FizykaI FMiN/Zderzenia relatywistyczneZderzenia relatywistyczne

Zderzenia relatywistyczna

Dynamika relatywistyczna

Zasady zachowania

Relatywistyczne wyrażenie na pęd cząstki:

[math] \vec{p} \; = \; m \;c \;\gamma \; \vec{\beta} \; = \; m \; \gamma \; \vec{V}[/math]

gdzie [math]\vec{\beta} = \frac{\vec{V}}{c}[/math]

Relatywistyczne wyrażenia na energię cząstki:

• energia kinetyczna: [math] E_{k} = m\; c^2 \; \left( \gamma - 1 \right) [/math]
• energia spoczynkowa: [math] E_{0} = m\; c^2 [/math]
• energia całkowita: [math] E = m\; c^2 \; \gamma [/math]

Dla dowolnego izolowanego układu obowiązują zawsze:

• zasada zachowania energii

[math] \sum_{i } E_i \; = \; \sum_{i } \gamma_i \; m_i\; c^2 \; = \; const [/math]

• zasada zachowania pędu

[math] \sum_{i} \vec{p}_i \; = \; \sum_{i } \gamma_i \cdot m_i\; \vec{V_i} \; = \; const [/math]

Transformacja

Zamiast rozważać niezależnie energię i pęd układu, wygodnie jest wprowadzić czterowektor energii-pędu:

[math]{\cal E} \;=\; (E, c\vec{p}) \; = \;(E,cp_x,cp_y, cp_z) [/math]

Przy zmianie układu odniesienia, czterowektor energii-pędu podlega transformacji Lorentza identycznej z transformacją dla współrzędnych czasoprzestrzennych zdarzeń.

[math] \left(\begin{array}{c} E \\ c\;p_x \\ c\;p_y \\ c\;p_z \end{array}\right) \; = \; \left(\begin{array}{c} \gamma \; E_\circ \; + \; \gamma \; \beta \; c \; p_{\circ,x} \\ \gamma \; \beta \; E_\circ \; + \; \gamma \; c \; p_{\circ,x} \\ c \; p_{\circ,y}\\ c \; p_{\circ,z} \end{array}\right) \; = \; \left(\begin{array}{cccc} \gamma & \gamma \; \beta & 0 & 0 \\ \gamma \; \beta & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} E_\circ \\ c \; p_{\circ,x}\\ c \; p_{\circ,y}\\ c \; p_{\circ,z} \end{array}\right) [/math]

Widzimy, że energia całkowita odpowiada współrzędnej czasowej, zaś wektor pędu współrzędnym przestrzennym.

Przykład I

Rakieta lecąca w kierunku Ziemi z prędkoscią [math]v=0.6 c[/math] wystrzeliwuje w jej kierunku wiązkę protonów o energii [math]E = 100[/math] GeV. Masa protonu [math]m = 1GeV/c^2[/math]. Jaką energię protonów zmierzy obserwator na Ziemi?

Pęd protonu w układzie rakiety (z definicji masy niezmienniczej):

[math] pc \; = \; \sqrt{E^2 - m^2c^4} = 99.9950 GeV[/math]

[math] pc \approx E = 100 GeV[/math]

Współczynniki transformacji Lorentza z układu rakiety do układu Ziemi:

[math] \beta = 0.6 \qquad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} = 1.25 \qquad \beta\gamma = 0.75[/math]

Energia w układzie Ziemi:

[math] E' = \gamma E + \beta \gamma pc \; \approx \; (\gamma + \beta \gamma ) E = 2 E = 200 GeV [/math]

Masa niezmiennicza

Jest to niezmiennik transformacji Lorenza, czyli wielkość, która nie zależy od wyboru układu odniesienia

[math] M^2c^4 \; = \; s \; = \; E^2 \; - \; p^2 c^2[/math]

Dla dowolnego izolowanego układu fizycznego masa niezmiennicza jest zachowana (nie zmienia się w czasie). Wynika to z zasady zachowania energii i pędu.

