Durka: /* Testy permutacyjne dla większych liczebności */

2017-04-17T07:30:53Z

Testy permutacyjne dla większych liczebności

Durka: /* Testy permutacyjne */

2016-01-29T11:28:55Z

Testy permutacyjne

Jarekz: Utworzono nową stronę " ==Testy permutacyjne== Jednym z najczęstszych zastosowań statystyki jest pytanie o istotność różnicy. Omówimy je na następującym przykładzie: ===Przykład===..."

2015-05-22T13:28:43Z

Utworzono nową stronę " ==Testy permutacyjne== Jednym z najczęstszych zastosowań statystyki jest pytanie o istotność różnicy. Omówimy je na następującym przykładzie: ===Przykład===..."

Nowa strona

==Testy permutacyjne==
Jednym z najczęstszych zastosowań statystyki jest pytanie o istotność
różnicy. Omówimy je na następującym przykładzie:

===Przykład===
Linia produkcyjna mikroprocesorów w kolejnych dniach dawała
następujące liczby wadliwych elementów: 12, 9, 21, 14, 7, 17. W
związku z tym dokonano remontu, po którym przez pierwsze sześć dni
liczby braków wyniosły: 5, 9, 3, 11, 8, 19. Czy na podstawie tych
danych można stwierdzić, że remont zmniejszył średnią ilość braków?

[[Plik:Roz_4_rys_1.jpg|thumb|center|600px|<figure id="fig:20"></figure> Graficzne przedstwienie danych z powyżego przykładu: poziome linie kreskowane narysowane na wysokości średnich liczb braków przed i po remoncie]]

Na początek obliczmy średnie liczby braków na dzień: średnia z
dni przed remontem wynosi około 13,3, a z dni po remoncie — 9,2.
Jak widać, druga średnia jest mniejsza o ponad 4, ale może to tylko
dzieło przypadku? Wszak wśród dni &bdquo;po remoncie” zdarzają się liczby
braków większe niż w &bdquo;lepszych” dniach sprzed remontu — tak duży
jest rozrzut tych wyników. Jak ocenić istotność tej różnicy?

Załóżmy, że remont linii produkcyjnej nie miał żadnego wpływu na ilość
wypuszczanych braków. Wtedy obydwie otrzymane serie będą wynikiem tego
samego procesu. Inaczej można powiedzieć, że oba zestawy liczb zostały
wylosowane z tej samej populacji. Co je tak naprawdę rozróżnia? Jedne
z tych liczb przypisane są do stanu &bdquo;przed remontem”, a drugie —
&bdquo;po” (zakładamy, że kolejność ich występowania nie ma tu znaczenia).
Inaczej możemy powiedzieć, że dysponujemy zestawem dwunastu liczb oraz
ich przypisaniem do stanu &bdquo;przed” lub &bdquo;po” — określmy te stany
jako A i B:

{| class="wikitable"
|-
|liczba
|3
|5
|7
|8
|9
|9
|11
|12
|14
|17
|19
|21
|-
|stan
|B
|B
|A
|B
|B
|A
|B
|A
|A
|A
|B
|A
|}

Jeśli uznamy, że remont nic nie zmienił, to liczby przypisane do stanu
&bdquo;po remoncie” (B) możemy uznać za wylosowane z tej samej populacji, co
liczby przypisane do stanu &bdquo;przed remontem” (A). A skoro losowanie
jest przypadkowe, to różnice wartości średnich tych dwóch zestawów
liczb mogą przyjmować przeróżne wartości. Na ile prawdopobne jest
losowanie, w którym różnica wartości średnich wyniesie 4,2 lub więcej?
Według wniosków z [[WnioskowanieStatystyczne/Z_komputerem#Hazard_symulowany|rozdziału
Monte Carlo]] należy powtórzyć wiele takich losowań, i
prawdopodobieństwo obliczyć jako proporcję. A skoro nie możemy
powtarzać losowań z całej populacji, to zgodnie z wnioskami z
[[WnioskowanieStatystyczne/Bootstrap|rozdziału o Bootstrapie]] będziemy losować z
dostępnej nam próby.

Proces losowania będzie polegał na wrzuceniu wszystkich dwunastu liczb
do jednego worka, i wyciąganiu z niego (bez zwracania) sześciu
przypadkowych, które zaliczymy do stanu A. Pozostałe w worku sześć
liczb zaliczymy do B, po czym obliczymy różnicę wartości średnich.

