Fizyka III/Dyfrakcja

Między zjawiskiem dyfrakcji a interferencji nie ma zasadniczej różnicy; przyjęto historycznie że zmiany natężenia powstające w wyniku superpozycji fal wytwarzanych przez skończoną liczbę dyskretnych spójnych źródeł nazywamy interferencja, a przez spójne źródła rozłożone w sposób ciągły przyjęto nazywać dyfrakcją. Ogólnie możemy powiedzieć, że dyfrakcja to zespół zjawisk powstających podczas rozchodzenia się fal w ośrodku z ostrymi niejednorodnościami — jeżeli fala napotyka na swej drodze przeszkodę, to ta część fali, która przechodzi za przeszkodę będzie stawać się źródłem nowych fal kulistych (zasada Huygensa) czyli ulegać ugięciu (dyfrakcji). W każdym punkcie poza przeszkodą występuje superpozycja tych fal parcjalnych uwzględniająca amplitudę i fazę fal. W zależności od wielkości przeszkody a w porównaniu z odległością od niej obserwatora r oraz długości fali [math]\lambda[/math] do opisu zjawiska dyfrakcji stosujemy różne przybliżenia. Jeśli parametr [math]\eta=\frac{a^2}{r\lambda} \gg 1[/math], to możemy stosować opis w ramach optyki geometrycznej. Jeśli z kolei [math]\eta=\frac{a^2}{r\lambda}\ll 1[/math], to stosujemy przybliżenie Fraunhofera, czyli fali płaskiej — zakładamy, że promienie fal ugiętych są równoległe. Przypadek [math]\eta=\frac{a^2}{r\lambda}\approx 1[/math] nosi nazwę dyfrakcji Fresnela, przeszkoda i obserwator są na tyle blisko, że zakrzywienie powierzchni falowej musi być brane pod uwagę. W przypadku, gdy rozpatrujemy zjawisko dyfrakcji dla obserwatora tuż przy przeszkodzie stosowane jest tzw. przybliżenie Kirchoffa.

Nasze rozważanie zaczniemy od opisu w ramach przybliżenia Fraunhofera. Załóżmy, że obszar rozpraszający ma powierzchnię [math]\Sigma[/math], natomiast [math]s(\vec r')[/math] jest funkcją uwzględniająca amplitudę i fazę fali padającej oraz własności obiektu rozpraszającego, oraz [math]\vec r',\ \vec r[/math] odpowiednio współrzędne opisujące obiekt rozpraszający i współrzędne opisujące punkt obserwacji (patrz rysunek Figure 1).

Obiekt rozpraszający.

Funkcja falowa będąca superpozycją fal parcjalnych rozproszonych na obiekcie wyraża się wzorem:

[math]\hat\Psi(\vec r,t)=\frac 1{4\pi}e^{-i\omega t}\int_\Sigma \frac{s(\vec r')}{|\vec r-\vec r'|}e^{ik|\vec r -\vec r'|}\mathrm d\sigma'[/math].

Zakładamy następnie, że na obiekt rozpraszający pada fala płaska oraz stosujemy przybliżenie Fraunhofera, czyli przyjmujemy dla wykładnika eksponensu: [math]|\vec r-\vec r'|\approx r-\vec n\vec r'[/math], natomiast dla mianownika:

[math]|\vec r-\vec r'|\approx r[/math].

[math]\vec n[/math] jest wersorem w kierunku obserwatora. Wówczas otrzymujemy:

[math]\hat\Psi(\vec r,t)\cong \frac 1{4\pi r}e^{i(kr-\omega t)}\int_\Sigma s(\vec r') e^{ik\vec n\vec r'}\mathrm d\sigma'[/math].

Jeśli ponadto, obiekt rozpraszający jest płaski i fala płaska o amplitudzie A0 pada prostopadle na obiekt, to powyższy wzór upraszcza się do postaci:

[math]\hat\Psi(\vec r,t)\cong \frac {A_0}{4\pi r}e^{i(kr-\omega t)}\int_\Sigma e^{ik\vec n\vec r'}\mathrm d\sigma'[/math].

Korzystając z otrzymanych wzorów znajdźmy obraz dyfrakcyjny — rozkład natężenia, w płaszczyźnie symetralnej płaszczyzny dla szczeliny prostokątnej o wymiarach: [math]a \times L\;[/math] (patrz rysunek Figure 2).

Dyfrakcja na płaskiej prostokątnej szczelinie.

