Matematyka 1 OO/Pochodne funkcji

Zadanie

[math] \left(\frac{1}{x}\right)^{\prime }=(x^{-1})^{\prime }=-x^{-1-1}=-x^{-2}=-\frac{1}{x^2} [/math]

Zadanie

[math] \left(\frac{x^{4/3}}{1+e^x}\right)^{\prime } = \frac{\frac{4}{3}x^{1/3}(1+e^x)-x^{4/3}e^x}{(1+e^x)^2} = \frac{4}{3}\,\frac{x^{1/3}}{1+e^x}-\frac{x^{4/3}e^x}{(1+e^x)^2} [/math]

Zadanie

[math] (\sin ^2{x}+\cos ^2{x})^{\prime } =2\sin {x}\cos {x}+2\cos {x}(-\sin {x})=0 [/math]

co można obliczyć prościej korzystając z jedynki trygonometrycznej [math](\sin ^2{x}+\cos ^2{x})^{\prime }=1^{\prime }=0[/math]

Zadanie

[math]\ln {x}[/math] jako funkcja odwrotna do [math]e^x[/math]

[math] \left(\ln {x}\right)^{\prime } = \left.\frac{1}{(e^y)^{\prime }}\right|_{y=\ln {x}} =\left.\frac{1}{e^y}\right|_{y=\ln {x}}=\frac{1}{e^{\ln {x}}}=\frac{1}{x} [/math]

Zadanie

Podkreślić różnicę między [math]\sin (\sin (x))[/math] a [math](\sin (x))^2[/math]. Pochodne tych funkcji też (oczywiście) są różne: [math][\sin (\sin (x))]^{\prime }=\cos (\sin (x))\cdot \cos (x)[/math], [math][(\sin (x))^2]^{\prime }=2\sin (x)\cdot \cos (x)[/math]

Zadanie

[math]\begin{matrix} &&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \left[\frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2}+\frac{1}{2}\arcsin {x}\right]^{\prime } =\frac{1}{2}\sqrt{1-x^2}+\frac{1}{2}x\frac{1}{2}\frac{-2x}{\sqrt{1-x^2}} +\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\&&\!\!\!\! =\frac{1}{2}\left[ \sqrt{1-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right] =\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\left[\sqrt{1-x^2}^2-x^2+1\right] \\&&\!\!\!\! =\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\left[2(1-x^2)\right] =\frac{1-x^2}{\sqrt{1-x^2}} =\sqrt{1-x^2} \end{matrix}[/math]

Zadanie

[math] \left(e^{-1/x^2}\right)^{\prime } =e^{-1/x^2}\left({-1/x^2}\right)^{\prime } =e^{-1/x^2}\left(-\frac{-2}{x^3}\right) =\frac{2e^{-1/x^2}}{x^3} [/math]

Zadanie

[math] \left[\sin \left(\frac{1}{x}\right)\right]^{\prime } =\cos \left(\frac{1}{x}\right)\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime } =-\frac{\cos \left(\frac{1}{x}\right)}{x^2} [/math]

Dwie ostatnie funkcje nie są ani określona ani różniczkowalne w [math]x=0[/math].

Zadanie

Rozpatrzmy następującą funkcję:

[math] F(x)=\left\lbrace \begin{array}{ll} |x|^{3/2}\sin \left(\frac{1}{x}\right) & dla x\ne 0 \\[8pt] 0 & dla x=0 \end{array} \right. [/math]

Wiemy już, że [math]\sin (1/x)[/math] nie jest różniczkowalne w [math]x=0[/math]. Sprawdzamy teraz różniczkowalność [math]|x|^{3/2}[/math]

[math] \left(|x|^{3/2}\right)^{\prime }=\frac{3}{2}|x|^{1/2}\cdot (|x|)^{\prime } [/math]

gdzie

[math] |x|^{\prime }= \left\lbrace \begin{array}{ll} \mathrm{dla}\ x\gt 0 & (x)^{\prime }=+1 \\[8pt] \mathrm{dla}\ x=0 &\ \mathrm{pochodna\ nie\ istnieje} \\[8pt] \mathrm{dla}\ x\lt 0 & (-x)^{\prime }=-1 \end{array} \right. [/math]

co można zapisać jako [math]|x|^{\prime }=\frac{x}{|x|}[/math] (to wyrażenie, jak i sama pochodna [math]|x|[/math], jest określone tylko dla [math]x\ne 0[/math]).