Liczba sposobów, na które można wylosować sześć liczb z dwunastu,
wynosi 924.<ref>Ogólny wzór na liczbę <math>k</math>-elementowych
podzbiorów zbioru <math>N</math>-elementowego podany jest w rozdziale o [[WnioskowanieStatystyczne/Przykładowe_rozkłady#Rozk.C5.82ad_dwumianowy|rozkładzie dwumianowym]].</ref> W tym przypadku nie musimy więc losować
&bdquo;na ślepo” — możemy po prostu sprawdzić wszystkie możliwe
przypisania tych liczb stanom A i B. Dla każdego z tych przypisań
obliczymy różnicę średnich w zbiorach A i B. Rozkład tych różnic
będzie odpowiadać założonej w hipotezie sytuacji, w której między
stanami A i B (przed i po remoncie) nie występuje żadna różnica (w
liczbie braków), a podział na grupy jest sztuczny (przypadkowy).

Jak te liczby obejrzeć? Nie mamy już do czynienia z sytuacją, w
której wynik przyjmuje wyłącznie wartości całkowite, jak na rysunkach
z rozdziału [[WnioskowanieStatystyczne/Z_komputerem|o metodzie Monte Carlo]] i [[WnioskowanieStatystyczne/Bootstrap|Bootstrapie]]. Potrzebny będzie nowy sposób prezentacji.

==Histogram==

Ten sposób prezentacji dużych ilości danych jest bezpośrednim
rozszerzeniem idei używanej dotychczas do prezentacji danych
dyskretnych (np. liczb wyrzuconych oczek) na przypadek ogólny
(ciągły), gdy dane przyjmują dowolne wartości:

<blockquote>
Odcinek pomiędzy najmniejszą i największą z wartości przeznaczonych do prezentacji dzielimy na równe przedziały i zliczamy liczbę wyników
mieszczących się w każdym z przedziałów.
</blockquote>

Oczywiście pojawia się pytanie, na ile przedziałów powinniśmy
podzielić zakres zmiennej, gdyż histogramy tych samych danych dla
różnych szerokości przedziałów będą oczywiście wyglądały inaczej. W
razie wątpliwości warto obejrzeć histogramy dla kilku różnych
szerokości i kierować się zdrowym rozsądkiem. Więcej uwag i przepisów
dotyczących doboru optymalnej szerokości przedziału histogramu można
znaleźć np w
[http://www.wnt.com.pl/product.php?action=0&prod_id=745&hot=1 "Statystyce dla studentów kierunków technicznych i przyrodniczych" Koronackiego i Mielniczuka].

[[Plik:Roz_4_rys_2.jpg|thumb|center|600px|<figure id="fig:21"></figure> Histogram rozkładu różnicy średnich z [[WnioskowanieStatystyczne/Testy_permutacyjne#Przykład|przykładu]] dla przypadkowego przypisania wyników do grup [[WnioskowanieStatystyczne/Przykładowe_rozkłady#Rozk.C5.82ad_dwumianowy|(924 możliwe przypadki podziału zbioru 12-elementowego na dwa zbiory 6-elementowe)]].]]

Większość otrzymanych różnic (rysunek <xr id="fig:21"> %i</xr>)
gromadzi się wokół zera — zgodnie z oczekiwaniami, skoro grupy
losujemy przypadkowo z tej samej populacji. Jednak pomimo to widać, że
w wielu przypadkach losowanie prowadzi do powstania całkiem dużej
różnicy, znacznie przekraczającej otrzymane przez nas 4,2.

Dokładnie 105 (na 924 możliwych) przypadków daje wartości różnic
średnich grup większe lub równe 4,2. Odpowiada to prawdopodobieństwu
0,11, czyli średnio w 11 przypadkach na sto — bez dokonywania
żadnego remontu — zapisując dwie serie liczb braków w kolejnych
sześciu dniach, możemy uzyskać nie mniejszą różnicę średnich. I to
jest właśnie poprawne sformułowanie ostatecznego wyniku — choć
zwykle używa się "mądrzej" brzmiących terminów. Spróbujemy je "oswoić"
w następnym rozdziale.