Dla tego przypadku:

[math]\vec r'=(x',y',0)[/math]

[math]\vec n =(\sin\theta,0,\cos\theta)'[/math],

a stąd:

[math]\int_\Sigma e^{ik\vec n\vec r'}\mathrm d\sigma'=\int_{-\frac L2}^{\frac L2}\mathrm dy'\int_{-\frac a2}^{\frac a 2} e^{-ik\sin\theta x'}\mathrm dx'= L\frac{e^{-ik\sin\theta \frac a 2}-e^{ik\sin\theta \frac a 2}}{-ik\sin\theta}=L\frac{\sin\left(\frac{ka}2\sin\theta\right)}{\frac{ka}2\sin\theta}[/math].

Ostatecznie rozkład natężenia w płaszczyźnie symetralnej wynosi:

[math]I=I_0\left(\frac{\sin\nicefrac\beta 2}{\nicefrac \beta 2}\right)^2[/math],

gdzie przyjęto oznaczenie: [math]\beta = ka\sin\theta \;[/math].

Na rysunku Figure 3 pokazano obraz dyfrakcyjny pojedynczej szczeliny. Z otrzymanego wzoru wynika, że na osi układu powstaje maksimum główne. Kolejne maksima maja znacznie mniejsze natężenie. Szerokość maksimum głównego silnie zależy od stosunku szerokości szczeliny do długości fali, im szerokość szczeliny większa tym maksimum główne jest węższe. Minima natężenia powstają dla katów spełniających warunek: [math]a\sin\theta=m\lambda\;[/math], (m jest liczbą całkowitą) natomiast kąty dla których obserwujemy maksima boczne wyznaczamy z równania uwikłanego: [math]\tg\nicefrac\beta 2=\nicefrac\beta 2[/math]. Analogiczne rachunki możemy wykonać dla dwóch szczelin o szerokości a i odległych od siebie o d. W takim przypadku wartość całki wynosi:

[math]\int_\Sigma e^{ik\vec n\vec r'}\mathrm d\sigma'=\int_{-\frac L2}^{\frac L2}\mathrm dy'\left[\int_{-\nicefrac{d+a}2}^{-\nicefrac{d-a}2}e^{-ik\sin\theta x'}\mathrm dx'+\int_{\nicefrac{d-a}2}^{-\nicefrac{d+a}2}e^{-ik\sin\theta x'}\mathrm dx'\right]=La\frac{\sin\left(\frac{ka}2\sin\theta\right)}{\frac{ka}2\sin\theta}\cos\left(\frac{kd}2\sin\theta\right)[/math],

a stąd rozkład natężenia: [math]I=I_0\left(\frac{\sin\nicefrac\beta 2}{\nicefrac \beta 2}\right)^2\cos^2(\nicefrac \psi2)[/math], gdzie przyjęto oznaczenia: [math]\beta=ka\sin\theta,\ \phi=kd\sin\theta[/math].

Obraz dyfrakcyjny pojedynczej szczeliny.

Otrzymaliśmy obraz dyfrakcyjny, który jest splotem (iloczynem) rozkładu natężenia od pojedynczej szczeliny (dyfrakcji na pojedynczej szczelinie) oraz rozkładu natężenia związanego z interferencją fal z dwóch źródeł, co pokazano na rysunku Figure 4.

Podobny wynik otrzymujemy dla N szczelin (czyli tzw. siatki dyfrakcyjnej), rozkład natężenia jest iloczynem czynnika dyfrakcyjnego od pojedynczej szczeliny i czynnika interferencyjnego od N źródeł (patrz rysunek Figure 5 i Figure 6):

[math]I=I_0\left(\frac{\sin\nicefrac\beta 2}{\nicefrac \beta 2}\right)^2\left(\frac{\sin\nicefrac{N\phi }2}{\nicefrac \phi 2}\right)^2=I_\mathrm DI_\mathrm I[/math].

Dla dużej liczby N, boczne minima są bardzo małe i praktycznie obserwowane są tylko maksima główne, których położenie określa warunek: [math]\nicefrac\phi2=m\pi\Longrightarrow d\sin\theta =m\lambda[/math] (m jest liczbą całkowitą nazywaną rzędem).

Dla siatki dyfrakcyjnej szerokość linii (maksimów głównych) opisana jest wyrażeniem: [math]\Delta\theta=\frac\lambda{Nd\cos\theta}[/math]. Wprowadza się też następujące wielkości charakteryzujące siatkę:

• dyspersję: [math]D=\frac{\Delta\theta}{\Delta\lambda}=\frac m{d\cos\theta}[/math],
• oraz chromatyczną zdolność rozdzielczą: [math]R=\frac\lambda{\Delta\lambda}=mN[/math].