Masa niezmiennicza jest podstawowym pojęciem w analizie zderzeń relatywistycznych, zwłaszcza w procesach nieelastycznych (produkcja nowych cząstek).

Masa niezmiennicza jest tożsama z energią układu w układzie środka masy ([math]P^\star = 0[/math]). Dla zderzających się cząstek mówimy o energii dostępnej w układzie środka masy.

Dla pojedynczej cząstki masa niezmiennicza jest tożsama z masą cząstki (energią spoczynkową).

Przykład

Jaka jest masa cząstki, która poruszając się z energią kinetyczną [math]E_k = 1.6[/math] GeV ma pęd [math]p = 2.4[/math] GeV/c ?

Z definicji masy niezmienniczej dla pojedynczej cząstki:

[math] m^2c^4 \; = \; E^2 \; - \; p^2 c^2[/math]

Energię całkowitą wyrażamy przez energię kinetyczną:

[math] m^2c^4 \; = \; (m c^2 + E_k)^2 \; - \; p^2 c^2 [/math]

[math] m^2c^4 \; = \; m^2c^4 + 2 E_k m c^2 + E_k^2 \; - \; p^2 c^2[/math]

Otrzymujemy:

[math] m c^2 \; = \; \frac{p^2 c^2 - E_k^2}{2 E_k} \; = \; \frac{(pc + E_k)(pc - E_k)}{2 E_k}[/math]

[math] m c^2 \; = \; \frac{4GeV \cdot 0.8 GeV}{2 \cdot 1.6 GeV} \; = \; 1 GeV [/math]

Układ środka masy

Niech dane będą

• Energia układu cząstek: [math]E = \sum_i E_i[/math]
• Pęd układu cząstek: [math]\vec{P} = \sum_i \vec{p}_i[/math]
• Masa niezmiennicza tego układu: [math]M[/math]

Jak znaleźć układ środka masy (CMS), czyli układ w którym [math]\vec{P}^\star = 0[/math] ?

Wiemy, że w CMS energia i pęd dane są przez

[math]E^\star = M, \;\;\; P^\star \equiv 0[/math]

Energia i pęd wiążą się z [math]E^\star[/math] i [math]P^\star[/math] przez transformacje Lorentza:

[math] E \; = \; \gamma \; M [/math]

[math] c\;P \; = \; \beta \; \gamma \; M [/math]

Otrzymujemy z przekształcenia tych zależności związki na wspólczynniki transformacji do układu środka masy:

[math]\displaystyle \beta = \frac{c\; P}{E} [/math]

[math]\displaystyle \gamma = \frac{E}{M\; c^2} [/math]

[math]\displaystyle \beta \; \gamma = \frac{P}{M\; c} [/math]

Związki te obowiązują zarówno dla pojedyńczej cząstki jak i dowolnego układu cząstek!

Przykład

Z jaką prędkością porusza się elektron o energii [math]E=1GeV[/math] ([math]m_e\approx 0.5MeV[/math])?

Współczynnik Lorentza dla elektronu ([math]c\equiv 1 [/math]):

[math] \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} \; = \; \frac{E}{m} = 2000 [/math]

Widzimy więc, że

[math]1-\beta^2 = \frac{1}{\gamma^2} \; = \; \frac{m^2}{E^2} \qquad \ll 1 [/math]

Wnioskujemy, że prędkość elektronu jest bardzo bliska prędkości światła, [math]\beta \approx 1[/math], policzmy więc różnicę:

[math] 1-\beta = \frac{1-\beta^2}{1+\beta} \; \approx \; \frac{1}{2\;\gamma^2} \; = \; \frac{m^2}{2\;E^2} = 1.25 \cdot 10^{-7} [/math]

Pęd elektronu:

[math] p \; = \; \beta \gamma m \; = \; \beta E \; \approx\; E [/math]

Różnica między energią i pędem też dąży do zera:

[math] E - p = (1-\beta) E \; \approx \; 10^{-7} E [/math]

Energia kinetyczna:

[math] E_k \; = \; (\gamma -1 ) m \; = \; E - m \; \approx\; E [/math]

Różnica między energią całkowitą i kinetyczną:

[math] E - E_k \; = \; m \; = \; \frac{1}{\gamma} E \; = \; 5 \cdot 10^{-4} E[/math]

Widzimy, że dla cząstki o energii [math]E \gg m c^2[/math] ([math] \gamma \gg 1[/math]) można przyjąć (przybliżenie ultrarelatywistyczne):

[math]E \approx p c \approx E_k[/math]

Zderzenia elastyczne

Klasyfikacja zderzeń

W przypadku nierelatywistycznym zderzenia dzieliliśmy na:

zderzenia elastyczne

Zachowany jest pęd i energia kinetyczna.

zderzenia nieelastyczne

Zachowany jest pęd, natomiast energia kinetyczna zamieniana zostaje (częściowo) na inne formy energii (zazwyczaj ciepło).

W przypadku relatywistycznym energia całkowita i pęd są zawsze zachowane. Musimy zmodyfikować klasyfikację zderzeń.

Dzielimy je na:

Zderzenia elastyczne

Zderzenia typu [math]2 \rightarrow 2[/math] (dwie cząstki w stanie począstkowym i dwie w końcowym), przy czym cząstki po zderzeniu są takie same jak cząstki zderzające się (w szczególności nie zmieniają się ich masy: [math]m'_1 = m_1[/math] i [math]m'_2 = m_2[/math])

przykład: [math]e^+ e^- \rightarrow e^+ e^- [/math]

Zderzenia nieelastyczne

Gdy cząstki w stanie końcowym są inne niż przed zderzeniem.

przykład: [math]e^+ e^- \rightarrow \mu^+ \mu^- [/math]

Rozpraszanie elastyczne

Rozważmy zderzenie "pocisku" o masie [math]m_1[/math] i energii [math]E_1[/math] z "tarczą" o masie [math]m_2[/math]. Dla układu dwóch ciał mamy ([math]c \equiv 1 [/math]):

[math] E \;=\; E_1 + E_2 \; = \; E_1 + m_2 [/math]

[math] P \; = \; P_1 \; = \; \sqrt{E_1^2 - m_1^2 } [/math]

[math] M^2 \; = \; E^2 - P^2 \; = \; (E_1 + m_2)^2 - P_1^2 [/math]

[math] \; = \; m_1^2 + m_2^2 + 2 \; E_1 \; m_2[/math]

Możemy policzyć współczynniki transformacji do układu środka masy:

[math] \beta \; = \; \frac{P}{E} \; = \; \frac{\sqrt{E_1^2 - m_1^2 }}{E_1 + m_2}[/math]

[math] \gamma \; = \; \frac{E}{M} \; = \; \frac{E_1 + m_2}{\sqrt{2 \; E_1 \; m_2 + m_1^2 + m_2^2 }} [/math]

[math] \beta \gamma \; = \; \frac{P}{M} \; = \; \sqrt{\frac{E_1^2 - m_1^2 }{2 \; E_1 \; m_2 + m_1^2 + m_2^2 }} [/math]

Pęd obu ciał w układzie środka masy można zapisać jako:

[math] p_1^\star \; = \; p_2^\star \; = \; \beta \gamma \; m_2 \; = \; \frac{P}{M} \; m_2 [/math]

[math] (p^\star)^2 \; = \; \frac{(E_1^2 - m_1^2)\;m_2^2} {m_1^2 + m_2^2 + 2 \; E_1 \; m_2} [/math]

Energie obu ciał w układzie środka masy:

[math] E_2^\star \; = \; \gamma \; m_2 \; = \; \frac{E}{M} \; m_2 [/math]

[math] \; = \; \frac{(E_1 + m_2) m_2}{\sqrt{2 \; E_1 \; m_2 + m_1^2 + m_2^2 }} [/math]

