Fizyka I OO/Wykład XI

Szczególny przypadek oddziaływania dwóch ładunków punktowych i pola centralnego.

[math] E_p=\frac{kqQ}{r}[/math] — znak zależy od iloczynu Qq. Gdy Qq>0 energia również dodatnia, pole sił odpychania. Gdy Qq<0 energia ujemna, pole sił przyciągania.

Natężenie pola wytworzonego przez pojedynczy ładunek punktowy wynosi :

[math] \vec{E} = \frac{kQ}{r^2}\frac{\vec{r}}{r}[/math], a potencjał [math] V=\frac{kQ}{r}[/math].

Jeśli pole wytwarzane jest przez kilka ładunków, to obowiązuje zasada superpozycji, która mówi o tym, że natężenie pola w danym punkcie przestrzeni jest sumą wektorową natężeń pól wytworzonych przez każdy z ładunków. natężenie pola wytworzonego przez każdy z ładunków nie zależy od pozostałych ładunków.

[math]\vec{E} = \sum_{i=1}^k\vec{E}_i[/math]

Na przykład, jeśli pole wytworzone jest przez trzy ładunki znajdujące się w wierzchołkach kwadratu, to aby obliczyć natężenie pola w dowolnym punkcie musimy znać wartości ładunków oraz współrzędne każdego z wierzchołków w określonym układzie odniesienia i współrzędne danego punktu. Oblicza się natężenie pola w danym punkcie od każdego trzech ładunków a następnie sumuje, pamiętając o tym, że każda ze współrzędnych tego wektora jest sumą odpowiednich współrzędnych trzech wektorów.

Potencjał nie jest wielkością wektorową. Jeśli pole wytworzone jest przez kilka ładunków, to potencjał w danym punkcie oblicza się sumując potencjały wytworzone przez każdy z ładunków.

[math] V = \sum_{i=1}^k V_i[/math]

Strumień pola wektorowej wielkości fizycznej

Pole jednorodne wielkości wektorowej [math]\vec{A}[/math] Strumień przez powierzchnię [math]\Delta \vec{S}[/math] dany jest wzorem:

[math]\Phi_A = \vec{A}\cdot \Delta\vec{S}[/math]

[math]\Delta\vec{S}[/math] — pseudowektor. Wektor o wielkości równej polu powierzchni [math]\Delta\vec{S}[/math] i o kierunku prostopadłym do powierzchni. Zwrot wektora umowny, w przypadku zamkniętej powierzchni — na zewnątrz.

W ogólnym przypadku

[math]\Phi = \int_S \vec{A}\cdot d\vec{S}[/math]

Przykład 1

Przez rurę o przekroju S przepływa ciecz z prędkością v. Prędkość cieczy jest w każdym punkcie taka sama. Ile cieczy przepływa w czasie [math]\Delta t[/math] przez powierzchnię zamkniętą jaką tworzy powierzchnia rury?

[math]M=vS \Delta t[/math]

Jeśli powierzchnia nachylona jest pod kątem [math]\alpha[/math], to

[math]M=vS \Delta t\cos\alpha[/math]

[math]\Phi_v =vS[/math], zatem strumień ma sens fizyczny ilości cieczy przepływającej w jednostce czasu przez przekrój poprzeczny o powierzchni S. Jeśli wyobrazimy sobie powierzchnię zamkniętą, w której wnętrzu znajduje się źródło cieczy o wydajności [math]\rho[/math], to ilość cieczy przepływającej przez tę powierzchnię w jednostce czasu jest równa z jednej strony wydajności źródła, a z drugiej strumieniowi wektora prędkości przez powierzchnię. A więc:

[math]\rho = \Phi_v[/math]

W rozważanym przykładzie w środku rury nie ma źródła. Przez jeden jej koniec ciecz wpływa, przez drugi wypływa. Strumień wektora prędkości przez powierzchnię zamkniętą jest równy zeru.

Prawo Gaussa

Prawo Gaussa mówi o tym, że strumień natężenia pola elektrycznego obliczony przez dowolna powierzchnię zamkniętą jest równy sumie ładunków zawartych w tej powierzchni podzielonej przez stałą [math]\varepsilon_0[/math].

[math]\oint\vec{E}d\vec{S} = \sum_{i=1}^n \frac{q_i}{\varepsilon_0}[/math]

Prawo Gaussa jest jednym z czterech równań Maxwella, równań stanowiących podstawę elektrodynamiki klasycznej. Z prawa Gaussa wyprowadza się prawo Coulomba.

Przykład 2

Oblicz wartość strumienia jednorodnego pola elektrycznego o natężeniu [math]\vec{E}[/math] przez powierzchnię walca o polu podstawy S i wysokości h. Linie pola są równoległe do osi walca.

Dzięki prawu Gaussa możemy dać odpowiedź bez wykonywania rachunków. W środku walca nie ma żadnych ładunków elektrycznych, więc strumień przez powierzchnię zamkniętą ( walca) jest równy zeru.

Dłuższa metoda polega na obliczeniu strumienia natężenia pola przez całkowitą powierzchnię walca z definicji strumienia. Strumień przez boczną powierzchnię walca jest równy zeru, ponieważ wektory natężenia pola ślizgają się po powierzchni. Strumienie natężenia pola przez powierzchnie dwóch podstaw są różne od zera i równe sobie co do wartości, ale mają przeciwne znaki, zatem ich suma jest równa zeru.