Metody Biofizyki Molekularnej/Wiskozymetria

Podstawowe definicje

Równanie ciągłości

Prędkości cieczy w rurce są odwrotnie proporcjonalne do powierzchni przekrojów rurki.

[math]S_1v_1=S_2v_2[/math]

Równanie Bernoulliego

[math]p+\frac 1 2\rho v^2+\rho gh =\mathrm{const}[/math]

[math]pV+\frac{mv^2}2+mgh=\mathrm{const}[/math]

Suma energii kinetycznej, potencjalnej i ciśnienia jednostki masy (lub jednostki objętości) ustalonego przepływu cieczy doskonałej jest wielkością stałą.

Stąd dla cieczy płynących poziomo:

Ciecz płynąc w rurze o zmieniającym się przekroju ma mniejsze ciśnienie na odcinku gdzie prędkość jest większa (przekrój jest mniejszy).

Lepkość

Ciecz traktujemy jako układ równoległych warstw. Naprężenie ścinające:

[math]\tau = \frac FS[/math]

gdzie: F — siła tarcia wewnętrznego, S — powierzchnia stykających się warstw.

Szybkość ścinania:

[math]\gamma = \frac{\mathrm dv}{\mathrm dy}[/math]

gdzie: [math]\frac{\mathrm dv}{\mathrm dy}[/math] — gradient prędkości.

Lepkość dynamiczna:

[math]\eta = \frac \tau\gamma[/math].

Jednostką lepkości dynamicznej jest [math]\unit{}{[Pa\cdot s]}[/math].

W 1687 Isaac Newton podał definicję lepkości cieczy:

[math]\vec{F}=\eta S \frac{\mathrm dv}{\mathrm dy}[/math]

gdzie F — siła tarcia wewnętrznego, S — powierzchnia stykających się warstw, [math]\frac{\mathrm dv}{\mathrm dy}[/math] — gradient prędkości, [math]\eta[/math] — współczynnik lepkości, lepkość dynamiczna.

Płyn przepływający przez rurkę można traktować jako przesuwanie się warstw równoległych do ścianek rurki. Dla przepływu laminarnego prędkość poruszających się warstw będzie malała od środka rurki do jej ścianek.

Lepkość = tarcie wewnętrzne, stawiające opór płynięciu występujące między warstwami płynu o różnych prędkościach. Im większe siły wzajemnego przyciągania tym większa siła potrzebna, aby wprowadzić je w ruch postępowy.

Temperatura wpływa na lepkość płynów:

[math]\eta = \eta(T) =Be^{-\frac{\Delta E}{kT}}[/math]

Lepkość wody maleje o 2.4% na każdy stopień przyrostu temperatury.

W przypadku pomiarów lepkości należy stosować stałą temperaturę.

Definicje

Lepkość kinetyczna [math]\frac \eta\rho[/math] , gdzie ρ – gęstość płynu.

Lepkość względna [math]\eta_r=\frac\eta{\eta_0}[/math], gdzie [math]\eta_0[/math] — lepkość dynamiczna rozpuszczalnika.

Lepkość właściwa [math]\eta_\mathrm{wl}[/math] — wskazuje jaka część lepkości roztworu spowodowana jest obecnością w nim rozpuszczonej substancji:

[math]\eta_\mathrm{wl}=\frac{\eta-\eta_0}{\eta_0}=\frac{\eta}{\eta_0}-1=\eta_r-1[/math]

Przy badaniu lepkości roztworów polimerów należy uwzględnić oddziaływania międzycząsteczkowe, tym większe im większe jest stężenie makrocząsteczek w roztworze.