Zdolność rozdzielcza jest tym wyższa im więcej jest szczelin (N) i im wyższy rząd obserwujemy. W życiu codziennym przykładem siatki dyfrakcyjnej są płyty CD i DVD. Efekty o których pisaliśmy wyżej możemy zaobserwować używając płyt i światła laserowego lub światła białego.

Obraz dyfrakcyjny dwóch szczelin.

Siatka dyfrakcyjna.

Obraz dyfrakcyjny siatki dyfrakcyjnej.

W przypadku szczelin kołowych jakościowo otrzymujemy podobne obrazy dyfrakcyjne, w przybliżeniu Fraunhofera występuje zawsze maksimów centralne (patrz rysunek Figure 7). Widoczne pierścienie nazywamy pierścieniami Airy’ego.

Schematycznie przedstawiony obraz dyfrakcyjny szczeliny kołowej.

Położenie kolejnych minimów (ciemnych prążków) określone są warunkami:

[math]\sin\theta_1 = 1,22\nicefrac\lambda D[/math]

[math]\sin\theta_2 = 2,23\nicefrac\lambda D[/math]

[math]\sin\theta_3 = 3,24\nicefrac\lambda D[/math].

Różne obiekty zostaną rozróżnione gdy maksimum dyfrakcyjne drugiego obiektu wypada w minimum dyfrakcyjnym pierwszego (lub dla większego kąta), co narzuca warunek na minimalną różnicę kątów, żeby dwa obiekty mogły być rozróżnione: [math]\Delta\theta =1,22\nicefrac\lambda D[/math], gdzie D jest średnicą otworu kołowego. Warunek ten nosi nazwę kryterium Rayleigha. Dla ludzkiego oka: .

[math]\Delta\theta =1,22\frac{0,5\cdot 10^{-3}}2 = \unit{0,3\cdot 106{-3}}{rd}\approx 1'[/math].

Teraz przejdziemy do dyfrakcji na krawędzi ostrej powierzchni, np. żyletki. Obraz dyfrakcyjny pokazano na rysunku Figure 8, a schemat i przyjęte oznaczenia eksperymentu przedstawiono na rysunku Figure 9.

Obraz dyfrakcyjny otrzymany na krawędzi żyletki.

Dyfrakcja na ostrej krawędzi.

W tym przypadku nie można zastosować przybliżenia Fraunhofera. Zakładając dyfrakcję dla małych kątów oraz w obszarze ,math>z\gg x, x’, y’</math> stosujemy następujące przybliżenia:

• w wykładniku eksponensu funkcji falowej: [math]|\vec r-\vec r'|=\sqrt{(x'-x)^2+y'^2+z^2}\cong z+\frac{(x'-x)^2}{2z}+\frac{y'^2}{2z}[/math].
• Natomiast w mianowniku: [math]|\vec r-\vec r'|\cong z[/math].

Stąd otrzymujemy wyrażenie na funkcję falową:

[math]\hat\Psi(\vec r,t)\approx\frac{A_0}{4\pi z}e^{i(kz-\omega t)}\int_{-\infty}^{\infty}e^{i\frac{k}{2z}y'^2}\mathrm dy'\int_0^\infty e^{i\frac{k}{2x}(x'-x)^2}\mathrm dx'[/math].

Wynik całkowania wyraża się za pomocą całek Fresnela zdefiniowanych:

[math]C(v)=\int_0^v\cos\left(\frac{\pi u^2}{2}\right)\mathrm du[/math]

[math]S(v)=\int_0^v\sin\left(\frac{\pi u^2}{2}\right)\mathrm du[/math].

Ostatecznie obserwowane natężenie światła ugiętego na krawędzi wyraża się wzorem:

[math]I(x,z)=\frac{I_0}2\{\left[C(\infty)-C\left(-x\sqrt\frac2{\lambda z}\right)\right]^2+\left[S(\infty)-S\left(-x\sqrt\frac2{\lambda z}\right)\right]^2\}[/math].

Z własności całek Fresnela wynika:

[math]C(-v)=-C(v)[/math]

[math]S(-v)=-S(v)[/math]

[math]C(\infty)=S(\infty)=0,5[/math]

to

[math]\lim_{x\rightarrow-\infty}I=0[/math]

[math]\lim_{x\rightarrow+\infty}I=\frac{I_0}2(1+1)=I_0[/math]

[math]I(x=0)=\frac{I_0}4[/math].

