TI/Programowanie dla Fizyków Medycznych/RRZ

Równania różniczkowe zwyczajne

Zajmieny się teraz problemem numerycznego rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych o postaci:

[math] \frac{dy(t)}{dt} = f(t,y(t))[/math],

z warunkeim początkowym

[math]y(t_0)=y_0[/math].

Zauważmy, że przykładowe równanie różniczkowe drugiego rzędu

[math] \frac{d^2 x(t)}{dt^2} = \omega(t,x(t))[/math],

można zapisać jako

[math] \frac{d}{dt} \binom{x(t)}{x'(t)} = \binom{x'(t)}{\omega(t,x(t))}[/math].

W analogiczny sposób równanie dowolnego rzędy możemy zapisać jako wektorowe równanie różniczkowe pierwszego rzędu. Wystarczy zatem, że skupimy się na rozwiązywaniu równań pierwszego rzędu, Rozwiązaniem postawionego problemu są ciągłe funkcje zmiennej czasowej t. Rozwiązanie numeryczne takiego problemu ogranicza się jednak do znalezienia wartości funkcji y(t) w skończonej liczbie punktów czasowych. W najprostrzym przypadku (do którego się tutaj ograniczymy) zakładamy, że punkty te są od siebie równo oddalone, a odległość między nimi nazywamy krokiem czasowym i tradycyjnie oznaczamy literą h. Zatem rozwiązanie równania na przedziale [math](t_0,t_k)[/math] sprwadzamy do rozwiązania w sekwencji czasów [math]t_0, t+1=t_0+h,t_2=t_0+2h,...,t_k=Nh[/math]. Poprzez [math]x_n[/math] oznaczać będziemy numeryczne przybliżenie ścisłego rozwiązania [math]x(t_n)[/math].

Metoda Eulera

Najprostszą metodą numeryczną rozwiązywania równań różniczkowych jest metoda Eulera. Przybliżmy pochodzną czasową występującą po lewej stronie równania przez iloraz różnicowy

[math] \frac{d x(t)}{dt} \approx \frac{x(t+h)-x(t)}{h}[/math],

przekształacjąc uzyskujemy

[math] x(t+h) \approx x(t)+ h \frac{d x(t)}{dt} [/math]

a po podstawieniu rozwiązywanego równania mamy

[math] x(t+h) \approx x(t)+ h f(t,x(t)) [/math].

Możemy to zapisać w postaci dyskretnej

[math] x_{n+1} = x_n + h f(t_n,x_n) [/math].

Wartość w kolejnej chwili czasu dana jest explicite poprzez wartość w chwili poprzedniej. Metoda ta nazywa się Explicit Euler. Możemy teraz zaimplementować ją w pythonie

import numpy as np
import pylab as py

#rozwiazujemy rownanie dx(t)/dt=f(t,x)

#metoda Explicit Euler
#f - funkcja f z rownania
#x0-wartosc poczatkowa
#t0-czas poczatkowy
#tk-czas koncowy
#h-krok czasowy

def EE(f,x0,t0,tk,h): 
    #generujemy wektor czasow
    t=np.arange(t0,tk,h)

    #liczba krokow czasowych
    N=len(t)

    #wektor wynikowy
    if hasattr(x0, "__len__"): x=np.zeros((N,len(x0))) # gdy mamy doczynienia w równaniem wektorowym
    else: x=np.zeros(N) #dla przypadku skalarnego

    #wpisujemy wartosc poczatkowa
    x[0]=np.array(x0)
    #index
    i=1
    #petla glowna
    while (i<N):
        x[i]=np.array(x[i-1]+h*f(t[i-1],x[i-1]))
        i+=1
    return t,x

Najłatwiej będzie przetestować napisaną metodę na równaniu którego ścisłe rozwiązanie jest znane.Zacznijmy zatem od równania oscylatora harmonicznego

def oscylator(t,y):
    x=y[0]
    xdot=y[1]
    return np.array([xdot,-x])

Rozwiążmy to równanie z warunkeim początkowym [1.0,1.0] i od czasu od 0 do 100.

