Matematyka 1NI/Calka Riemanna
Zadanie 1
Znajdź sumę
[math] \displaystyle \sum_{k=1}^n k^2 [/math].
Skorzystaj z faktu iż [math]\sum_{k=1}^n k^3=\sum_{k=0}^{n-1} (k+1)^3[/math] stosując wzór skróconego mnożenia po prawej stronie.
Zgodnie ze wskazówką mamy
[math]\sum_{k=1}^n k^3=\sum_{k=0}^{n-1} (k^3 + 3 k^2+3 k+1)[/math].
Czyli
[math] n^3=3 \sum_{k=0}^{n-1} k^2+3 \sum_{k=0}^{n-1} k+n [/math],
skąd
[math] 3\sum_{k=0}^{n-1} k^2 = n^3-n -\frac{n(n-1)}{2} [/math],
i ostatecznie
[math] \sum_{k=0}^{n-1} k^2 = \frac{n(n-1)(2n-1)}{6} [/math], czyli [math] \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} [/math].
Zadanie to jest przygotowaniem do zadania 2. Ćwiczymy posługiwanie się symbolem sumy.
Zadanie 2
Oblicz z definicji [math] \int_{0}^{1} x^2 \, dx [/math].
Ponieważ funkcja podcałkowa jest ciągła więc całka Riemanna istnieje, wystarczy więc policzyć granicę sum górnych dla dowolnego ciągu normalnych podziałów przedziału [math][0,1][/math]. Sugerujemy ciąg podziałów na n równych odcinków.
Biorąc ciąg podziałów jak we wskazówce suma górna dla n-tego podziału wynosi
[math] \displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} \left(\frac{k}{n}\right)^2=\frac{1}{n^3}\sum_{k=1}^{n} k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3} [/math]
gdzie wykorzystaliśmy wynik zadania 1. Całka Riemanna jest granicą powyższego ciągu podziałów i wynosi
[math] \frac{1}{3} [/math]
Zadanie 3
Oblicz [math] \int_{-e}^{-1} \frac{1}{x} \, dx [/math].
Do takich zadań nie ma wskazówek.
[math] \int_{-e}^{-1} \frac{1}{x} \, dx = \left. \log |x| \right|_{-e}^{-1}=\log 1 - \log e=0-1=-1 [/math].
Zadanie 4
Pokaż, że [math] I_n:=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2n+1} x \, dx=\sum_{k=0}^{n} (-1)^k {n \choose k} \frac{1}{2k+1}=\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}. [/math]
Pierwszą równość otrzymamy całkując przez podstawienie [math]t=\cos x[/math], drugą całkując przez części (umiejętnie skorzystać z jedynki trygonometrycznej w obu przypadkach).
Postępując zgodnie ze wskazówką mamy
[math] \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2n+1} x \, dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1-\cos^2 x)^n \sin x \, dx =\left| \begin{matrix} t=\cos x \\ dt = -\sin x dx \end{matrix}\right|= -\int_{1}^{0} (1-t^2)^n \, dt =-\int_{1}^{0} \left[ \sum_{k=0}^n (-1)^{k} {n\choose k} t^{2k}\right] \, dt = [/math] [math] \sum_{k=0}^n \int (-1)^{k+1} {n\choose k} t^{2k} \, dt= \left. \sum_{k=0}^n (-1)^{k+1} {n\choose k} \frac{t^{2k+1}}{2k+1} \right|^{0}_{1}= \sum_{k=0}^n (-1)^{k} {n\choose k} \frac{1}{2k+1} [/math].
Z drugiej strony całkując przez części mamy dla dowolne go [math]n[/math] naturalnego mamy
[math] \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2n+1} x \, dx =\left| \begin{matrix} u(x)=\sin^{2n} x & u'(x)=2n\sin^{2n-1} x \cos x \\ v'(x)=\sin x & v(x)=-\cos x \end{matrix}\right|= \left.-\sin^{2n} x \cos x \right|_{0}^{\frac{\pi}{2}}+2n\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2n-1} x\cos^2 x \, dx= 2n\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2n-1} x\cos^2 x \, dx [/math].
Używając jedynki trygonometrycznej mamy
[math] \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2n+1} x \, dx=2n\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2n-1} x \, dx-2n\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2n+1} x [/math]
czyli
[math] I_{n}=2n I_{n-1}-2nI_{n} [/math]
to znaczy
przy czym [math]I_0=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx=1[/math].
Iterując [math]n[/math] razy równanie 1 otrzymujemy ostatecznie
[math] I_n=\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!} \cdot I_0=\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!} [/math].
Zadanie 5
Znaleźć pole figury ograniczonej osią x i wykresem funkcji [math] {\mathbb R} \ni x \mapsto f(x)=(x^2-1)(x^2-4) [/math].
Znajdź najpierw punkty miejsca zerowe funkcji, naszkicuj jej wykres.