[math]E_1^\star \; = \; M - E_2^\star [/math]

[math] \; = \; \frac{E_1 m_2 + m_1^2}{\sqrt{2 \; E_1 \; m_2 + m_1^2 + m_2^2 }} [/math]

Jeśli spełniona ma być zasada zachowania pędu i zasada zachowania energii to, tak jak w przypadku klasycznym

[math] p_1^\star \; = \; p_2^\star \; = \; {p'}^\star_1 \; = \; {p'}^\star_2 [/math]

W układzie środka masy wartości pędów nie ulegają zmianie!

Zakładamy tutaj, że masy cząstek nie zmieniają siem, [math]m'_1 = m_1[/math] i [math]m'_2 = m_2[/math] (rozpraszanie elastyczne).

Przypadek [math]m_1 = m_2[/math]

Uzyskane wyrażenia bardzo się upraszczają dla zderzeń cząstek o równej masie. Energia, pęd i masa niezmiennicza układu dwóch cząstek:

[math] E \; = \; E_1 + m [/math]

[math] P \; = \; P_1 \; = \; \sqrt{E_1^2 - m^2 } [/math]

[math] M^2 \; = \; E^2 - P^2 \; = \; 2 \; E_1 \; m \; + \; 2 \; m^2 [/math]

Współczynniki transformacji do CMS:

[math]\gamma \; = \; \sqrt{\frac{E_1+m}{2m}} [/math]

[math]\beta \; = \; \sqrt{\frac{E_1-m}{E_1+m}} [/math]

[math]\beta \;\gamma \; = \; \sqrt{\frac{E_1-m}{2m}}[/math]

Energia i pęd obu ciał w układzie środka masy (z transformacji Lorenza dla spoczywającego ciała):

[math] p^\star \; = \; \gamma \; \beta \; m [/math]

[math] E^\star \; = \; \gamma \; m [/math]

[math] (p^\star)^2 \; = \; \frac{1}{2}\; m \; (E_1 - m) [/math]

[math] (E^\star)^2 \; = \; \frac{1}{2}\; m \; (E_1 + m) [/math]

Wprowadźmy w układzie środka masy kąt [math]\theta^\star[/math] opisujący kierunek rozproszenia pierwszej cząstki.

Możemy teraz wypisać składowe czterowektora energii-pędu dla pierwszej cząstki w CMS:

[math] E_1^\star \; = \; \gamma \; m [/math]

[math] p_{1,x}^\star \; = \; \gamma \; \beta \; m \; \cos \theta^\star [/math]

[math] p_{1,y}^\star \; = \; \gamma \; \beta \; m \; \sin \theta^\star [/math]

[math] p_{1,z}^\star \; = \; 0 [/math]

Transformacja Lorentza do układu laboratoryjnego daje nam:

[math] p_{1,x} \; = \; \gamma \; p_{1,x}^\star + \gamma \; \beta \; E_1^\star [/math]

[math] \; = \; \gamma^2 \; \beta \; m \; ( 1 + \cos \theta^\star ) [/math]

[math] p_{1,y} \; = \; \gamma \; \beta \; m \; \sin \theta^\star [/math]

Zauważmy też, że

[math] \gamma^2 \; \beta \; m = \frac{1}{2} P [/math]

Możliwe wartości [math]p_{1,x}[/math] i [math]p_{1,y}[/math] spełniają warunek: [math]\gamma^2 \; p_{1,y}^2 + \left(p_{1,x} - \frac{P}{2}\right)^2 \; = \; \left(\frac{P}{2}\right)^2[/math]

Warunek ten odpowiada równaniu elipsy w przestrzeni pędów. Transformacja Lorenza "spłaszcza" rozkład pędów wzdłuż kierunku ruchu pocisku (w przypadku klasycznym mieliśmy okrąg).