t,x=EE(oscylator,[1.0,1.0],0.0,100,0.01)
py.plot(t,x[:,0])
py.show()

rozwiązanie wygląda wówczas nastepująco

Jeżeli zaś wydłuzymy czas symulacji to 1000 otrzymamy

Amplituta oscylacji rośnie wykładniczo i rozwiązanie numeryczne bardzo szybko przestaje mieć cokolwiek wspólnego ze ścisłym rozwiązaniem którego amplituda jest przecież stała. Metoda Explicit Euler już po kilku krokach czasowych przestaje przypominać ścisłe rozwiązanie. Niestety trudno jest zupełnie wyeliminować to zjawisko, za to możemy użyć metody, która znacznie wolniej będzie się oddalać od ścisłego rozwiązania. Zauważmy, że w metodzie Explicit Euler w każdym kroku czasowym tylko raz liczyliśmy wartość funkcji f. Liczbę wywołan funkcji f w każdym kroku czasowym nazywamy rzędem metody, stąd Explicit Euler jest metodą pierwszego rzędu. Wprowadźmy teraz przykładowe metody rzędu drugiego

Metoda Żabiego Skoku

W poprzedniej metodzie liczyliśmy wartość funkcji f w chwili [math]t_n[/math], która była pochodzną po czasie naszego ścisłego rozwiązania. Kolejny punkt [math]x_{n+1}[/math] był liczony z przybliżenia liniowego funkcji w chwili poprzedniej. Jeżeli faktyczna trajektoria ma niezerową drugą pochodzną to takie liniowe przybliżenie zawsze będzie nas oddalało od ścisłego rozwiązania. Dosyć prostym pomysłem na poprawienie zbieżności metody jest tak zwany żabi skok. Policzmy najpierw wartość zmiennej x przesuwając się w czasie o h/2 i policzmy wówczas pochodną, którą oznaczmy przez [math]k_2[/math]

[math] k_1=f(t_n,x_n) [/math].

[math] k_2=f(t_n+h/2,x_n+h/2*k_1) [/math].

Nastepnie używamy pochodznej [math] k_2 [/math] zamiast pochodznej [math] k_1 [/math] do obliczenia wartości funkcji w kolejnym kroku czasowym.

[math] x_{n+1} = x_n + h k_2 [/math].

Przykładowa implementacja tej metody wygląda nastepująco

def leapfrog(f,x0,t0,tk,h): 

    #generujemy wektor czasow
    t=np.arange(t0,tk,h)

    #liczba krokow czasowych
    N=len(t)

    #wektor wynikowy
    if hasattr(x0, "__len__"): x=np.zeros((N,len(x0)))
    else: x=np.zeros(N)

    #wpisujemy wartosc poczatkowa
    x[0]=np.array(x0)

    #index
    i=1

    #petla glowna
    while (i<N):
        k1=f(t[i-1],x[i-1])
        k2=f(t[i-1]+h*0.5,x[i-1]+0.5*h*k1)
        x[i]=np.array(x[i-1]+h*k2)
        i+=1
    return t,x

Rozwiązanie równania oscylatora tą metodą dla identycznych jak poprzednio czasów da nastepujące wyniki

t,x=leapfrog(oscylator,[1.0,1.0],0.0,100,0.01)
py.plot(t,x[:,0])
py.show()

t,x=leapfrog(oscylator,[1.0,1.0],0.0,1000,0.01)
py.plot(t,x[:,0])
py.show()

Metoda Heuna

Kolejną metodą niewiele różniącą się od poprzedniej jest metoda Heuna. Zdefiniowana jest ona przez równania [math] k_1=f(t_n,x_n) [/math],

[math] k_2=f(t_n+h/2,x_n+h/2*k_1) [/math],

[math] x_{n+1} = x_n + h k_2 [/math].

Implementacja wygląda następująco

def Heun(f,x0,t0,tk,h): 
    #generujemy wektor czasow
    t=np.arange(t0,tk,h)
    #liczba krokow czasowych
    N=len(t)
    #wektor wynikowy
    if hasattr(x0, "__len__"): x=np.zeros((N,len(x0)))
    else: x=np.zeros(N)
    #wpisujemy wartosc poczatkowa
    x[0]=np.array(x0)
    #index
    i=1
    #petla glowna
    while (i<N):
        k1=f(t[i-1],x[i-1])
        k2=f(t[i-1]+h*0.5,x[i-1]+0.5*h*k1)
        x[i]=np.array(x[i-1]+h*0.5*(k1+k2))
        i+=1
    return t,x

Runge-Kutta czwartego rzędu

Ostatnią metodą, którą omówimy jest najbardziej popularna metoda zwana w skrócie RK4. Metoda to uznawana jest za kanoniczną i w większości zastosowań dającą najlepsze wyniki. Metody wyższego rzędu nie wnoszą już do wyniku znaczącej poprawy. Jak sugeruje nazwa metody, jej rząd to 4, czyli w każdym kroku czasowym czterokrotnie wywołujemy funkcję f. Metoda ta zdefiniowana jest wzorami