==Weryfikacja hipotez statystycznych — terminologia==

Podsumujmy opisane powyżej postępowanie z użyciem "oficjalnej" terminologii:
*analiza problemu doprowadziła nas do sformułowania hipotezy (zwanej zwykle "hipotezą zerową") o domniemanym braku różnic między dwoma grupami liczb (A i B), odpowiadającymi liczbom braków w kolejnych dniach przed i po remoncie; przyjęcie tej hipotezy odpowiada stwierdzeniu braku efektywności remontu, zaś jej zaprzeczenie potwierdza istotne zmniejszenie liczby braków,
*jako miarę badanego efektu ("statystykę testową") wybraliśmy różnicę wartości średnich grup A i B,
*dla hipotezy zerowej rozkład tej statystyki odpowiadał będzie przypadkowym różnicom między średnimi z dowolnych dwóch sześciodniowych okresów, nie rozdzielonych remontem,
*rozkład tej statystyki (w populacji składającej się ze wszystkich możliwych zestawów liczb braków A i B zliczanych w tym samym stanie działania linii produkcyjnej) oszacowaliśmy, obliczając jej wartości dla wszystkich możliwych podziałów danych, którymi dysponujemy, na dwie sześcioelementowe próby,
*uzyskany histogram (rys. <xr id="fig:21"> %i</xr>) określa rozkład wybranej statystyki testowej w przypadku, gdy prawdziwa jest hipoteza braku różnic między grupami,
*najbardziej prawdopodobną wartością dla tej statystyki jest oczywiście zero, ale, jak widać, również wartości większe od uzyskanej w analizowanym przypadku (4,2) zdarzają się całkiem często — w 105 przypadkach na 924 możliwe sposoby "pomieszania" dostępnych danych.

==Poziom istotności testu==

Wróćmy do postawionego na początku tego rozdziału pytania o istotność
różnicy średniej liczby braków przed i po remocie. Odpowiedź na to
pytanie jest dość złożona. Jednak pomimo to, zwykle oczekuje się od
statystyki (statystyków) "konkretnej" odpowiedzi.

Aby takiej odpowiedzi udzielić, musimy się najpierw zdecydować, jaki
błąd możemy popełnić. Za miarę badanego efektu przyjęliśmy różnicę
średnich, ale jak widać duże różnice średnich (czyli wartości
statystyki) mogą również wyniknąć z przypadku. Jeśli uznamy, że
różnica 4,2 świadczy o tym, że grupy nie pochodzą z tej samej
populacji, to musimy być świadomi, że w 11% przypadków grupy
pochodzące z tej samej populacji mogą dać różnice co najmniej tak
duże. Jest to prawdopodobieństwo odrzucenia hipotezy
prawdziwej.<ref>Dokładnie rzecz ujmując, chodzi oczywiście o
prawdopodobieństwo odrzucenia hipotezy zerowej w przypadku, gdy jest
prawdziwa.</ref>

Zwykle postępujemy odwrotnie:
<equation id="eq:23"/>
* Najpierw ustalamy ''poziom istotności testu'', czyli dopuszczalne prawdopodobieństwo odrzucenia hipotezy prawdziwej. Najczęściej przyjmuje się w tym miejscu 5% lub 1%, ale liczby te nie są wcale jakimiś wyróżnionymi wielkościami: pierwsza z nich dopuszcza pomyłkę w jednym przypadku na dwadzieścia, a druga — w jednym na sto.
* Dla dalszych kroków niezbędna jest znajomość rozkładu wybranej statystyki dla testowanej hipotezy. W tym przypadku hipotezą jest brak różnic, czyli losowanie obu grup z jednej populacji, a rozkład różnicy średnich przybliżyliśmy metodą właściwą dla testów permutacyjnych.
* Poziom istotności testu wyznacza ''obszar krytyczny statystyki'', czyli takie wartości statystyki (w tym przypadku różnicy wartości średnich), dla których odrzucimy hipotezę (o braku różnic). Jeśli poziom istotności ustalimy na 5%, co odpowiadało około 45 przypadkom z 924, to obszar krytyczny będzie na prawo od wartości 5,2 — właśnie 45 przypadków ze wszystkich 924 daje wartości statystyki (różnicy średnich) większe niż 5,2. Przedział na lewo od tej wartości krytycznej stanowić będzie w tym przypadku ''obszar akceptacji''. Na rysunku <xr id="fig:24"> %i</xr> ciemniejszym tłem zaznaczono obszar krytyczny.
* Ponieważ zaobserwowana przez nas wartość statystyki, czyli różnica średnich liczb braków przed i po remoncie (4,2) leży w obszarze akceptacji, stwierdzamy, że na poziomie istotności 5% hipotezę o braku różnic.