Kąty rozproszenia mierzone w LAB (liczone ze stosunku poprzecznej i podłużnej składowej):

[math] \tan \theta_1 \; = \; \frac{\sin \theta^\star} {\gamma ( 1 + \cos \theta^\star)} [/math]

[math]\tan \theta_2 \; = \; \frac{\sin \theta^\star} {\gamma ( 1 - \cos \theta^\star)} [/math]

Możemy wyznaczyć kąt pomiędzy cząstkami po zderzeniu:

[math] \tan ( \theta_1 + \theta_2 ) \; = \; \frac{ 2 \gamma } { \sin \theta^\star \; ( \gamma^2 - 1) } [/math]

W przypadku rozproszenia pod kątem prostym w CMS ([math]\theta^\star = \frac{\pi}{2}[/math])

[math] \tan \theta \; = \; \frac{1}{\gamma} \; \lt \; 1 [/math]

[math] \theta_1 \; + \; \theta_2 \; \lt \; \frac{\pi}{2} [/math]

W przypadku klasycznym kąt między rozproszonym pociskiem i tarczą, dla równych mas, zawsze był równy [math]\frac{\pi}{2}[/math]. W przypadku relatywistycznym kąty rozproszenia są mniejsze.

Dla dużych energii pocisku, [math]\gamma \rightarrow \infty[/math], kąt między cząstkami

[math] \tan ( \theta_1 + \theta_2 ) \; \rightarrow \; \frac{ 2 }{ \gamma \; \sin \theta^\star} \rightarrow 0 [/math]

W granicy ultrarelatywistycznej rozproszenie zachodzi pod bardzo małymi kątami!

Przykład

Elektron o energii [math]E=10[/math] GeV rozprasza się elastycznie na spoczywającym elektronie ([math]m_e = 0.5[/math] MeV). Jaki kąt rozproszenia zostanie zmierzony w układzie laboratoryjnym jeśli w CMS rozproszenie nastapiło pod kątem prostym?

Masa niezmiennicza układu:

[math]M \; = \; \sqrt{2 \; E \; m \; + \; 2 \; m^2} \approx \sqrt{2 \; E \; m } \; = \; 100 MeV [/math]

Współczynnik transformacji:

[math] \gamma = \frac{E + m}{M} \; \approx \; \frac{E}{M} = 100[/math]

co odpowiada

[math] 1-\beta \approx 5\cdot 10^{-5}[/math]

Energia i pęd w CMS:

[math] E^\star \; = \; \gamma m \; = \; 50 MeV \; \; p^\star \approx E^\star [/math]

Transformacja do układu laboratoryjnego dla cząstki rozproszonej pod kątem orisrtn w CMS (kładąc [math]p^\star_x = 0[/math], [math]p^\star_y = p^\star[/math]):

[math] p_x = \beta \gamma E^\star + \gamma p^\star_x \approx \gamma E^\star[/math]

[math] p_y = p^\star_y \approx E^\star [/math]</math>

Kąt rozproszenia wynosi więc:

[math] \tan \theta \; = \; \frac{p_y}{p_x} \; = \; \frac{1}{\gamma} \; = \; 0.01 [/math]

[math] \theta \approx 0.6^\circ[/math]

Przypadek [math]m_1 \ll E_1 \sim m_2[/math]

Rozważmy zderzenie elastyczne z ciężką "tarczą" lekkiego "pocisku" ([math]m_1 \ll m_2[/math]) o wysokiej energii ([math]E_1 \sim m_2[/math])

Jest to sytuacja z jaką często mamy do czynienia w zderzeniach fizyki cząstek (rozpraszanie elektonów, mionów lub neutrin na tarczach jądrowych).

