Ćwiczenia 2 2
Spis treści
Zadania
Współczynniki obliczane przez FFT
Najprostsza sytuacja: Badamy współczynniki zwracane przez fft dla sinusoid o różnych częstościach. Wykorzystujemy funkcje do generacji sygnałów napisane na poprzednich zajęciach.
- Proszę kolejno wygenerować sinusoidy o długości 1s próbkowaną 128Hz i częstościach 1,10,30, 64 i 0 Hz. Dla tych sinusoid proszę policzyć transformaty Fouriera i wykreślić zarówno sygnały jak i wartość bezwzględne otrzymanych współczynników.
- Jak wyglądają otrzymane wykresy?
- Czy coś szczególnego dzieje się dla częstości 0 i 64Hz? Czy w tych skrajnych przypadkach faza sygnału ma wpływ na wynik transformaty?
- Proszę wygenerować sygnał delta położony w sekundzie 0,5 na odcinku czasu o długości 1s próbkowany 128Hz. Dla takiego sygnału proszę policzyć transformatę Fouriera i wykreślić zarówno sygnały jak i wartość bezwzględne otrzymanych współczynników.
- Jak wygląda transformata funkcji delta? Jakie częstości w sobie zawiera?
*
Rekonstrukcja sygnału ze współczynników
Reprezentacja sygnałów w dziedzinie częstości jest dualna do reprezentacji w dziedzinie czasu. To znaczy, że jedną reprezentację można przekształcić w drugą. Do przejścia z dziedziny czasu do częstości używaliśmy transformaty Fouriera (zaimplemantowanej w fft). Przejścia z dziedziny częstości do czasu dokonujemy przy pomocy odwrotnej transformaty Fouriera (zaimplementowanej jako ifft. Mając (zespolone) współczynniki w dziedzinie częstości dla pewnego sygnału,możemy odzyskać jego przebieg czasowy.
- Proszę wygenerować sygnał [math]s(t) = \sin(2\pi t \cdot 1)+\sin\left(2 \pi t \cdot 3+\frac{\pi}{5}\right) [/math] o długości 2,5 s próbkowany 10 Hz, obliczyć jego transformatę Fouriera, a następnie zrekonstruować przebieg czasowy. Sygnał oryginalny i zrekonstruowany wykreślić na jednym rysunku. Korzystając z naszych funkcji generację sygnału można zapisać tak:
(s1,t) = sin(f=1, T=2.5, Fs=10, phi=0)
(s2,t) = sin(f=3, T=2.5, Fs=10, phi=np.pi/5)
s = s1 + s2
- Dla porównania proszę zrekonstruować sygnał korzystając jawnie z postaci odwrotnej transformaty Fouriera danej wzorem:
- [math]x(n)=\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} S[k] \cdot \exp\left(2j \pi n\frac{ k}{N}\right)[/math]
- Zwróćmy uwagę, że n w powyższym wzorze to indeksy punktów czasu, zatem wiążą się one z czasem zwracanym przez nasze funkcje następująco:
- n = np.arange(0,len(t),1).
zatem kod rekonstruujący może być np. taki:
n = np.arange(0,len(t),1)
s_rekonstrukcja = np.zeros(len(t))
for k in range(0,N):
s_rekonstrukcja += 1.0/N * S[k]*np.exp((2j*np.pi*n*k)/N)
*
Efekt nieciągłości funkcji
- Wygenerować sinusoidę o następujących własnościach: f=10 Hz, T=1, Fs=100 Hz, i fazie = 1;
- Przy pomocy subplotów proszę sporządzić rysunek zgodnie z ponższym opisem:
- subplot(2,2,1): przebieg sygnału w czasie
- subplot(2,2,2): moduł jego transformaty Fouriera (narysować za pomocą funkcji py.stem, skalę na osi częstości można uzyskać wywołując funkcję F = FFT.fftfreq(len(s), 1/Fs) gdzie s to nasz sygnał),
- subplot(2,2,3): Proszę wykreślić trzykrotnie periodycznie powielony oryginalny sygnał. Można go skonstruować wywołując funkcję: s_period = np.concatenate((s,s,s)).