[math] k_1 = f \left( t_n, x_n \right) [/math],

[math] k_2 = f \left( t_n + {h \over 2}, x_n + {1 \over 2} k_1 \right) [/math],

[math] k_3 = f \left( t_n + {h \over 2}, x_n + {1 \over 2} k_2 \right) [/math],

[math] k_4 = f \left( t_n + h, x_n + k_3 \right) [/math],

[math] x_{n+1} = x_n + {h \over 6} (k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4) [/math],

a implementacja wygląda następująco

def RK4(f,x0,t0,tk,h): 
    #generujemy wektor czasow
    t=np.arange(t0,tk,h)
    #liczba krokow czasowych
    N=len(t)
    #wektor wynikowy
    if hasattr(x0, "__len__"): x=np.zeros((N,len(x0)))
    else: x=np.zeros(N)
    #wpisujemy wartosc poczatkowa
    x[0]=np.array(x0)
    #index
    i=1
    #petla glowna
    while (i<N):
        k1=h*f(t[i-1],x[i-1])
        k2=h*f(t[i-1]+h*0.5,x[i-1]+0.5*k1)
        k3=h*f(t[i-1]+h*0.5,x[i-1]+0.5*k2)
        k4=h*f(t[i-1]+h,x[i-1]+k3)
        x[i]=np.array(x[i-1]+(k1+2.0*k2+2.0*k3+k4)/6)
        i+=1
    return t,x

Przykłady

Zadanie - Wahadło matematyczne z tłumieniem i siłą wymuszającą

Rozwiąż numerycznie metodą RK4 równanie różniczkowe oscylatora harmonicznego z tłumieniem i siłą wymuszającą

[math] \frac{d^2x}{dt^2} + \Gamma \frac{dx}{dt} + w_0^2 x = f_0 \cos(W t) [/math],

przyjmując parametry [math] f_0 =1, w_0=1, \Gamma=0.1, h=0.1 [/math]. Wykreśl zależność amplitudy drgań w funkcji częstości siły wymuszającej W, dla W z przedziału [0.1,3].

Rozwiązanie

Zacznijmy od sprowadzenia równania drugiego stopnia do równania pierszego stopnia i zapisania go w postaci funkcji

def oscylator(t,y):
    f0=1.0
    w0=1.0
    Gamma=0.1

    x=y[0]
    xdot=y[1]
    return np.array([xdot,f0*np.cos(oscylator.W*t)-oscylator.Gamma*xdot-w0*w0*x])

oscylator.W=1.0

Nieprzypadkowo parametr W nie jest definiowany w samej funkcji jako zmienna wewnętrzna, ale jako atrybut obiektu jakim jest funkcja. Dzięki takiej konstrukcji łatwo będzie nam zmieniać parametr W czyli częstość siły wymuszającej. Zobaczmy jak wygląda trajektoria będąca rozwiązaniem tego równania dla warunku początkowego [0,1] i czasu końcowego równego 400.

py.plot(*RK4(oscylator,[0.0,1.0],0.0,400.0,0.1))
py.show()

Widać że początkowo układ dochodzi do stanu regularnych oscylacji. Do analizy amplitudy interesuje nas jedynie koncowa część więc ograniczymy się do analizy trajektorii od czasu 200 do czasu 400. Napiszmy teraz funkcję, która na podstawie trajektorii wyznaczy nam amplitudę oscylacji

def amplituda(x):
    lista=x[2000:,0]
    return (max(lista)-min(lista))*0.5

Interesować nas będzie amplituda drgań w funkcji częstość W. Wygenerujmy listę wartości W dla których będziemy liczyć amplitudę.

Omegas=np.arange(0.1,3.0,0.05)

Możemy teraz dla każdej z wartości W rozwiązać numerycznie równanie różniczkowe i wyznaczyć odpowiadającą amplitudę oscylacji

amp=[amplituda(RK4(oscylator,[0.0,1.0],0.0,400.0,0.1)[1]) for oscylator.W in Omegas]

Wynik koncowy wyglada następująco

py.plot(Omegas,amp)
py.show()

Jak można było się domyślić amplituda jest największa gdy częstotliwość wymuszania W pokrywa się z wartością częstotliwości drgań własnych [math] w_0=1 [/math]

Zadanie - Układ Lorenza

Rozwiąż układ równań różniczkowych Lorenza dany wzorami

[math] \begin{cases}\dot x=\sigma y-\sigma x\\\dot y=-xz+rx-y\\\dot z=xy-bz\end{cases}, [/math]

metodą całkowania Rungego–Kutty drugiego rzędu z α = 2/3, czyli

[math]k_1 = f(t_n,x_n)[/math] ,

[math]k_2 = f(t_n + \tfrac{2}{3}h, x_n + \tfrac{2}{3}h k_1)[/math] ,

[math]x_{n+1} = x_n + h \left(\tfrac{1}{4}k_1+\tfrac{3}{4} k_2 \right). [/math]

