Szeregi potęgowe

Szereg potęgowy

Szeregiem potęgowym nazywamy szereg

[math] S(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n [/math]

Wyrażenia bardzo podobne pojawiały się przy omawianiu wzoru Taylora; tyle że tam suma była skończona i na końcu figurowała tam reszta. Ale jeśli resztę można uczynić dowolnie małą, to otrzyma się wyrażenie dokładnie takie, jak (1). Żeby to dokładniej zobaczyć, przypomnijmy sobie wzór Taylora:

[math] f(b)=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(b-a) + \frac{f''(a)}{2!}(b-a)^2+ \dots +\frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!} (b-a)^{n-1}+ R_n, [/math]

Dla ustalenia uwagi weźmy [math]a=0\;[/math] oraz oznaczmy [math]x=b\;[/math] Wtedy widać, że jeśli zachodzi [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} R_n=0\;[/math] , to funkcja [math]f(x)\;[/math] daje się rozwinąć w szereg potęgowy:

[math] f(x)=f(0) +\frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(0)}{2!}x^2+ \dots =\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{n}(0)}{n!} x^n [/math]

Podamy teraz proste kryterium, kiedy funkcję można rozwinąć w szereg (3).

Stwierdzenie

Załóżmy, że wszystkie pochodne [math]f^{(n)}\;[/math] są ograniczone w przedziale [math][0,x]\;[/math] , tzn. istnieje taka liczba [math]M\;[/math] , że nierówność [math]|f^{(n)}(\theta x)|\lt M\;[/math] zachodzi dla każdego [math]n\;[/math] i dla każdego [math]\theta\in ]0,1[\;[/math]. Wtedy [math]f(x)\;[/math] ma rozwinięcie (3) w szereg potęgowy.

Dowód

Mamy:

[math] |R_n| = \left| \frac{x^n}{n!}f^{(n)}(\theta x)\right|\leq\left| \frac{x^n}{n!}\right|M, [/math]

a ponieważ

[math] \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} \frac{x^n}{n!} =0, \;\;\;\mbox{wiec tez}\;\; \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} R_n=0. \;[/math]

CBDO