poprzednim rozdziale rozważaliśmy rzadki w praktyce przypadek, w

← poprzednia wersja		Wersja z 07:58, 31 mar 2023
Linia 2:		Linia 2:


−	==Rozkład <math>t</math> Studenta==	+	==Rozkład <math>t</math> [https://pl.wikipedia.org/wiki/William_Sealy_Gosset Studenta]==

	W poprzednim rozdziale rozważaliśmy rzadki w praktyce przypadek, w		W poprzednim rozdziale rozważaliśmy rzadki w praktyce przypadek, w

@@ Linia 66: / Linia 66: @@
 Przy założeniu normalnego rozkładu populacji, z której losowano <math>x_i</math>, zmienna <math>t</math> podlega<ref>Dowód tego faktu można znaleźć w
 [http://www.wnt.com.pl/product.php?action=0&prod_id=1488&hot=1 książce "Probabilistyka. Rachunek Prawdopodobieństwa. Statystyka matematyczna. Procesy stochastyczne" Agnieszki i Edmunda Plucińskich].</ref>
-'''rozkładowi Studenta'''<ref>Rozkład ten wprowadził do statystyki w roku 1908 [[wikipl:William S. Gosset|William S. Gosset]] &mdash; chemik z browaru Guinessa, posługujący się pseudonimem "Student".</ref>
+'''rozkładowi Studenta'''<ref>Rozkład ten wprowadził do statystyki w roku 1908 [https://pl.wikipedia.org/wiki/William_Sealy_Gosset William S. Gosset]] &mdash; chemik z browaru Guinessa, posługujący się pseudonimem "Student".</ref>
 o <math>f=(N-1)</math> stopniach swobody<ref>
 Liczba stopni swobody to w skrócie liczba zmiennych niezależnych pomniejszona o liczbę wyznaczanych na ich podstawie wielkości; w tym przypadku mamy <math>N</math> zmiennych i korzystamy z wyznaczonej na ich podstawie jednej wielkości &mdash; wartości średniej <math>\overline{x}</math>, czyli <math>f=N-1</math>.

@@ Linia 5: / Linia 5: @@
 W poprzednim rozdziale rozważaliśmy rzadki w praktyce przypadek, w
-którym dokładną postać rozkładu, któremu podlega statystyka testowa,
+którym dokładną postać rozkładu — włącznie z parametrami, czyli wartością oczekiwaną i wariancją —  któremu podlega statystyka testowa,
 mogliśmy uznać za znaną.<ref>Założyliśmy postać rozkładu normalnego i
 oba określające go parametry &mdash; wariancję <math>\sigma^2</math> i

@@ Linia 209: / Linia 209: @@
 liczb i dwa więzy (średnie w dwóch grupach). Wartość krytyczna poziomu
 istotności dla testu jednostronnego (testujemy hipotezę o zmniejszeniu
-liczby braków) wyniesie 2,8%, czyli na poziomie istotności 5% morzemy
+liczby braków) wyniesie 2,8%, czyli na poziomie istotności 5% możemy
 odrzucić hipotezę o braku różnic między grupami, co sugeruje istotne
 zmniejszenie liczby braków po remoncie.

@@ Linia 192: / Linia 192: @@
 informacji należy stwierdzić, że nie ma wystarczającego uzasadnienia
 dla zastosowania testu <math>t</math> i należy skorzystać np. z
-[[WnioskowanieStatystyczne/Testy permutacyjne|testu permutacyjnego]] lub [[WnioskowanieStatystyczne/Test Wilcoxona|nieparametrycznego testu Manna-Whitney'a-Wilcoksona]],
+[[WnioskowanieStatystyczne/Testy permutacyjne|testu permutacyjnego]] lub [[WnioskowanieStatystyczne/Test Wilcoxona|nieparametrycznego testu Manna-Whitney'a-Wilcoxona]],
 który również nie wymaga spełnienia założenia o normalności rozkładów.

@@ Linia 1: / Linia 1: @@
 ==Rozkład <math>t</math> Studenta==
@@ Linia 84: / Linia 87: @@
 [[Plik:rozklad_t.png|thumb|center|600px|<figure id="fig:106"></figure>Rozkład <math>t</math> Studenta (linia ciągła) dla różnej liczby stopni swobody <math>f</math>. Na każdym rysunku w tej samej skali linią przerywaną narysowano standardowy rozkład Gaussa.]]
-−
 ==Test <math>t</math> (Studenta) różnicy średnich==

@@ Linia 213: / Linia 213: @@
 jednak przy większej wartości krytycznej poziomu istotności
 (3,8%). Świadczy to o większej mocy
-(por. [[WnioskowanieStatystyczne/Weryfikacja_hipotez_statystycznych#label-fig:101|rys 3 z
+(por. [[WnioskowanieStatystyczne/Weryfikacja hipotez#label-fig:101|rys 3 z
 poprzedniego rozdziału]]) testu (<math>t</math>) opartego na
 dodatkowych założeniach, czyli wykorzystującego więcej informacji

WnioskowanieStatystyczne/Test t - Historia wersji

Durka: /* Rozkład t Studenta */

Durka: /* Rozkład t Studenta */

Durka: /* Rozkład t Studenta */

Durka: /* Rozkład t Studenta */

Durka: /* Rozkład t Studenta */

Durka: /* Test t (Studenta) różnicy średnich */

Durka: /* Przykład */

Durka: /* Rozkład t Studenta */

Jarekz: /* Przykład */

Jarekz: Utworzono nową stronę "==Rozkład t Studenta== W poprzednim rozdziale rozważaliśmy rzadki w praktyce przypadek, w którym dokładną postać rozkładu, któremu podlega statyst..."

Jarekz: Utworzono nową stronę "==Rozkład $t$ Studenta== W poprzednim rozdziale rozważaliśmy rzadki w praktyce przypadek, w którym dokładną postać rozkładu, któremu podlega statyst..."