FizykaII OO/Układ drgający LC

James Clerk Maxwell przewidział istnienie fal elektromagnetycznych w 1867 r. Przewidział też, że w próżni prędkość rozchodzenia się tych fal będzie wynosić 300 000 km/s.

Już po śmierci Maxwella, w 1887 r. Heinrich Hertz wytworzył fale elektromagnetyczne i przeprowadził ich detekcję.

Fala elektromagnetyczna

zaburzenie pola elektrycznego i magnetycznego rozchodzące się ze skończoną prędkością.

Do wytworzenia fali elektromagnetycznej potrzebny jest obwód, w którym będzie istniało zmieniające się w czasie pole elektryczne lub magnetyczne z możliwością rozprzestrzeniania się. Teoretycznie takim układem jest układ złożony z naładowanego kondensatora i zwojnicy (LC). Kondensator rozładowuje się przez zwojnicę, a zmieniające się natężenie prądu rozładowania powoduje powstanie w niej siły elektromotorycznej samoindukcji. Siła ta, jak wiemy, przeciwstawia się zmianom natężenia; gdy prąd narasta — stara się go zmniejszyć, gdy maleje — stara się go podtrzymać. Istnienie cewki powoduje, że kondensator nie rozładowuje się natychmiast, ale rozpoczynają się drgania elektryczne — periodyczne rozładowania i ładowania konden­satora. II prawo Kirchhoffa zastosowane do obwodu LC ma postać:

[math] -L\frac{dI}{dt} = \frac{q}{C}[/math]

(Suma sił elektromotorycznych równa jest sumie spadków napięć.) Jako że [math]I=\frac{dq}{dt}[/math]

[math] -L\frac{d^2q}{dt^2} = \frac{q}{C}[/math]

[math] \frac{d^2q}{dt^2} = - \frac{q}{LC}[/math]

Podobne równanie opisywało zjawisko znacznie prostsze, bo dające się łatwo zaobserwować — ruch oscylatora harmonicznego przedstawiony na przykładzie wahadła matematycznego. Wahadło ma długość l, a na końcu zawieszona jest masa m.Siła, która powoduje taki ruch zależy od wychylenia x i zapisujemy ją jako:

[math]\vec{F} = -mg \frac{\vec{x}}{l}[/math] — dla wahadła

a ogólnie dla dowolnego oscylatora

[math]F=-\omega^2 mx[/math]

[math]\omega^2[/math] — kwadrat częstości kołowej lub prędkości kątowej, która powiązana jest z okresem ruchu T zależnością

[math] \omega = \frac{2\pi}{T}[/math]

Powyższe równanie i równanie opisujące układ LC z punktu widzenia matematyki są identyczne i ich rozwiązaniem jest funkcja sinus lub cosinus z odpowiednimi stałymi. Rozwiązaniami tych równań są:

[math] x = A \cos\omega t [/math] — zależność wychylenia od czasu — dla oscylatora [math] q = q_0 \cos\omega t [/math] — zależność ładunku od czasu — dla układu drgającego LC

Jak wynika z równania (Equation 1) [math] \omega^2 =\frac{1}{\sqrt{LC}}[/math], a więc okres drgań elektrycznych w obwodzie [math]T=2\pi\sqrt{LC}[/math].

Natężenie jest pochodną ładunku względem czasu. Pochodną funkcji cosinus jest -sinus.

[math]\frac{d\cos\omega t}{dt} = -\omega\sin\omega t [/math]

A więc natężenie prądu w obwodzie drgającym zmienia się zgodnie z zależnością:

[math] I = I_0 \sin\omega t[/math],

gdzie [math]I_0[/math] — maksymalna wartość natężenia zwana amplitudą.

Widzimy więc, że układ LC jest układem drgającym o częstotliwości drgań własnych [math]\nu = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}[/math] i [math]T=2\pi\sqrt{LC}[/math]. W takim układzie natężenie pola elektrycznego miedzy okładkami kondensatora zmienia się tak, jak ładunek na nich zebrany, a więc:

[math] E = \frac{q}{\varepsilon_0 S}= \frac{q_0}{\varepsilon_0 S}\cos\omega t[/math]

[math] E = E_0 \cos\omega t[/math]

Między okładkami kondensatora mamy więc zmienne pole elektryczne.

Zwojnica wytwarza pole magnetyczne, gdy przepływa przez nią prąd. Wartość indukcji magnetycznej wyraża się wzorem [math] B = \mu\mu_0\frac{n I }{l}[/math]

gdzie n — liczba zwojów, l — długość zwojnicy, I &mdashl natężenie prądu, [math]\mu_0[/math] — przenikalność magnetyczna próżni ( stała), [math]\mu[/math] — względna przenikalność magnetyczna ferromagnetyka. Jeśli więc przepływa przez nią prąd zmieniający się sinusoidalnie, to również indukcja magnetyczna zmienia się w taki sam sposób.

[math] B = \mu\mu_0\frac{n I_0 }{l}\sin\omega t[/math]

co bardziej ogólnie można zapisać: [math]B=B_0\sin\omega t[/math].

W kondensatorze i w zwojnicy, gdy są źródłami pól elektrycznego i magnetycznego zawarta jest energia. W czasie drgań następuje zamiana energii pola elektrycznego na energię pola magnetycznego. Proces jest podobny do zmian energii wahadła matematycznego. W czasie ruchu wahadła energia potencjalna grawitacji zmienia się na energię kinetyczną i odwrotnie.

Wiemy już, że układ elektryczny LC jest układem drgającym. Jeśli w obwodzie nie ma oporu (co jest praktycznie niemożliwe) i jeśli nie ma emisji fal elektromagnetycznych (co też jest praktycznie niemożliwe), to drgania elektryczne i zamiany jednej formy energii w drugą mogłyby trwać nieskończenie długo. Praktycznie takie drgania trwają bardzo krótko i szybko zanikają. Jeśli chcemy drgania podtrzymać i doprowadzić do emisji fali elektromagnetycznej, należy zapewnić periody­czny dopływ energii do układu i rozsunąć okładki kondensatora, by stworzyć układ otwarty. Wówczas taki układ będzie emitował falę elektromagnetyczną.

Analogie

Wahadło matematyczne	Układ drgający LC
x — wychylenie	q — ładunek
[math] v = \frac{dx}{dt}[/math] — prędkość	[math] I = \frac{dq}{dt}[/math] — prąd
[math] a = \frac{d^2x}{dt^2}[/math] — przyspieszenie	[math] \frac{d^2x}{dt^2}[/math] — szybkość zmian natężenia prądu
[math]ma = m \frac{d^2x}{dt^2}=F[/math] — siła	[math]L \frac{d^2x}{dt^2}=-\mathrm{E}[/math] — siła elektromotoryczna samoindukcji
[math]\omega^2 = \frac{q}{l}[/math]	[math]\omega^2 = \frac{1}{LC}[/math]
[math]T=2\pi\sqrt\frac l g [/math]	[math]T=2\pi\sqrt{LC}[/math]
[math] x = A \cos\omega t [/math] — zależność wychylenia od czasu	[math] q = q_0 \cos\omega t [/math] — zależność ładunku od czasu
[math] v = v_0 \sin\omega t [/math] — zależność prędkości od czasu	[math] I = I_0 \sin\omega t [/math] — zależność natężenia prądu od czasu