Pomijając wyrazy z [math]m_1[/math] mamy:

[math] E \; = \; E_1 + m_2 [/math]

[math] P \; = \; \sqrt{E_1^2 - m_1^2 } \approx E_1 [/math]

[math] M^2 \; = \; m_1^2 + m_2^2 + 2 \; E_1 \; m_2 [/math]

[math] \; \approx \; 2 \; E_1 \; m_2 + m_2^2 [/math]

Współczynniki transformacji do układu środka masy (dla [math]m_1 \rightarrow 0 [/math]):

[math] \gamma \; = \; \frac{E_1+m_2}{\sqrt{2E_1 m_2 + m_2^2}} [/math]

[math] \beta \; = \; \frac{E_1}{E_1+m_2} [/math]

[math] \beta \;\gamma \; = \; \frac{E_1}{\sqrt{2E_1 m_2 + m_2^2}} [/math]

Pęd pocisku i tarczy w układzie środka masy:

[math] p^\star \; = \; \beta \;\gamma \; m_2 \; = \; \frac{E_1 m_2}{\sqrt{2E_1 m_2 + m_2^2}} [/math]

Transformacja rozproszonego pocisku do układu laboratoryjnego daje nam:

[math] p_{1,x} \; = \; \gamma \; p_{1,x}^\star + \gamma \; \beta \; E_1^\star \; = \; \gamma \; p^\star ( \beta + \cos \theta^\star ) [/math]

[math] p_{1,y} \; = \; p^\star \; \sin \theta^\star [/math]

Możliwe wartości [math]p_{1,x}[/math] i [math]p_{1,y}[/math] spełniają więc warunek:

[math]\left(\gamma \; p_{1,y} \right)^2 + \left(p_{1,x} - \gamma \; \beta \; p^\star \right)^2 \; = \; \left( \gamma p^\star \right)^2[/math]

Odpowiada to ponownie równaniu elipsy.

W granicy [math]\beta \rightarrow 1[/math] ([math]E_1 \gg m_2[/math]) pocisk rozprasza się zawsze ``do przodu" ([math]p_{1,x} \ge 0[/math])!

Nawet dla [math]m_1 \ll m_2[/math], jeśli [math]E_1 \sim m_2[/math] pocisk może przekazać tarczy znaczną część swojej energii. Rysunek obok pokazuje możliwe wartości pędu dla przypadku [math]E_1 = 3 \; m_2[/math], [math]m_1 = 0[/math]. Dla [math]E_1 \gg m_2[/math] nawet bardzo lekka sonda może "wybić" cząstkę tarczy...

Masa cząstki pocisku, dla dużych energii, przestaje być istotna.

Rozpraszanie nierelatywistyczne

Przypomnijmy, że w podejściu klasycznym, w granicy [math]m_1 \ll m_2[/math] tarcza przejmuje bardzo niewielką część energii pocisku. Rozproszony pocisk ma praktycznie niezmienioną energię i wartość pędu.

Przykład

Elektron o energii [math]E_e = 50[/math] GeV rozprasza się na spoczywającym protonie ([math]m_p = 1[/math] GeV).

Jaka jest maksymalna energia jaką może uzyskać proton?

Masa niezmiennicza układu

[math]M \; = \; \sqrt{2 \; E_e \; m_p \; + \; m_p^2} \; \approx \; \sqrt{2 \; E_e \; m_p } \; = \; 10 GeV [/math]

Współczynnik transformacji:

[math]\gamma = \frac{E_e + m_p}{M} \; = \; 5.1 [/math]

[math] \beta \gamma = \frac{p_e}{M} = 5 [/math]

Energia i pęd protonu w CMS:

[math] E_p^\star \; = \; \gamma m_p \; = \; 5.1\; GeV [/math]\; \;

[math] p^\star = \beta \gamma m = \; 5\; GeV [/math]

Transformacja do LAB (maksymalna energia gdy [math]p^\star_x = p^\star[/math]):

[math] E' \; = \; \gamma E^\star + \beta \gamma p^\star_x \; = \; \gamma^2 m_p + \beta^2 \gamma^2 m_p \approx 51 \; GeV [/math]

Proton może przejąć praktycznie całą energię elektronu!