[math]\frac{\eta_\mathrm{wl}}c[/math] nazywamy lepkością zredukowaną, a w granicy, przy c dążącym do 0 otrzymujemy lepkość graniczną (istotną, charakterystyczną, wewnętrzną):

[math][\eta]=\lim_{c\rightarrow 0}\frac{\eta_\mathrm{wl}}c[/math]

Roztwory wodne makrocząsteczek biologicznych

• Woda — uniwersalny biologiczny rozpuszczalnik.
• Molekuły biologiczne — cząsteczki zawieszone lub rozpuszczone w roztworach wodnych.
• Charakter roztworu wpływa na właściwości cząsteczek.
• Roztwory są bardziej lepkie niż rozpuszczalnik → zmiana lepkości zależy od stężenia, kształtu i masy cząsteczek. Poruszająca się cząsteczka — tarcie.
• Jeśli ośrodek jest cieczą (lub gazem) — lepkość.
• Lepkość zależy od oddziaływań Van der Waalsa, wiązań wodorowych, oddziaływań elektrostatycznych (kształt i rozmiar cząsteczek rozpuszczalnika i substancji rozpuszczonej (solution, solvent, solut).

W 1851 r. George Stokes wyprowadza równania na siłę oporu stawianego przez ciecz poruszającej się w niej kuli, dla opływu laminarnego:

[math]F=-6\pi\eta\sigma v[/math].

Kulka o gęstości większej od gęstości cieczy wrzucona do tej cieczy porusza się w niej ruchem przyspieszonym, aż osiągnie stałą prędkość graniczną, kiedy to siła oporu ośrodka F osiągnie wartość równą sile ciężkości kulki zmniejszonej o siłę wyporu.

[math]mg-6\pi\eta\sigma v-v\rho_\mathrm{ciecz}g=ma\;[/math],

[math]V_s=\frac 29 \frac{r^2g(\rho_p-\rho_f)}{\eta}[/math].

gdzie: [math]V_s[/math] — prędkość graniczna, [math]g[/math] — przyspieszenie ziemskie, [math]\rho_\mathrm{kula}\;[/math] — gęstość kulki, [math]\rho_\mathrm{ciecz}\;[/math] — gęstość płynu.

Rodzaje przepływów

• Przepływ stacjonarny — w danym punkcie prędkość przepływu nie zależy od czasu, ruch płynu nie zmienia się w czasie.
• Przepływ laminarny — płynącą ciecz można podzielić na warstwy, które poruszają się względem siebie ze stałą prędkością.
• Przepływ turbulentny — prędkość zmienia się w czasie, występuje mieszanie się warstw, powstają wiry
• Przepływ wirowy lub bezwirowy:
  • wirowy jeśli w jakimś punkcie przestrzeni element płynu ma niezerową wypadkową prędkość kątową.

Przepływ może być lepki lub nielepki. Lepkość powoduje stopniowe rozpraszanie (dyssypację) energii mechanicznej w ośrodku. Gdy można zaniedbać opory ruchu związane z lepkością, mówimy wówczas o przepływie nielepkim.

W 1883 r. Osborne Reynolds podał warunek przejścia przepływu laminarnego w przepływ turbulentny. Sformułował prawo które mówi, że dwa zjawiska zachodzące w cieczy są podobne jeżeli obliczona dla nich liczba (Reynoldsa) jest taka sama. Reynolds rozważał jaka siła oporu F ośrodka ciągłego o lepkości η i gęstości ρ działa na poruszającą się w nim kulę o promieniu r i prędkości v. Wziął pod uwagę następujące wielkości oraz ich wymiary:

[math][\eta]=\unit{}{\left[\frac{N\cdot s}{m^2}\right]}[/math]

[math][\rho]=\unit{}{\left[\frac{kg}{m^3}\right]}[/math]

[math][r]=\unit{}{\left[m\right]}[/math]

[math][v]=\unit{}{\left[\frac ms\right]}[/math]

Utworzył z tych parametrów wielkość bezwymiarową:

[math]R_E=\frac{\rho v_r}\eta[/math].

Liczba [math]R_E[/math] umożliwia określenie kiedy przepływ z laminarnego staje się turbulentnym. Nie jest to kryterium uniwersalne. Dla różnych cieczy i przekrojów rur liczby graniczne są różne.

Ogólnie przyjmuje się jednak, że w przypadku roztworów wodnych dla [math]R_E\lt 2300[/math] przepływ jest laminarny; przy [math]R_E\gt 3000[/math] przepływ jest turbulentny, dla wartości pośrednich przepływ jest niestacjonarny.

