Matematyka 1NI/Funkcja wykładnicza i logarytm
Funkcja wykładnicza i logarytm
Zadanie 1
Rozwiąż równanie [math] 49^{\frac{x}{x+2}}=7^{\frac{2}{x}}[/math].
Dla każdego [math] x\in {\mathbb R} \setminus \{-2,0\}[/math] zachodzi
[math]49^{\frac{x}{x+2}}=7^{\frac{2}{x}} \iff 7^{\frac{2x}{x+2}}=7^{\frac{2}{x}} \iff \frac{x}{x+2}=\frac{2}{x} \iff x^2=x+2 \iff x=-1\, \vee \, x= 2[/math]
Zadanie 2
Rozwiąż równanie [math] 3^x+3^{x+2}=7 [/math].
Zapisując powyższe równanie w postaci [math] 3^x+9 \cdot 3^{x}=7 [/math] i przekształcając do [math] 3^x=\frac{7}{10} [/math] otrzymujemy ostatecznie [math] x=\log _3 \frac{7}{10} [/math].
Zadanie 3
Rozwiąż równanie [math] 3^{3x}-3^{2x}-3^{x+2}+9=0 [/math].
Podstaw [math] t=3^{x} [/math]
Po podstawieniu [math] t=3^{x} [/math] otrzymujemy
[math] t^3-t^2-9 t+9=0 [/math],
którego rozwiązaniami są [math] t=1 \, \vee \, t=3 \, \vee \, t=-3[/math] .
Ponieważ funkcja wykładnicza nie przyjmuje wartości ujemnych ostatni pierwiastek odrzucamy. Pozostałe dwa dają [math] 3^{x}=1 \, \vee \, 3^{x}=3 [/math] skąd ostatecznie [math] x=0 \, \vee \, x=1 [/math].
Raz jeszcze zwrócić uwagę na techniki rozkładu wielomianu na czynniki stopnia co najwyżej 2.
Zadanie 4
Rozwiąż nierówność [math]\left(\frac{1}{2}\right)^x\gt 1024 [/math].
Mamy [math]\left(\frac{1}{2}\right)^x\gt \left(\frac{1}{2}\right)^{-10} [/math] a ponieważ funkcja [math]f(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^x [/math] jest funkcją malejącą to
[math] x\lt -10 [/math].
Zadanie 5
Rozwiąż nierówność [math]2^{3x+1}-4^{x-3}\gt 0 [/math].
[math]4=2^2 [/math]
Nierówność przepisujemy w postaci [math]2^{3x+1}\gt 2^{2x-6} [/math] co jest równoważne [math]{3x+1}\gt {2x-6} [/math] tzn. [math]{x}\gt -7 [/math].
Zadanie 6
Rozwiąż nierówność [math] \frac{1}{2^x+2}\lt \frac{2^{x-3}}{2^x-1} [/math].
Rozwiązań zadania będziemy szukali w zbiorze [math] x\in D= {\mathbb R} \setminus \{0\}[/math]. Mnożąc obie strony nierówności przez wyrażenie [math](2^x+2)(2^x-1)^2[/math], które jest dodatnie dla dowolnego [math]x \in D[/math] otrzymujemy
[math] (2^x-1)^2\lt \frac{1}{8}2^{x} (2^x+2)(2^x-1) \iff 0\lt (2^x-1)(2^x-2)(2^x-4)[/math].
W zmiennej [math]y=2^x[/math] otrzymujemy nierówność wielomianową trzeciego stopnia której rozwiązaniem jest
[math]2^x \in ]1,2[ \cup ]4,\infty[[/math] stąd ostatecznie
[math]x\in ]0,1[ \cup ]2,\infty[[/math]
Zadanie 7
Rozwiąż nierówność [math]\log_{\frac{1}{4}}x +\log_{2}x\gt 1 [/math].
Wyrażenia występujące w zadaniu mają sens dla [math] x\in {\mathbb R}_+ [/math] i w zbiorze [math] {\mathbb R}_+ [/math] będziemy szukali rozwiązań. Stosując wzór na zamianę podstawy logarytmu i przepisując jedynkę po prawej stronie nierówności jako [math]log_2 2[/math] otrzymujemy
[math] \log_{\frac{1}{4}} 2 \log_{2} x+\log_{2} x\gt \log_2 2[/math],
skąd (ponieważ [math] \log_{\frac{1}{4}} 2=-\frac{1}{2}[/math])
[math] \log_{2} x^{-\frac{1}{2}}+\log_{2} x\gt \log_2 2[/math]
tzn.
[math] \log_{2}\sqrt{x}\gt \log_2 2[/math]
i ostatecznie [math] x\gt 4[/math].
Zadanie 8
Rozwiąż nierówność [math] \log_4(\log_{\frac{1}{2}}x)\leq 1[/math].
Sprawdźmy najpierw dla jakich wartości [math]x[/math] wyrażenie po lewej stronie nierówności ma sens. Musi zachodzić [math] x\gt 0[/math] i [math] \log_{\frac{1}{2}}x\gt 0[/math] to znaczy
[math] 0\lt x\lt 1 [/math] . Dla takich wartości [math]x[/math] mamy
[math] \log_4(\log_{\frac{1}{2}}x) \leq 1 \iff \log_{\frac{1}{2}}x \leq 4 \iff x \geq \frac{1}{16}[/math].
Rozwiązaniem jest zbiór [math] [\frac{1}{16},1[[/math].
Zadanie 9
Rozwiąż równanie [math] x^{\log_2x}=4x[/math].
Zlogarytmuj obustronnie równanie.
Rozwiązań szukamy w zbiorze [math] {\mathbb R}_+ [/math] wtedy
[math]x^{\log_2 x}=4x \iff\log_2 x^{\log_2 x}=\log_2 (4x) \iff (\log_2 x)^2=\log_2 x+2 [/math]
Ostatnia równość jest równaniem kwadratowym na wyrażenie [math]\log_2 x[/math] z rozwiązaniami
[math]\log_2 x=-1 \, \vee \, \log_2 x=2[/math].
Zbiorem rozwiązań jest [math]\{\frac{1}{2},4\} [/math].
Zadanie 10
Rozwiąż równanie [math] \log_{4x+8} (x+\sqrt{x+2})=\frac{1}{2}[/math].
Jeśli [math]x [/math] jest rozwiązaniem podanego równania to zachodzi
[math] \log_{4x+8} (x+\sqrt{x+2})=\frac{1}{2} \implies x+\sqrt{x+2}=2 \sqrt{x+2} \implies x^2=x+2 \implies x=-1 \, \vee \, x=2 [/math]
Pozostaje nam sprawdzić, która z liczb jest istotnie pierwiastkiem równania. Wstawiając do wyjściowego równanie przekonujemy się, że pierwiastkiem jest jedynie 2.
Zadanie 11
Udowodnij, że
[math] \forall x \in {\mathbb R}_+ \setminus \{ 1 \} \,\,\,\, \frac{1}{\log_2 x} + \frac{1}{\log_3 x} + \frac{1}{\log_4 x} +\frac{1}{\log_5 x}= \frac{1}{\log_{5!} x} [/math].
Korzystamy z faktu [math] \forall x \in {\mathbb R}_+[/math] zachodzi [math] \frac{1}{\log_k x}=\log_x, k\,\,\,\,k=2,3,4,5,5![/math]. Mamy
[math] \log_x 2+\log_x 3+\log_x 4+\log_x 5=\log_x 5![/math]
co jest prawdziwe dzięki wzorowi na logarytm iloczynu.