Korzystając z powyższych wzorów, dla [math]x\ne 0[/math] dostajemy:

[math]\begin{matrix} &&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F^{\prime }(x)=\left[|x|^{3/2}\sin \left(\frac{1}{x}\right)\right]^{\prime } =\left(|x|^{3/2}\right)^{\prime }\sin \left(\frac{1}{x}\right) +|x|^{3/2}\left[\sin \left(\frac{1}{x}\right)\right]^{\prime } \\[4pt]&&\!\!\!\! =\frac{3}{2}|x|^{1/2}\frac{x}{|x|}\sin \left(\frac{1}{x}\right) +|x|^{3/2}\cos \left(\frac{1}{x}\right)\left(-\frac{1}{x^2}\right) =\frac{3}{2}\frac{x}{\sqrt{|x|}}\sin \left(\frac{1}{x}\right) -\frac{|x|^{3/2}}{x^2}\cos \left(\frac{1}{x}\right) \\[4pt]&&\!\!\!\! =\frac{3}{2}\frac{x}{\sqrt{|x|}}\sin \left(\frac{1}{x}\right) -\frac{1}{\sqrt{|x|}}\cos \left(\frac{1}{x}\right) \end{matrix}[/math]

Pochodną funkcji [math]F(x)[/math] w [math]x=0[/math] trzeba liczyć z definicji:

[math]\begin{matrix} F^{\prime }(0) &&\!\!\!\!\!\!\!\! =\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}\frac{F(0+\varepsilon )-F(0)}{\varepsilon } =\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}\frac{F(\varepsilon )}{\varepsilon } =\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} \frac{|\varepsilon |^{3/2}\sin \left(\frac{1}{\varepsilon }\right)}{\varepsilon } \\ &&\!\!\!\!\!\!\!\! =\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}\left[\sqrt{|\varepsilon |}\, \frac{|\varepsilon |}{\varepsilon }\sin \left(\frac{1}{\varepsilon }\right)\right] =0 \end{matrix}[/math]

Ostatnia równość wynika z tego, że wyrażenie [math]\frac{|\varepsilon |}{\varepsilon }\sin \left(\frac{1}{\varepsilon }\right)[/math] dla każdego [math]\varepsilon [/math] ma skończona wartość z przedziału [math][-1,+1][/math], a [math]\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}\sqrt{|\varepsilon |}=0[/math]. Funkcja [math]F(x)[/math] jest więc różniczkowalna w [math]x=0[/math] i [math]F^{\prime }(0)=0[/math].

Zbadajmy, czy pochodna [math]F^{\prime }(x)[/math] jest ciągła w [math]x=0[/math]. W tym celu liczymy granicę:

[math] \lim _{x\rightarrow 0^+}F^{\prime }(x) =\lim _{x\rightarrow 0^+}\left[\frac{3}{2}\frac{x}{\sqrt{|x|}}\sin \left(\frac{1}{x}\right) -\frac{1}{\sqrt{|x|}}\cos \left(\frac{1}{x}\right)\right] =0-\lim _{x\rightarrow 0^+}\frac{\cos \left(\frac{1}{x}\right)}{\sqrt{|x|}} [/math]

Ta ostatnia granica nie istnieje. Przy zbliżaniu się do [math]x=0^+[/math] wyrażenie [math]\cos (1/x)/\sqrt{|x|}[/math] oscyluje wokół zera z rosnącymi amplitudą i częstością. Podobnie nie istnieje granica przy [math]x=0^-[/math].

