Elektrodynamika/Seria 0

Elektrodynamika dla Neuroinformatyki

Seria 0

Zadania z tej serii należy rozwiązywać w kartezjańskim układzie współrzędnych.

Zadanie 1

Wyznaczyć gradient ponizszych funkcji:

• [math] f(x,y,z) = x^2 + y^3 + z^4 [/math],
• [math] f(x,y,z) = x^2 \cdot y^3 \cdot z^4 [/math],
• [math] f(x,y,z) = \mathrm {e}^x \cdot \sin (y) \cdot \ln (z) [/math].

Następnie obliczyć gradient długości wektora położenia we współrzędnych kartezjańskich.

Zadanie 2

Naszkicować pola wektorowe opisane przez poniższe funkcje, a następnie obliczyć dywergencję takich pól:

• [math] \vec{V}_a = \vec{r} [/math], gdzie [math]\vec{r}[/math] to wektor położenia,
• [math] \vec{V}_b = \hat{e}_z [/math],
• [math] \vec{V}_c = z \hat{e}_z [/math],
• [math] \vec{V}_d = \frac{\hat{r}}{r^2} [/math].

Zadanie 3

Naszkicować pola wektorowe opisane przez poniższe funkcje, a następnie obliczyć ich rotację:

• [math] \vec{V}_a = x \hat{e}_y [/math],
• [math] \vec{V}_b = \vec{r} [/math], gdzie [math]\vec{r}[/math] to wektor położenia,
• [math] \vec{V}_c = -y \hat{e}_x + x \hat{e}_y [/math].

Zadanie 4

Udowodnić, że dywergencja rotacji jest zawsze równa zeru. Sprawdzić ten fakt bezpośrednim rachunkiem w przypadku funkcji [math] V_a [/math] z zadania 2.

Zadanie 5

Obliczyć laplasjan następujących funkcji:

• [math] T_a = x^2 + 2xy + 3z + 4 [/math],
• [math] T_b = \mathrm {e}^{-5x} \cdot \sin (4y) \cdot \cos (3z) [/math].

Zadanie 6

Obliczyć całkę krzywoliniową funkcji [math] \vec{V} = x^2 \hat{e}_x + 2xz \hat{e}_y + y^2 \hat{e}_z [/math] wzdłuż trzech krzywych biegnących od początku układu współrzędnych do punktu [math] [ 1 , 1 , 1] [/math]:

• a) [math] [0,0,0] \rightarrow [1,0,0] \rightarrow [1,1,0] \rightarrow [1,1,1] [/math],
• b) [math] [0,0,0] \rightarrow [0,0,1] \rightarrow [0,1,1] \rightarrow [1,1,1] [/math],
• c) linia prosta.

Jaka będzie wartość całki po krzywej zamkniętej, biegnącej od początku układu współrzędnych wzdłuż krzywej (a), a w przeciwnym kierunku wzdłuż krzywej (b)?

Zadanie 7

Obliczyć całkę powierzchniową funkcji [math] \vec{V} = 2xz \hat{e}_x + (x+2) \hat{e}_y + y(z^2-3) \hat{e}_z [/math] po powierzchni złożonej z dowolnie wybranych pięciu ścianek sześcianu o boku długości 2.

Zadanie 8

Obliczyć całkę objętościową z funkcji [math] T = z^2 [/math] po czworościanie o wierzchołkach w punktach: [math] A=(0,0,0)[/math], [math]B=(1,0,0)[/math], [math]C=(0,1,0)[/math], [math]D=(0,0,1) [/math].