[[Plik:Roz_4_rys_3.jpg|thumb|center|600px|<figure id="fig:24"></figure> Histogram wyników z rysunku <xr id="fig:21"> %i</xr> przedstawiony dla mniejszej szerokości przedziałów. Zaznaczony obszar krytyczny testu dla poziomu istotności 5%.]]

Pojęcie obszaru krytycznego i obszaru akceptacji pochodzą z teorii
klasycznej, w której rozkłady prawdopodobieństwa opisane są zwykle w
postaci funkcji, a nie histogramów. Tutaj właściwie możemy się bez
nich obejść, gdyż łatwiej obliczyć od razu proporcję liczby
przypadków, dla których statystyka przekracza wartość uzyskaną w
badanym przypadku (w tym przykładzie 4,2). Odpowiada to największemu
poziomowi istotności, na którym możemy zaakceptować hipotezę. Jeśli
jest ona mniejsza od założonego na początku poziomu istotności testu
(np. 5%) hipotezę odrzucamy.

==Testy permutacyjne dla większych liczebności==

Z wykonanych obliczeń wynika, że hipotezę o braku różnic między
liczbami braków przed i po remoncie możemy przyjąć na założonym
poziomie istotności 5%<ref>Najczęściej przyjmuje się poziom istotności
5% (czasem dla wykazania ewidentnych różnic, 1% lub 0,1%), choć
teoretycznie powinien on być świadomie wybierany dla każdego
przypadku.</ref>. Czyli posiadane dane nie pozwalają na stwierdzenie,
że remont zmienił średnią ilość wypuszczanych braków. Co można zrobić
w tej sytuacji?

Można zebrać więcej danych. Liczby pomiarów sprzed remontu nie da się już
niestety zwiększyć, pozostaje śledzić wyniki w kolejnych dniach po
remoncie.

Dla dokładniejszego sprawdzenia hipotezy z przykładu 19, zmierzono
liczby braków w dwunastu następnych dniach po remoncie. Wyniosły one:
7, 5, 9, 12, 5, 11, 9, 6, 8, 17, 9 i 12. Daje to, w sumie z
poprzednimi, 18 pomiarów po remoncie i 6 przed: przed remontem: 12,
9, 21, 14, 7, 17; po remoncie: 5, 9, 3, 11, 8, 19, 7, 5, 9, 12, 5,
11, 9, 6, 8, 17, 9 i 12.

Co można powiedzieć o wyniku remontu w świetle tych danych?

[[Plik:Roz_4_rys_4.jpg|thumb|center|600px|<figure id="fig:26"></figure> Dane z [[WnioskowanieStatystyczne/Testy_permutacyjne#Przyk.C5.82ad|przykładu]].]]

Na początek raz jeszcze obliczmy różnicę średnich liczb braków przed i
po remoncie. Uzyskujemy dokładnie ten sam wynik co poprzednio: 4,2.
Jednak różnica wartości średnich nie jest jedyną informacją, która
decyduje o istotności różnic między grupami — ważne jest to, czy
wartość taka mogła się pojawić "przypadkiem".

Spróbujmy więc zastosować raz jeszcze opisany w poprzednim rozdziale
test różnic. Razem mamy 24 liczby; liczba sposobów, na które możemy
podzielić 24 elementy na zbiory sześcio- i osiemnastoelementowy,
wynosi ponad [[WnioskowanieStatystyczne/Przykładowe_rozkłady#Rozk.C5.82ad_dwumianowy|130
tysięcy]]. Dla oceny prawdopodobieństwa nie jest konieczne zbadanie
rozkładu różnic dla wszystkich możliwych kombinacji — wystarczy ich
część. Musimy tylko pamiętać, aby wybrana część była reprezentatywną
próbą populacji wszystkich możliwych przypisań -- zapewni to
przypadkowy proces losowania.