Wykres zależności natężenia światła ugiętego na krawędzi przedstawiono na rysunku Figure 10 Przedstawiony opis teoretyczny bardzo dobrze odtwarza wyniki doświadczalne.

Obraz dyfrakcyjny uzyskany na pojedynczej krawędzi.

Powróćmy do problemu dyfrakcji na otworze kołowym, ale tym razem w przybliżeniu Fresnela i poszukajmy natężenia fali ugiętej na osi układu. W przybliżeniu Fraunhofera otrzymujemy zawsze maksimum centralne na osi układu. Na rysunku Figure 11 pokazano schemat szczeliny kołowej. Zgodnie z oznaczeniami z rysunku stosujemy przybliżenie: [math]|\vec r-\vec r'|=\sqrt{L^2+\rho'^2}[/math].

Po scałkowaniu otrzymujemy następujący wynik na funkcje falową:

[math]\hat\Psi(\vec r,t)=\frac{A_0}{4\pi}e^{-i\omega t}\int_0^{2\pi}\mathrm d\phi'\int_0^r\frac{e^{ik\xi}}\xi\rho'\mathrm d\rho'=\frac{A_0}{k}e^{i\left(\frac k2 \left(\sqrt{L^2+R^2}+L\right)-\omega t\right)}\sin\frac k2 \left(\sqrt{L^2+R^2}-L\right) [/math].

Zwróćmy uwagę, że wynik ten jest bardzo „interesujący” dla:

[math]\frac k2 \left(\sqrt{L^2+R^2}-L\right)=m\frac\pi2\Longleftrightarrow \left(\sqrt{L^2+R^2}-L\right)=m\frac\lambda2[/math].

gdzie m jest liczbą całkowitą.

Dyfrakcja Fresnela na otworze kołowym.

Jeśli m jest nieparzyste to na osi, w środku obrazu otrzymujemy maksimum natężenia światła, a więc podobnie jak dla dyfrakcji w przybliżeniu Fraunhofera. Jednak gdy m jest nieparzyste zaobserwujemy w centrum natężenie zero, a więc ciemną plamkę. Efekt ten został po raz pierwszy pokazany i opisany przez Fresnela. Ciemną plamkę na środku możemy zaobserwować przesuwając ekran (zmieniając wartość L) lub zmieniając promień otworu R. Jeśli np. ustalimy L i będziemy zwiększać stopniowo R, to najpierw dla bardzo małych wartości promienia otworu do obserwatora będą dochodzić fale praktycznie w fazie aż promienie osiągnie wartość: [math]R=\sqrt{\left(L+\frac \lambda2\right)^2-L^2}[/math]. Dla większych R fale ze środka wygaszają się z falami z brzegu otworu, natężenie maleje do zera gdy: [math]R = \sqrt{\left(L+\frac {2\lambda}2\right)^2-L^2}[/math]. Gdy R rośnie pojawia się „nowa porcja” fal „nie wygaszonych” i natężenie rośnie, aż: [math]R = \sqrt{\left(L+\frac {3\lambda}2\right)^2-L^2}[/math], itd.

Na zakończenie rozważań dotyczących fal zwróćmy uwagę, że omawialiśmy fale mechaniczne, fale na wodzie oraz fale elektromagnetyczne. Własności falowe wykazują również cząstki materialne, mówimy wówczas o tzw. falach materii. Przykładem takich własności jest dyfrakcja elektronów wykorzystywana w mikroskopie elektronowym. Każdej poruszającej się cząsteczce możemy przypisać długość fali, zwanej długością fali De Broglie’a zgodnie ze wzorem:

[math]\lambda=\frac hp=\frac h{mv}[/math].

gdzie h jest stałą Plancka, a p pędem cząstki. Zjawisko dyfrakcji elektronów po raz pierwszy zaobserwowali C. Davisson i L. Germer w roku 1927. Elektrony były rozpędzane za pomocą napięcia [math]V_{ba} = \unit{54}{V}[/math] i rozpraszane na krysztale o stałej sieci [math]d=\unit{0,215}{nm}[/math]. Maksimum dyfrakcyjne zaobserwowano pod kątem [math]\theta=50^o[/math]. Korzystając ze wzoru na długość fali oraz z warunku na interferencje konstruktywną [math](\lambda=d\sin\theta\;)[/math] znajdujemy długość fali De Broglie’a dla elektronów:

[math]\lambda=\frac hp=\frac h\sqrt{2m eV_{ba}}=\unit{1,7\times 10^{-10}}m[/math].