Funkcja [math]F(x)[/math] jest ciągła i różniczkowalna dla każdego [math]x[/math], w tym także dla [math]x=0[/math], natomiast jej pochodna [math]F^{\prime }(x)[/math] nie jest ciągła w [math]x=0[/math].

Zadanie

Trzeba obliczyć granice kilku funkcji wykładniczych, w których i podstawa i wykładnik zależą od zmiennej niezależnej:

[math]\lim _{x\rightarrow 0}x^x[/math]

(wyrażenie typu “[math]0^0[/math]” nie jest jednoznacznie określone: [math]x^0=1[/math] ale [math]0^x=0[/math] dla [math]x\gt 0[/math] i jest rozbieżne dla [math]x\lt 0[/math])

[math] \lim _{x\rightarrow 0}x^x =\lim _{x\rightarrow 0}e^{\ln (x^x)} =\lim _{x\rightarrow 0}e^{x\ln (x)} =e^{\lim _{x\rightarrow 0}(x\ln (x))}=e^0=1 [/math]

[math]\lim _{x\rightarrow 1}x^{1/(x-1)}[/math]

(wyrażenie typu “[math]1^\infty [/math]”)

[math]\begin{matrix} &&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \lim _{x\rightarrow 1}x^{1/(x-1)} =\lim _{x\rightarrow 1}e^{\ln (x^{1/(x-1)})} \lim _{x\rightarrow 1}e^\frac{\ln (x)}{(x-1)} =e^{\lim _{x\rightarrow 1}\frac{\ln (x)}{(x-1)}} =e^{\lim _{x\rightarrow 1}\frac{(\ln (x))^{\prime }}{(x-1)^{\prime }}} \\&&\!\!\!\! =e^{\lim _{x\rightarrow 1}\frac{1/x}{1}} =e^{\lim _{x\rightarrow 1}\frac{1}{x}}=e^1=e \end{matrix}[/math]

[math]\lim _{x\rightarrow x_0}x^{1/x}[/math] dla kilku wartości [math]x_0[/math]

[math] \lim _{x\rightarrow 0^+}x^{1/x} =\lim _{x\rightarrow 0^+}e^{\ln (x^{1/x})} =\lim _{x\rightarrow 0^+}e^{\ln (x)/x} =e^{\lim _{x\rightarrow 0^+}(\ln (x)/x)}=0 [/math]

[math] \lim _{x\rightarrow 1}x^{1/x}=1^1=1 \qquad \qquad \qquad \lim _{x\rightarrow 2}x^{1/x}=2^\frac{1}{2}=\sqrt{(}2) [/math]

[math] \lim _{x\rightarrow \infty }x^{1/x} =\lim _{x\rightarrow \infty }e^{\ln (x)/x} =\lim _{x\rightarrow \infty }e^{(\ln (x))^{\prime }/(x)^{\prime }} =\lim _{x\rightarrow \infty }e^{(1/x)} =e^{\lim _{x\rightarrow \infty }(1/x)}=e^0=1 [/math]

Zadanie

[math]\begin{matrix} &&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \left(x^{\arcsin {x}}\right)^{\prime } =\left(e^{\ln (x^{\arcsin {x}})}\right)^{\prime } =\left(e^{{\arcsin {x}}\ln (x)}\right)^{\prime } =e^{{\arcsin {x}}\ln {x}}\left({{\arcsin {x}}\ln {x}}\right)^{\prime } \\&&\!\!\!\! =e^{{\arcsin {x}}\ln {x}}\left[(\arcsin {x})^{\prime }\ln (x)+\arcsin {x}(\ln {x})^{\prime }\right] =e^{{\arcsin {x}}\ln {x}} \left[\frac{\ln (x)}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{\arcsin {x}}{x}\right] \\&&\!\!\!\! =x^{\arcsin {x}} \left[\frac{\ln (x)}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{\arcsin {x}}{x}\right] \end{matrix}[/math]