Powtórzmy raz jeszcze ogólny schemat:

*ustalamy poziom istotności testu — na przykład 5%
*jako statystykę testową przyjmujemy różnicę wartości średnich w grupach,
*aby uzyskać rozkład tej statystyki:
*# "wrzucamy'' wszystkie wyniki (przed i po remoncie) ,,do jednego worka'',
*# losujemy (np. 50000 razy) bez zwracania zbiory o liczebnościach równych wejściowym (6 i 18),
*# dla każdego losowania obliczamy wartość różnicy średnich (czyli wybranej statystyki),
*#rozkład tych wielkości (najwygodniej oglądać go na histogramie — rys. <xr id="fig:28"> %i</xr>) przybliża rozkład prawdopodobieństw wystąpienia różnych wielkości różnicy średnich w przypadku słuszności hipotezy zerowej, czyli braku różnic między grupami,
*liczba losowań, w których różnica przekroczyła wartość wyliczoną dla danych wejściowych (4,2) dzielimy przez całkowitą ilość losowań; daje to maksymalny poziom istotności, na którym możemy przyjąć hipotezę o braku różnic,
*jeśli poziom ten jest mniejszy niż założony na początku poziom istotności wykonywanego testu, odrzucamy hipotezę o braku różnic między grupami.

[[Plik:Roz4_rys_5.jpg|thumb|center|600px|<figure id="fig:28"></figure>Histogram 50000 różnic wartości średnich w grupach wylosowanych z "pomieszania" 6 i 18 liczb określających dzienne ilości braków przed i po remoncie.]]

W wyniku tej procedury dostajemy 3,8% jako maksymalny poziom
istotności dla hipotezy o braku różnic. Oznacza to, że na założonym
poziomie istotności 5% należy odrzucić tę hipotezę, co dowodzi
istotnego zmniejszenia liczby braków po remoncie.

==Test jedno- i dwustronny==

Warto zwrócić uwagę na fakt, że w tym przypadku interesował nas tylko
efekt zmniejszenia liczby braków w wyniku remontu (''test
jednostronny''). Jeśli hipoteza dotyczyłaby ogólnie różnicy —
dodatniej lub ujemnej — wartości średnich (''test dwustronny''), za
podważające hipotezę o braku różnic powinniśmy uznawać również różnice
o dużej wartości bezwzględnej i ujemnym znaku. Wtedy poziom istotności
będzie odpowiadał sumie liczby przypadków, w których wartość
bezwzględna statystyki (wartość bezwzględna różnicy średnich)
przekroczyła wartość bezwzględną obserwowaną w eksperymencie. W
stosunku do testu jednostronnego o tym samym poziomie istotności i
rozkładzie statystyki zmieni to obszar krytyczny, tak jak na rys. <xr
id="fig:30"> %i</xr>.

[[Plik:Roz4_rys_6.jpg|thumb|center|600px|<figure id="fig:30"></figure> Obszary krytyczne dla testu jednostronnego i dwustronnego przy
tym samym poziomie istotności (5%).]]

==Ile razy losować?==

Opisane powyżej metody opierają się na losowaniu: prób z populacji o
zadanym rozkładzie (Monte Carlo), losowaniu ze zwracaniem elementów
samej próby (bootstrap) czy wreszcie losowaniu przyporządkowania
elementów prób do dwóch grup (testy permutacyjne). Te losowania mają
nam zastąpić wiedzę o całej populacji, czyli wszystkich możliwych
wynikach takich losowań. Jednak z wyjątkiem repróbkowania niewielkich
grup (w praktyce o liczebności do kilkudziesięciu elementów), wzięcie
pod uwagę wszystkich możliwych kombinacji jest niemożliwe. Efekt
gwałtownego wzrostu liczby kombinacji z liczebnością grupy określa się
mianem "eksplozji kombinatorycznej". Prowadzi on, już dla całkiem
niewielkich liczb, do szacunkowych czasów obliczeń, które mogą
np. przekraczać wiek Wszechświata — bliżej opisuje to Dodatek 136.

Skoro nie można sprawdzić wszystich możliwości, to ile ich potrzeba, aby nie
popełnić za dużego błędu? Cóż, można by tu posłużyć się bezpośrednio prezentowaną
ideą: jeśli badamy np. poziom istotności danego testu, losując tysiąc kombinacji,
sprawdźmy, na ile będą się różnić między sobą wyniki otrzymane dla kolejnych
tysięcy. Jednak taka procedura (szczególnie dla większych liczb) drastycznie
zwiększa koszt obliczeniowy całej operacji. Z drugiej strony, nie zawsze
potrzebne nam jest dokładne oszacowanie prawdopodobieństwa.

