AS cwiczenia DTF

Wielokanałowe modele AR

Model autoregresyjny rozpatrywaliśmy do tej pory jako proces generacji pojedynczego sygnału x. Nic jednak nie stoi na przeszkodzie, aby w chwili czasu t opisywać wartość nie jednego sygnału, ale jakiejś większej ich liczby, np. k. Możemy wtedy zapisać wzór modelu k-kanałowego jako

[math]X(t) = \sum _{i=1}^p A(i) X(t-i) +E(t)[/math]

gdzie X(t) i E(t) są wektorami odpowiednio — wartości wszystkich opisywanych modelem sygnałów (x₁, x₂, ..., x_k) w chwili czasu t i wartości k niezależnych procesów czysto losowych (ϵ₁, ϵ₂, ..., ϵ_k) w chwili czasu t:

[math]X(t)=\left(\begin{array}{l} x_1(t)\\x_2(t)\\\vdots\\x_k(t) \end{array} \right)\ \ \ E(t)=\left(\begin{array}{l} \epsilon_1(t)\\ \epsilon_2(t)\\\vdots\\ \epsilon_k(t) \end{array} \right)[/math]

Proces opisujący jednocześnie więcej niż jeden sygnał nazywamy wielokanałowym lub wielozmiennym (ang. multichannel, multivariate). Zauważmy, że (jeden) model wielokanałowy nie jest prostym powieleniem kilku modeli jednokanałowych. Tutaj współczynniki A są macierzami rozmiaru k×k, zawierającymi oprócz zależności osobno dla każdego z sygnałów (kanałów modelu) również wyrazy pozadiagonalne, opisujące zależności między sygnałami składowymi.

Wzory opisujące model w dziedzinie częstości, w szczególności wzór na transformację Fouriera sygnału X oraz na widmo S (czyli funkcję gęstości widmowej mocy) wyglądają identycznie jak w przypadku jednokanałowym z tym, że odpowiednie wielkości (A, H, S) są teraz macierzami rozmiaru k×k, natomiast X(f) i E(f) są wektorami o rozmiarze k:

[math]A(f)X(f) =E(f)[/math]

[math]X(f)=A^{-1}(f) E(f)=H(f) E(f)[/math]

[math]S(f) = X(f)X^+(f)=H(f)VH^+(f)[/math]

(symbol ⁺ oznacza transpozycję połączoną ze sprzężeniem zespolonym elementów macierzy).

Macierz H nazywamy macierzą przejścia modelu (ang. transfer matrix). Widzimy, że transformata Fouriera sygnału powstaje przez pomnożenie macierzy przejścia H przez transformatę Fouriera szumu E, która teoretycznie nie zależy od częstości. Oznacza to, że własności widmowe opisane współczynnikami modelu (z których wylicza się macierz przejścia) zawarte są w H.

Widmo S procesu wielokanałowego jest również macierzą rozmiaru k×k. Na przekątnej zawiera ona tzw. widma własne (ang. autospectra), a poza przekątną widma wzajemne (ang. cross-spectra) mówiące o wspólnych dla danej pary kanałów składowych w częstości.

Ponieważ macierz H zawiera w sobie związki między wszystkimi sygnałami wchodzącymi w skład opisywanego układu oraz jest ona niesymetryczna, może posłużyć do skonstruowania funkcji opisującej zależności pomiędzy sygnałami. Funkcją taką jest na przykład kierunkowa funkcja przejścia (ang. directed transfer function, DTF) opisana w wersji znormalizowanej wzorem.

[math]\gamma_{ij}(f)=\frac{\left|H_{ij}(f)\right|^2}{\sum_{m=1}^{k}\left|H_{im}(f)\right|^2}[/math]

Opisuje ona stosunek wpływu w częstości f sygnału transmitowanego z kanału j do kanału i w danym zestawie w stosunku do wszystkich wpływów transmitowanych w tej częstości do kanału i. Dzięki temu jest ona znormalizowana: jej wartości zawierają się w przedziale [0, 1]; wartość 0 oznacza brak transmisji z kanału j do kanału i, wartość bliska 1 oznacza silny przepływ sygnału w tym kierunku.

Ćwiczenia

Aby zapoznać się z działaniem funkcji DTF możemy użyć wtyczki DTF do programu Svarog. Oblicza ona znormalizowaną funkcję DTF dla wybranego zestawu kanałów wczytanych z pliku i wybranego rzędu modelu.

Sygnał testowy 1 (dane_dtf_1.bin, dane_dtf_1.xml) jest to układ 3-kanałowy, w którym kanały 1 i 3 pochodzą z zapisu EEG ludzkiego z czaszki, pierwszy z przodu głowy, drugi z tyłu głowy, kanał 2 jest zaś szumem o rozkładzie normalnym. Sygnał zbierany był w trakcie czuwania z zamkniętymi oczami, oczekujemy więc silnej składowej w paśmie alfa (8-12 Hz), która, jak jest to wiadomo, jest generowana z tyłu głowy. Jak zinterpretujesz otrzymany wynik?

*

Sygnał testowy 2 (dane_dtf_2.bin, dane_dtf_2.xml) jest to również układ 3-kanałowy, demonstrujący tzw. problem wspólnego źródła. Sygnał 1 pochodzi z rejestracji ludzkiego EEG podczas czuwania z zamkniętymi oczami, sygnał 2 to częściowo ten sam sygnał opóźniony o jedną próbkę z dodanym szumem, a sygnał 3 to sygnał 1 opóźniony o dwie próbki i z dodanym (innym) szumem. Ponieważ sygnały 2 i 3 są opóźnionymi wersjami sygnału 1 oczekujemy wykrycia transmisji 1→2 i 1→3. Pytanie jest czy powinniśmy oczekiwać transmisji 2→3? W końcu w kanale 3 jest sygnał podobny do sygnału z kanału 2 i na dodatek opóźniony w stosunku do niego o 1 próbkę.

Zaobserwuj wielkość wykrytej transmisji między sygnałami 2 a 3 w dwóch sytuacjach: gdy do analizy bierzesz tylko te dwa sygnały (2 i 3) oraz gdy do analizy brane są wszystkie trzy sygnały na raz. Czy możemy zaobserwować różnicę między sytuacją użycia pary sygnałów i informacji z pełnego układu 3-kanałowego?

[1]

Analiza_sygnałów_-_ćwiczenia/AR_2