FT-intuicja: Różnice pomiędzy wersjami
| Linia 32: | Linia 32: | ||
===Rozdzielczość (F)FT=== | ===Rozdzielczość (F)FT=== | ||
| − | Przyjrzyjmy się bliżej analizowanemu powyżej 'przykładowemu sygnałowi' | + | Przyjrzyjmy się bliżej analizowanemu powyżej 'przykładowemu sygnałowi' |
[[Plik:Ft sig s.png|400px|center|bezramki]] | [[Plik:Ft sig s.png|400px|center|bezramki]] | ||
| − | Wyrysowana powyżej linia łamana łaczy sąsiednie z kolejnych 256 wartości wektora próbek | + | Wyrysowana powyżej linia łamana łaczy sąsiednie z kolejnych 256 wartości wektora próbek |
[[Plik:Ft sig digit nounits.png|400px|center|bezramki]] | [[Plik:Ft sig digit nounits.png|400px|center|bezramki]] | ||
| − | Poza samym wektorem próbek, do oznaczenia osi na powyższych widmach potrzebna jest informacja o częstości próbkowania oraz przeliczniku wartości kolejnych próbek na wielkości fizyczne (np. mikrowolty). W tym przypadku odstęp między próbkami wynosił <math>\frac{1}{128}</math> sekundy, więc ten wektor jest zapisem dwóch | + | Poza samym wektorem próbek, do oznaczenia osi na powyższych widmach potrzebna jest informacja o częstości próbkowania oraz przeliczniku wartości kolejnych próbek na wielkości fizyczne (np. mikrowolty). W tym przypadku odstęp między próbkami wynosił <math>\frac{1}{128}</math> sekundy, więc ten wektor jest zapisem dwóch sekund sygnału: |
[[Plik:Ft sig digit.png|420px|center|bezramki]] | [[Plik:Ft sig digit.png|420px|center|bezramki]] | ||
| − | Transformata Fouriera jest przedstawieniem sygnału | + | Transformata Fouriera jest przedstawieniem sygnału w bazie złożonej z funkcji <math>e^{i\omega t}</math>. Wymiar tej bazy powinien odpowiadać wymiarowi sygnału. Ponieważ dla każdej częstości zespolona transformata odtwarza amplitudę i fazę, to w widmie mocy będzie dwukrotnie mniej punktów niż w sygnale, dla którego liczono transformatę. Punkty w których liczymy transformatę Fouriera rozkładają się równomiernie od zera do częstości Nyquista, czyli połowy częstości próbkowania. Przy częstości próbkowania 128Hz częstość Nyquista wynosi 64Hz. Liczba punktów w transformacjie Fouriera wynosi tyle, ile w naturalne bazie sygnału, czyli 256. Połowa tych wartości opisuje amplitudy, a druga połowa fazy. Tak więc w widmie amplitudowym będzie 128 punktów, rozłożonych równomiernie od zera do 64 Hz, czyli rozdzielczość widma wyniesie w tym przypadku 0,5Hz. |
Jako przykład 'z prawdziwego świata' spróbujmy rozszyfrować, skąd w przykładowym artykule o interfejsach mózg-komputer<ref> | Jako przykład 'z prawdziwego świata' spróbujmy rozszyfrować, skąd w przykładowym artykule o interfejsach mózg-komputer<ref> | ||
Wersja z 11:01, 3 wrz 2024
⬆ Intuicyjna intepretacja przekształcenia Fouriera
Spróbujmy nabrać potrzebnej na ćwiczeniach intuicji, traktując obliczenia w kategorii iloczynów skalarnych z kolejnymi sinusami o odpowiednio dobranych fazach. Weźmy przykładowy sygnał s o długości 256 punktów, złożony z dwóch sinusów a i b, s = a + b:
=
+
Bazą będzie zbiór ortogonalnych sinusów[math]f(x)=\sin(kx), k=1,2,\ldots[/math] o częstościach od [math]\frac{1}{\mathrm{długość \, sygnału}}[/math] do częstości Nyquista.