Wyznaczania lepkości i oznaczanie mas cząsteczkowych

1. Pomiary szybkości wypływu cieczy z rurek kapilarnych (lepkościomierz Ostwalda, Hessa, Eignera).
2. Pomiar szybkości opadania kulek (lepkościomierz Hoplera).
3. Pomiar obrotu cylindra w cieczy (lepkościomierz Zinna).
4. Metoda kapilarna.
   [math]\eta=Kt\rho[/math],
   gdzie [math]\eta[/math] — lepkość dynamiczna, [math]K[/math] — stała kapilary (fabrycznie ustalona), [math]t[/math] — czas przepływu roztworu między dwoma znakami, [math]\rho[/math] — gęstość roztworu.
   Porównując czasy przepływu dla dwóch cieczy (druga to zwykle woda) otrzymuje się lepkość względną:
   [math]\eta_\mathrm{wz}=\frac\eta{\eta_0}=\frac{Kt\rho}{K_t0\rho_0}=\frac{t\rho}{t_0\rho_0}[/math],
   ρ₀ dla wody = 1 [math]\eta_\mathrm{wz}=\frac\eta{\eta_0}=\frac{t\rho}{t_0}[/math],
   i dalej:
   [math]\eta=\eta_0\frac{t\rho}{t_0}[/math].

Wiedząc, że [math]\eta_0 = \unit{1}{ mPa\cdot s}[/math]

[math]\eta=\frac{t\rho}{t_0}[/math].

Lepkość roztworu ≠ lepkość rozpuszczalnika, wyznaczamy lepkość właściwą, która pokazuje jaka część lepkości roztworu wynika z obecności rozpuszczonej substancji.

[math]\eta_\mathrm{wl}=\eta_\mathrm{wz}-1\;[/math]

[math]\eta=\frac{t\rho}{t_0}-1[/math]

Dla wody jako rozpuszczalnika:

[math][\eta]=\lim_{c\rightarrow 0} \frac{\eta_\mathrm{sp}}c[/math]

Wartość lepkości granicznej znajduje zastosowanie przy oznaczaniu mas cząsteczkowych kwasów nukleinowych.

Przy wyznaczaniu mas cząsteczkowych z wartości lepkości granicznej posługujemy się doświadczalną zależnością:

[math][\eta]=KM^\alpha_r\;[/math]

gdzie [math]K,\ \alpha[/math] — stałe empiryczne zależne od rozpuszczalnika, polimeru i temperatury

[math]\log[\eta]=\alpha\log M_r+\log K[/math]

Stąd [math]M_r\;[/math] wyznaczamy po określeniu lepkości granicznej dla standardowych preparatów o znanych masach cząsteczkowych. [math]\alpha[/math] dla cząsteczek kulistych wynosi 0, im bardziej asymetryczna cząsteczka tym większa wartość.

Wiskozymetry — przykład

Wiskozymetr Höpplera zbudowany jest z rurki wypełnionej badaną cieczą. W rurce umieszczona jest kulka. Jej średnica jest niewiele mniejsza od średnicy rurki, co zapewnia stosunkowo długi czas opadania kulki. Całość jest nachylona pod kątem ok. 10° do pionu, aby ustabilizować pozycję kulki względem rurki.

Współczynnik lepkości jest proporcjonalny do czasu opadania kulki i do różnicy pomiędzy gęstością materiału, z którego wykonana jest kulka, a gęstością badanej cieczy

Pomiar lepkości polega na wyznaczeniu czasu staczania się kulki po ściance cylindra wypełnionego badaną cieczą. Przy znanym promieniu i ustalonej gęstości kulki czas staczania zależy tylko od lepkości cieczy. Na rurce znajdują się nacięcia, między którymi mierzy się czas ruchu kulki. Obrót przyrządu umożliwia wielokrotne powtarzanie pomiaru.

Zastosowania wiskozymetrii

Badania lepkości roztworów stosowane są do wyznaczania mas cząsteczkowych polimerów i biopolimerów oraz w badaniach konformacji makrocząsteczek.

Pomiary wiskozymetryczne, wykorzystujące lepkość roztworów stosuje się w:

• medycynie do określania lepkości płynów ustrojowych (krew, osocze, śluzy),
• biologii (badania roztworów kwasów nukleinowych i białek).