- subplot(2,2,4): moduł transformaty Fouriera s_period (narysować za pomocą funkcji py.stem, skalę na osi częstości można uzyskać wywołując funkcję F = FFT.fftfreq(3*len(s), 1/Fs)
- Powtórz te same kroki dla sinusa o częstości 10.3 Hz.
Pytania:
- Czym różnią się przedłużenia sinusoidy 10 Hz od sinusoidy 10.3 Hz? Proszę zwrócić uwagę na miejsca sklejania sygnałów.
- Skąd bierze się widoczna różnica w widmie sinusoidy 10 Hz i 10.3 Hz?
*
Długość sygnału a rozdzielczość widma FFT
Z dotychczasowych rozważań o transformacie Fouriera ograniczonych w czasie sygnałów dyskretnych wynika, że w widmie reprezentowane są częstości od [math]-F_N[/math] do [math]F_N[/math] gdzie [math]F_N[/math] to częstości Nyquista. Dostępnych binów częstości jest N - tyle samo ile obserwowanych punktów sygnału. Zatem zwiększenie długości sygnału w czasie poprawia "rozdzielczość" reprezentacji częstotliwościowej sygnału.
Załóżmy, że dysponujemy jedynie sekwencją N próbek pewnego sygnału. Rozważymy teraz jakie można przyjąć strategie przedłużania tego sygnału w celu zwiększenia gęstości binów częstotliwościowych i jakie te strategie mają konsekwencje.
Przedłużanie sygnału zerami
Inną popularną metodą na zwiększanie ilości binów w transformacie Fouriera jest przedłużanie sygnału zerami (zero-padding). Jest to szczególny przypadek następującego podejścia: Nasz "prawdziwy" sygnał jest długi. Oglądamy go przez prostokątne okno, które ma wartość 1 na odcinku czasu dla którego próbki mamy dostępne i 0 dla pozostałego czasu (więcej o różnych oknach będzie na kolejnych zajęciach). W efekcie możemy myśleć, że oglądany przez nas sygnał to efekt przemnożenia "prawdziwego" sygnału przez okno. Efekty takiego przedłużania proszę zbadać przy użyciu poniższego kodu.
- Jak można zinterpretować wyniki tego eksperymentu w świetle twierdzenia o splocie?
# -*- coding: utf-8 -*-
import pylab as py
import numpy as np
import numpy.fft as FFT
def sin(f = 1, T = 1, Fs = 128, phi =0 ):
'''sin o zadanej częstości (w Hz), długości, fazie i częstości próbkowania
Domyślnie wytwarzany jest sygnał reprezentujący
1 sekundę sinusa o częstości 1Hz i zerowej fazie próbkowanego 128 Hz
'''
dt = 1.0/Fs
t = np.arange(0,T,dt)
s = np.sin(2*np.pi*f*t + phi)
return (s,t)
(s1,t) = sin(f = 15.0, T =0.1, Fs = 100, phi = 0)
(s2,t)= sin(f = 20.0, T =0.1, Fs = 100, phi = 0)
s=s1+s2
py.clf()
py.subplot(2,2,1)
py.plot(t,s)
py.subplot(2,2,2)
S = FFT.fft(s)
F = FFT.fftfreq(len(s),0.01)
py.stem(F,np.abs(S)/len(S))
py.xlim((-50,50))
py.ylim((0,0.7))
z= np.zeros(len(s))
py.subplot(2,2,3)
s_period = np.concatenate((s,z,z,z,z,z,z,z,z,z))
t_period = np.arange(0,len(s_period)/100.0,0.01)
py.plot(t_period,s_period)
py.subplot(2,2,4)
S_period = FFT.fft(s_period)
F_period = FFT.fftfreq(len(s_period),0.01)
py.stem(F_period,np.abs(S_period)/len(S))
py.stem(F,np.abs(S)/len(S),linefmt='r-', markerfmt='ro')
py.xlim((-50,50))
py.ylim((0,0.7))
py.show()