Policzmy iloczyny z sinusami o optymalnie dobranych fazach; jak widać na poniższym rysunku, sinus o częstości 2,4 jest podobny do składowej a sygnału s, ale miara podobieństwa, czyli wartość iloczynu skalarnego, zależy silnie od fazy sinusa, z którym liczymy iloczyn sygnału — gwiazdką oznaczyliśmy fazę, dla której iloczyn jest największy:
Podobne dopasowania można wykonać dla każdej częstości wzajemnie ortogonalnych sinusów o częstościach [math] \frac1T, \frac2T, \ldots[/math] do częstości Nyquista.
Wyniki — optymalne fazy i uzyskane dla nich maksymalne wartości iloczynów skalarnych — przedstawiamy na wykresach:
Rozdzielczość (F)FT
Przyjrzyjmy się bliżej analizowanemu powyżej 'przykładowemu sygnałowi'
Wyrysowana powyżej linia łamana łaczy sąsiednie z kolejnych 256 wartości wektora próbek
Poza samym wektorem próbek, do oznaczenia osi na powyższych widmach potrzebna jest informacja o częstości próbkowania oraz przeliczniku wartości kolejnych próbek na wielkości fizyczne (np. mikrowolty). W tym przypadku odstęp między próbkami wynosił [math]\frac{1}{128}[/math] sekundy, więc ten wektor jest zapisem dwóch sekund sygnału:
Transformata Fouriera jest przedstawieniem sygnału w bazie złożonej z funkcji [math]e^{i\omega t}[/math]. Wymiar tej bazy powinien odpowiadać wymiarowi sygnału. Ponieważ dla każdej częstości zespolona transformata odtwarza amplitudę i fazę, to w widmie mocy będzie dwukrotnie mniej punktów niż w sygnale, dla którego liczono transformatę. Punkty w których liczymy transformatę Fouriera rozkładają się równomiernie od zera do częstości Nyquista, czyli połowy częstości próbkowania. Przy częstości próbkowania 128Hz częstość Nyquista wynosi 64Hz. Liczba punktów w transformacjie Fouriera wynosi tyle, ile w naturalne bazie sygnału, czyli 256. Połowa tych wartości opisuje amplitudy, a druga połowa fazy. Tak więc w widmie amplitudowym będzie 128 punktów, rozłożonych równomiernie od zera do 64 Hz, czyli rozdzielczość widma wyniesie w tym przypadku 0,5Hz.
Jako przykład 'z prawdziwego świata' spróbujmy rozszyfrować, skąd w przykładowym artykule o interfejsach mózg-komputer[1] pojawiają się dziwne częstości 6,83 i 7,03 Hz.
Mamy tam do czynienia z 3-sekundowymi odcinkami sygnału próbkowanego z częstością 200Hz. Aby umożliwić stosowanie szybkiej transformaty Fouriera (FFT) oraz zwiększyć rozdzielczość, sygnał jest dopełniany (zerami) do 1024 punktów. Tak więc 512 punktów (1024/2) będzie w tym przypadku rozłożonych między 0 a 100 Hz, co daje odstęp 100/512, czyli ok. 0.195 Hz między kolejnymi częstościami. Punkty najbliższe 7Hz to 35*100/512 = 6,83 i 36*100/512 = 7,03 Hz.
- ↑ Xiaorong Gao, Dingfeng Xu, Ming Cheng and Shangkai Gao, "A BCI-based environmental controller for the motion-disabled" IEEE Transactions on Neural Systems and Rehabilitation Engineering, vol. 11, no. 2, pp. 137-140, June 2003, doi: 10.1109/TNSRE.2003.814449, https://web.archive.org/web/20091114205637id_/http://www.cis.gsu.edu/brainlab/papers/gao%202003%20-%2048N%20BCI.pdf