Przyjmij sigma=10, b=8/3, r=99.96, krok czasowy h=0.005 i warunki początkowe x=1,y=0,z=0. Wykonaj 8000 kroków czasowych. Układ po pewnym czasie zacznie poruszać się po pewnej periodycznej trajektorii. Wykonaj 3 rysunki TEJ PERIODYCZNEJ TRAJEKTORII (bez okresu dochodzenia do niej) w płaszczyznach (x,y), (y,z) i (z,x). Wypisz na ekranie przedziały wartości jakie przyjmują zmienne x,y i z na periodycznej trajektorii oraz okres trajektorii periodycznej.

Rozwiązanie

Zacznijmu od implementacji podanej w treści zadania metody całkowania RK2

import numpy as np
import pylab as py

#rozwiazujemy rownanie dx(t)/dt=f(t,x)

#metoda Explicit Euler
#f - funkcja f z rownania
#x0-wartosc poczatkowa
#t0-czas poczatkowy
#tk-czas koncowy
#h-krok czasowy

def RK2(f,x0,t0,tk,h): 

    #generujemy wektor czasow
    t=np.arange(t0,tk,h)

    #liczba krokow czasowych
    N=len(t)

    #wektor wynikowy
    if hasattr(x0, "__len__"): x=np.zeros((N,len(x0)))
    else: x=np.zeros(N)

    #wpisujemy wartosc poczatkowa
    x[0]=np.array(x0)

    #index
    i=1

    #petla glowna
    while (i<N):
        k1=h*f(t[i-1],x[i-1])
        k2=h*f(t[i-1]+h*2.0/3.0,x[i-1]+k1*2.0/3.0)
        x[i]=np.array(x[i-1]+0.25*k1+0.75*k2)
        i+=1
    return t,x

Następnie napiszmy funkcję opisującą układ Lorenza

def Lorenza(t,y):
    sigma=10.0
    b=8.0/3
    r=99.96
    xx=y[0]
    yy=y[1]
    zz=y[2]
    xdot=sigma*(yy-xx)
    ydot=-xx*zz+r*xx-yy
    zdot=xx*yy-b*zz
    return np.array([xdot,ydot,zdot])

Zobaczmy teraz jak wyglądają trajektorie wszystkich trzech współrzędnych rozwiązania z zadanymi parametrami

t,x=RK2(Lorenza,[1.0,0.0,0.0],0.0,40.0,0.005)
py.plot(t,x[:,1])
py.show()
py.plot(t,x[:,2])
py.show()
py.plot(t,x[:,0])
py.show()

Możemy zauważyć że układ początkowo zachowuje się chaotycznie a potem dąży do pewnego stanu ustalonego (tzw. atraktora). Cała trajektoria składa się z 8000 punktów, przyjmijmy że powyżej punktu o numerze 2500 mamy już do czynienia tylko z periodyczną trajektorią. Wykreślmy zatem portrety fazowe o których mowa w treści zadania

py.plot(x[2500:,0],x[2500:,1])
py.show()
py.plot(x[2500:,1],x[2500:,2])
py.show()
py.plot(x[2500:,2],x[2500:,0])
py.show()

Wypisanie zakresów jest już tylko formalnością

print 'zmienna x przyjmuje wartosci z zakresu: (',min(x[2500:,0]),',',max(x[2500:,0]),')'
print 'zmienna y przyjmuje wartosci z zakresu: (',min(x[2500:,1]),',',max(x[2500:,1]),')'
print 'zmienna z przyjmuje wartosci z zakresu: (',min(x[2500:,2]),',',max(x[2500:,2]),')'

Okres trajektorii periodycznej możemy znaleść na przykład w ten sposób

prog=140
lista=[]
for i in range(2500,8000):
    if (x[i-1,2]<prog) and (x[i,2]>prog): lista.append(i)
print 'okres to:',np.mean(np.diff(lista)*0.005)

>>> okres to: 1.0975
>>> zmienna x przyjmuje wartosci z zakresu: ( -33.4431203059 , 25.8037953495 )
>>> zmienna y przyjmuje wartosci z zakresu: ( -56.7169238157 , 37.3166709986 )
>>> zmienna z przyjmuje wartosci z zakresu: ( 53.4652816712 , 144.264397579 )

"Programowanie dla Fizyków Medycznych"