Uczenie maszynowe i sztuczne sieci neuronowe/Ćwiczenia 4

Uczenie_maszynowe_i_sztuczne_sieci_neuronowe_cw/Wsteczna propagacja błędu

Algorytm wstecznej propagacji błędu

W tym ćwiczeniu zapoznamy się z algorytmem wstecznej propagacji błędu. Zbudujemy sieć złożoną z 3 warstw: wejściowej, ukrytej i wyjściowej. Schemat obliczeń wykonywanych przez tą sieć przedstawiony jest na poniższych rysunkach:

Schemat obliczeń w propagacji wstecznej

Schemat obliczeń w propagacji wstecznej

Warstwy ukryta i wyjściowa będą miały nieliniową funkcję aktywacji w postaci funkcji logistycznej. Dla przypomnienia funkcja logistyczna:

[math]g(x) = \frac{1}{1+exp(-x)}[/math]

zaś jej pochoną to:

[math]g'(x) =g(x)*(1-g(x)) [/math]

Niech nasza sieć uczy się odwzorowania zadanego tabelką:

X	Y
[0,0]	[0,1]
[0,1]	[1,0]
[1,0]	[1,0]
[1,1]	[0,1]

Proszę napisać kod implementujący obliczenia przedstawione na rysunkach i w poniższym opisie:

• zdefiniuj funkcję g(x)
• zdefiniuj funkcję pochodną g_prim(y), zakładając, że jako argument y podawać będziemy wartość g(x)
• przygotuj zbiór uczący zgodnie z powyższą tabelą. Niech przykłady będą ułożone w wierszach tablic X i Y
• zdefiniuj rozmiary sieci:
  • N_wej
  • N_hid
  • N_wyj
• przygotuj tablicę do przechowywania wag w_1, niech w kolejnych wierszach znajdują się wagi kolejnych neuronów, a w konkretnym wierszu w kolumnach kolejne wagi od konkretnego neuronu
  • jakie rozmiary muszą mieć te tablice?
  • zainicjuj je wartościami losowymi z przedziału -1,1
• podobnie przygotuj tablicę dla wag w_2
• w pętli wykonuj kolejne cykle uczenia
  • zainicjuj do zera: licznik błędu wyjściowego bl, oraz tablice akumulujące delty do zmiany wag D_1 i D_2
  • w pętli pobieraj kolejno przykłady. Pobierając przykłady formuj je jako wektory kolumnowe
    • propaguj sygnały od wejścia:
      • uzupełnij wektor wejściowy o "1" na szczycie, wsk. np.vstack)
      • oblicz pobudzenia neuronów z_1,
      • oblicz wartości wyjściowe z warstwy ukrytej
      • uzupełnij wektor wartości wyjściowych warstwy ukrytej o "1"
      • oblicz pobudzenia w warstwie wyjściowej
      • oblicz wartości wyjściowe z tej warstwy
    • propaguj błędy "wstecz"
      • oblicz błąd warstwy wyjściowej ważony przez pochodną funkcji g (im bardziej funkcja g była stroma w miejscu pobudzenia przy propagacji wprzód, tym bardziej błąd pobudzenia przekładał się na błąd wyjścia)
      • zrzutuj ten błąd wstecz poprzez wagi w_2 i pochodną funkcji g
      • akumulujemy poprawki D_1 i D_2 oraz błąd dla tego przykładu
  • uaktualniamy wagi proporcjonalnie do poprawek (z przeciwnym znakiem)
  • wypisujemy info o błędzie

Po zakodowaniu uczenia

• Proszę wykreślić ewolucje wag i błędu. Ewolucję można zilustrować animacją. W tym celu na początku programu należy ustawić backend dla biblioteki matplotlib przed innymi importami i przełączyć grafikę w tryb interaktywny:

import matplotlib
matplotlib.use('TkAgg')
import pylab as py
py.ion()

Następnie animację robimy analogicznie jak w tym przykładzie.

• Proszę zbadać co dzieje się z wagami wraz ze wzrostem ilości jednostek w warstwie ukrytej.
• Proszę powtórzyć analizę dla sieci, której warstwa wyjściowa ma jednostkę liniową.

Szkielet rozwiązania

# -*- coding: utf-8 -*-
import numpy as np

def g(x):
    y = ...
    return y
    
def g_prim(x):
    y = ...
    return y
    
    
#zbiór uczący:
# wejście, 
X = np.array([  [0,0],
                [0,1],
                [1,0],
                [1,1] ])
    
# wyjście            
Y = np.array([[0,1],
              [1,0],
              [1,0],
              [0,1]])
            
              
# definiujemy rozmiary sieci:
N_wej = ...
N_hid = 3
N_wyj = ...
                            
# inicjujemy połączenia
# wagi ułożone są tak, że w kolejnych wierszach są kolejne neurony 
# a w kolumnach wagi od konkretnego neuronu 
# to +1 jest wagą dla obciążenia
w_1 = 2*np.random.random((...)) - ... # pomiędzy warstwą pierwszą (wejściem) a warstwą ukrytą
w_2 = 2*np.random.random((...)) - ...

                                                
for cykl in range(10000):
    bl =0
    D_1 = np.zeros((...))
    D_2 = np.zeros((...))
    
    
    for i in range(0,4):
        # weźmy przykład i-ty
        
        x = X[i,:].reshape(...)
        y = Y[i,:].reshape(...)
        
        # propagacja "w przód"
        a_0 = np.vstack((1,x))  # z warstwy wejściowej (zerowej) wychodzi a_0
        
        z_1 = np.dot( w_1, a_0 )# na warstwe 1 wchodzą iloczyny skalarne 
        a_1 = np.vstack((1,g(z_1))) # dokładamy 1 i dostaję wyjście z warstwy 1
        
        z_2 = np.dot( ... ) # na warstwe 3 wchodzą iloczyny skalarne 
        a_2 = g(...)
        if cykl == 10000-1:
            print 'a: ',str(a_2.T)
            print 'y: ',str(y.T)
        # propagacja "wstecz"
        d_2 = (...)*g_prim(a_2)
        d_1 = np.dot(...) * g_prim(a_1)
        
        # akumulujemy poprawki 
        D_2 +=  np.dot( ...)
        D_1 +=  np.dot( ...)
        
        bl += np.dot(...)
        
    eta1 = 0.1
    # uaktualniamy wagi
    w_1 -=  eta1*D_1 
    w_2 -=  ...
    
    # wypisujemy info o błędzie
    if (cykl% 1000) == 0:
        print 'bl: ', bl

Uczenie_maszynowe_i_sztuczne_sieci_neuronowe_cw/Wsteczna propagacja błędu