Błąd wynikający z faktu, że nie bierzemy w obliczeniach pod uwagę
wszystkich możliwych kombinacji będzie na pewno mniejszy niż błąd,
który możemy popełnić stosując w ogóle nieadekwatną do danego problemu
metodę.<ref>Taki "bardzo gruby" błąd jest zaskakująco częsty wśród
[[WnioskowanieStatystyczne/Wstęp|nie-statystyków, zmuszonych do stosowania metod statystycznych]].</ref> Wiadomo
też, że błąd będzie tym mniejszy, im większa liczba losowań. Efron i
Tibshirani podają w [http://books.google.pl/books?id=gLlpIUxRntoC&printsec=frontcover&dq=efron+tibshirani&source=bl&ots=A6BrTbMbz2&sig=vThSLODS0CxPlMdb6aWfLycHXio&hl=pl&ei=taG1S-mvNZzCmgPO7YAz&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=2&ved=0CBAQ6AEwAQ#v=onepage&q=&f=false klasycznej pracy], że dla testów
permutacyjnych liczba powtórzeń powinna wynieść "przynajmniej
tysiąc"; zależy to oczywiście również od tego, na jakim poziomie
istotności chcemy badać hipotezę.

Dla określania błędów za pomocą bootstrapu, ci sami autorzy sugerują wartości
między 50 a 200. Jednak wybór ten opierają głównie na swoich doświadczeniach,
gdyż w tym przypadku dokładny szacunek błędu zależy od rozkładu populacji —
sugerowane wartości odpowiadają rozkładom najczęściej spotykanym w praktyce.
Sugerują oni jednak ostrożność i kontrolę jakości wyników, np. przez oglądanie
histogramu wyników [[WnioskowanieStatystyczne/Bootstrap#label-fig:17|(jak na jednym z rysunków w rozdziale o Bootstrapie)]]. Ogólnie dobrym pomysłem bywa
również porównanie wyników dla różnych losowań tej samej liczby powtórzeń:
rozrzut wyników przy kolejnych uruchomieniach programu z tymi samymi parametrami
daje pojęcie o błędzie.

==Co dalej?==

Opisane powyżej przykłady ilustrują zastosowanie komputerów do
rozwiązywania najczęściej spotykanych problemów statystycznych. Ich
zrozumienie (i umiejętność programowania) pozwalają na samodzielne
stosowanie statystyki "bez wzorów" w prostych przypadkach — pod
warunkiem zachowania zdrowego rozsądku. Mogą w tym pomóc poniższe
reguły:

* Najważniejszym elementem każdej analizy statystycznej jest właściwe dobranie metody (modelu, testu) do danego problemu. Opisane w tej części metody są na tyle intuicyjne, że właściwość wyboru nie powinna sprawiać wątpliwości.
* Im więcej powtórzeń (repróbkowania czy symulacji), tym mniejszy błąd procedury.
* Warto oglądać histogramy analizowanych danych.

I to już właściwie wszystko, co można osiągnąć bez użycia wzorów i
odwołań do klasycznej teorii statystyki. Przy okazji uzyskaliśmy też
intuicyjne wprowadzenie podstawowych pojęć — gdzie tylko było to
możliwe bez nadmiernej komplikacji, odnosiliśmy się do terminologii
pochodzącej z teorii klasycznej. Powinno to znacznie ułatwić
zrozumienie dalszych części książki.

--------------------
<references/>

← poprzednia wersja		Wersja z 11:28, 29 sty 2016
Linia 1:		Linia 1:
		+
		+	[[Wnioskowanie_Statystyczne_-_wykład]]
		+

	==Testy permutacyjne==		==Testy permutacyjne==

@@ Linia 230: / Linia 230: @@
 *jako statystykę testową przyjmujemy różnicę wartości średnich w grupach,
 *aby uzyskać rozkład tej statystyki:
-*# "wrzucamy'' wszystkie wyniki (przed i po remoncie) ,,do jednego worka'',
+*# wszystkie wyniki (przed i po remoncie) "wrzucamy do jednego worka",
 *# losujemy (np. 50000 razy) bez zwracania zbiory o liczebnościach równych wejściowym (6 i 18),
 *# dla każdego losowania obliczamy wartość różnicy średnich (czyli wybranej statystyki),

WnioskowanieStatystyczne/Testy permutacyjne - Historia wersji

Durka: /* Testy permutacyjne dla większych liczebności */

Durka: /* Testy permutacyjne */

Jarekz: Utworzono nową stronę " ==Testy permutacyjne== Jednym z najczęstszych zastosowań statystyki jest pytanie o istotność różnicy. Omówimy je na następującym przykładzie: ===Przykład===..."