Dla [math]x \in ]-2,-1[ \cup ]1,2[ [/math] funkcja przyjmuje wartości ujemne dla [math]x \in ]-1,1[ [/math] wartości dodatnie wobec tego szukane pole [math]P[/math] to
[math]P=\left| \int_{-2}^{-1} f(x)\, dx\right| + \left| \int_{-1}^{1} f(x)\, dx\right|+\left| \int_{1}^{2} f(x)\, dx\right| =-\int_{-2}^{-1} f(x)\, dx+\int_{-1}^{1} f(x)\, dx-\int_{1}^{2} f(x)\, dx=2\int_{0}^{1} f(x)\, dx-2 \int_{1}^{2} f(x)\, dx [/math]
gdzie wykorzystaliśmy parzystość rozważanej funkcji. Ponieważ
[math]\int f(x)\, dx=\frac{1}{5} x^5-\frac{5}{3} x^3+4x+c[/math]
to
[math]P=2\left[\left.\left( \frac{1}{5} x^5-\frac{5}{3} x^3+4x\right) \right|_{0}^{1}-\left. \left( \frac{1}{5} x^5-\frac{5}{3} x^3+4x \right)\right|_{1}^{2}\right] =4 \left(\frac{1}{5}-\frac{5}{3}+4\right)-2 \left(\frac{1}{5}2^5-\frac{5}{3}2^3+4\cdot 2\right)=8 [/math].
Zadanie 6
Znaleźć pole elipsy o półosiach a i b.
Rozważ elipsę zadaną przez [math]\left\{ (x,y)\in {\mathbb R^2} \, | \, \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\right\} [/math].
Szukane pole to
[math]P= 2b \int_{-a}^{a} \sqrt{1- \frac{x^2}{a^2}}\, dx [/math] .
Stosując podstawienie [math] \left| \begin{matrix} [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] \ni t \mapsto x=a \sin t \\ dx = \cos t dt \end{matrix}\right| [/math] będące bijekcją odwzorowującą odcinek [math] [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}][/math] na odcinek [math] [-a,a][/math]
otrzymujemy
[math]P= 2ab \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} |\cos t| \cos t\, dt= 2ab \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 t\, dt= 2ab \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2}+ \frac{1}{2}\cos (2t)\, dt =\left. ab t\right|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}=\pi ab [/math] .
Zadanie 7
Znaleźć pole pod jednym łukiem cykloidy tzn. krzywej zadanej parametrycznie przez
[math] x=R(t-\sin t), \,\,\, \,\,\, y=R(1-\cos t) , \,\,\,\,\,\, t \in [0, 2\pi]. [/math]
[math] P= \int_0^{2 \pi R} y \, dx=\left| \begin{matrix} y=R(1-\cos t)\\ x=R(t-\sin t)\\ dx = R (1-\cos t) dt \end{matrix}\right|=R^2\int_0^{2 \pi } (1-\cos t)^2 \, dt= R^2\int_0^{2 \pi } 1+\cos^2 t -2 \cos t \, dt=R^2\int_0^{2 \pi } 1+\cos^2 t\, dt=R^2\int_0^{2 \pi } \frac{3}{2}+\frac{1}{2}\cos(2 t)\, dt= [/math] [math] =\left. \frac{3}{2} t \right|_{0}^{2\pi} =3 \pi R^2 [/math] .
Zadanie 8
Oblicz pole figury ograniczonej krzywymi
[math] y=e^{7x}=: \, f(x) [/math] ,
[math] y=-x^4-1=: \, g(x) [/math] ,
[math] x=0 [/math] ,
[math] x=1 [/math] .
Ponieważ dla każdego [math]x[/math] zachodzi [math]f(x)\gt g(x)[/math] mamy
[math]P=\int_0^1 f(x)-g(x) \, dx=\int_0^1 e^{7x} +x^4+1 \, dx=\left. \frac{1}{7}e^{7x}+ \frac{1}{5} x^5 +x \right|_0^1= \frac{1}{7}e^{7}+ \frac{1}{5} +1-\frac{1}{7}[/math].
Zadanie 9
Znaleźć objętość kuli.
Rozważ kulę jako bryłe obrotową ograniczoną przez sferę powstającą z obrotu wykresu funkcji [math][-R,R] \ni x \mapsto y=\sqrt{R^2-x^2}[/math] wokół osi x.
[math]V= \pi \int_{-R}^R y^2 \, dx =\pi \int_{-R}^R R^2-x^2\, dx=\left. \pi(R^2 x-\frac{1}{3} x^3) \right|_{-R}^R \pi(R^3-\frac{1}{3} R^3+R^3-\frac{1}{3})=\frac{4}{3}\pi R^3 [/math]
Zadanie 10
Oblicz pochodną funkcji [math]h(x)=\int^{x}_{x^2} \frac{dt}{1+t^{100}}[/math].
Funkcja podcałkowa [math] f(t)=\frac{1}{1+t^{100}}[/math] jest funkcją ciągłą. Posiada więc funkcję pierwotną oznaczmy ją [math]F(t)[/math]. Skorzystaj z twierdzenia podstawowego rachunku różniczkowego i całkowego.
Korzystając ze wskazówki
[math]h'(x)=(F(x^2)-F(x))'=F'(x^2) 2 x-F'(x)=f(x^2) 2x-f(x)=\frac{2x}{1+x^{200}}-\frac{1}{1+x^{100}}[/math].
Zadanie 11
Całki z funkcji nieograniczonych
Dla jakich wartości parametru [math] p [/math] zbieżna jest całka [math] \int_0^7 x^p \; dx [/math].
Obliczyć [math] \int_0^1 \frac{1}{\sqrt[4]{x}} \; dx [/math]
Całka jest zbieżna dla [math] p\gt -1 [/math]. [math] \int_0^1 \frac{1}{\sqrt[4]{x}} \; dx=\left. \frac{4}{3} x^\frac{3}{4} \right|_0^1= \frac{4}{3}[/math]
Zadanie 12
Całki na zbiorach nieograniczonych
Dla jakich wartości parametru $p$ zbieżna jest całka [math] \int_7^{\infty} x^p \; dx [/math].
Obliczyć [math] \int_1^{\infty} \frac{1}{x^\frac{3}{2}} \; dx [/math].
Całka jest zbieżna dla [math] p\lt -1 [/math]. [math] \int_1^{\infty} \frac{1}{x^\frac{3}{2}} \; dx=\left. -2 \frac{1}{\sqrt{x}} \right|_1^{\infty}= 2[/math]
Zadanie 13
Oblicz [math]\int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}[/math].
[math]\int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=\left. \arcsin x \right|_{-1}^1=\pi[/math]
Zadanie 14
Oblicz [math]\int_0^{\infty} e^{-x} \sin x \; dx[/math].
Zajrzyj do działu całka nieoznaczona gdzie w podrozdziale całkowanie przez części pokazaliśmy, że [math]\int e^{ax} \sin bx \; dx=\frac{a}{a^2+b^2}e^{ax} \sin bx- \frac{b}{a^2+b^2} e^{ax} \cos bx +c[/math].
[math]\int_0^{\infty} e^{-x} \sin x \; dx=\left. -\frac{1}{2}e^{-x} \sin x- \frac{1}{2} e^{-x} \cos x\right|_0^{\infty}=\frac{1}{2}[/math]
Zadanie 15
Oblicz [math] \int_1^\infty \frac{1}{x(x+1)(x+2)(x+3)} \, dx [/math].
Rozkładaliśmy już funkcję podcałkową na ułamki proste.
[math] \int_1^{\infty} \frac{1}{x(x+1)(x+2)(x+3)} \, dx = \int_1^\infty \frac{1}{6x}-\frac{1}{2(x+1)}+\frac{1}{2(x+2)}- \frac{1}{6(x+3)}\, dx = \left. \log \left(\sqrt[6]{\frac{x}{x+3}}\sqrt[2]{\frac{x+2}{x+1}}\right)\right|_1^{\infty}= \log \left(\sqrt[6]{4}\sqrt[2]{\frac{2}{3}}\right) =\frac{1}{6} \log \frac{32}{27} [/math]
Zadanie 16
oblicz [math]\int_{-1}^{1} \frac{dx}{x^2-1}[/math].
[math] \int \frac{1}{(x-1)(x+1)} \, dx=\frac{1}{2} \log\frac{x-1}{x+1}+c[/math]
Całka jest rozbieżna.
Zadanie 17
Obliczyć [math]\int_{-1}^{1}\frac{1}{x^2(e^{\frac{1}{x}}+ e^{-\frac{1}{x}})} \; dx[/math].
Podstaw [math]u=e^{\frac{1}{x}}[/math]. Jeśli otrzymany wynik jest ujemny (dla całki z funkcji o wartościach nieujemnych, w zerze mamy osobliwość usuwalną) spróbuj raz jeszcze.
Zaproponowane podstawienie jest nieciągłe w zerze! Jest natomiast ciągłe na [math][-1,0[\cup]0,1][/math].
Wobec tego rozbijmy całkę na sumę dwóch całek [math]\int_{-1}^{0}\frac{1}{x^2(e^{\frac{1}{x}}+ e^{-\frac{1}{x}})} \; dx+ \int_{0}^{1}\frac{1}{x^2(e^{\frac{1}{x}}+ e^{-\frac{1}{x}})} \; dx= \left| \begin{matrix} u= e^{\frac{1}{x}}\\ du =-\frac{1}{x^2} e^{\frac{1}{x}}dx \end{matrix}\right|= -\int_{\frac{1}{e}}^{0}\frac{1}{t^2+1} \; dt-\int_{\infty}^{e}\frac{1}{t^2+1} \; dt= \left.-\arctan t\right|_{\frac{1}{e}}^{0}\left.- \arctan t\right|_{\infty}^{e}= [/math] [math] =\arctan \frac{1}{e}-\arctan e+\frac{\pi}{2} [/math]