Nie pomijając członu [math]m_p^2[/math] w wyrażeniu na masę niezmienniczą otrzymujemy dokładniejszy wynik

[math] E' \approx 50.50 \; GeV [/math]

rozproszony elektron zachowa 1% swojej energii całkowitej...

Zderzenia nieelastyczne

Klasyfikacja zderzeń

Zderzenia elastyczne to reakcje typu [math]2 \rightarrow 2[/math], w których cząstki rozproszone są takie same jak cząstki zderzające się. W szczególności: [math]m'_1 = m_1[/math] i [math]m'_2 = m_2[/math]

W zderzeniach cząstek jest to jednak wyjątek (!)

W oddziaływaniach cząstek elementarnych, zwłaszcza przy wysokiej energii, obserwujemy bardzo wiele reakcji, w których powstają nowe cząstki:

• Rozpady cząstek: [math]a \rightarrow b + c[/math]
• Produkcja pojedyńczej cząstki (tzw. "rezonansu"): [math]a + b \rightarrow c[/math]
• Rozproszenie nieelastyczne dwóch cząstek: [math]a + b \rightarrow c + d [/math] (przy czym jedna z cząstek na końcu może być cząstką stanu początkowego)
• Produkcja wielu cząstek: [math]a + b \rightarrow X [/math] (gdzie [math]X[/math] oznacza dowolny stan wielocząstkowy)

Świat cząstek elementarnych

Zanim zajmiemy się szerzej zderzeniami nieelastycznymi cząstek poznajmy obiekty, które w takich zderzeniach mogą uczestniczyć.

Fermiony

Fermiony są podstawowymi składnikami otaczającej nas materii. Świat "codzienny" zbudowany jest z 3 fundamentalnych "cegiełek": elektron oraz kwarków [math]u[/math] i [math]d[/math].

Elektron występuje jako cząstka swobodna, natomiast kwarki są "uwięzione" w nukleonach. Każdy nukleony składa się z 3 kwarków: proton to (uud), neutron - (udd).

Fizyka cząstek znalazła łącznie 12 fundamentalnych "cegiełek" materii, cząstek zwanych fermionami (cząstek o spinie 1/2). Znamy 6 leptonów i 6 kwarków, które można podzielić na 3 tzw. pokolenia:

	leptony		kwarki
pokolenie 1	[math]e[/math]	[math]\nu_{e}[/math]	d	u
	elektron	neutrino el.	down	up
pokolenie 2	[math]\mu[/math]	[math]\nu_{\mu}[/math]	s	c
	mion	neutrino mionowe	strange	charm
pokolenie 3	[math]\tau[/math]	[math]\nu_{\tau}[/math]	b	t
	taon	neutrino taonowe	beauty	top
ładunek [e]	[math]-1[/math]	0	[math]-1/3[/math]	[math]+2/3[/math]

Każda z wymienionych cząstek ma też swoją antycząstkę (kolejne 12).

Wszystkie leptony obserwujemy jako cząstki swobodne. Natomiast kwarki są zawsze "uwięzione" w hadronach (cząstkach oddziałujących silnie)

Bozony

"Cegiełki" materii oddziałują ze sobą poprzez wymianę nośników oddziaływań. Nośnik przekazuje część energii i/lub pędu jednej cząstki drugiej cząstce.

oddziaływanie	źródło	nośnik		moc
grawitacyjne	masa	grawiton	G	[math]10^{-39}[/math]
elektromagnetyczne	ładunek el.	foton	[math]\gamma[/math]	[math]10^{-2}[/math]
silne	"kolor"	gluony	[math]g[/math]	1
słabe	"ładunek słaby"	"bozony pośredniczące"	[math]W^{\pm}[/math], [math]Z^{\circ}[/math]	[math]10^{-7}[/math]

gdzie jako "moc" pokazano przykładowe porównanie wielkości oddziaływań dla dwóch sąsiadujących protonów

Rozpady cząstek

Rozawżmy rozpad cząstki o masie [math]M[/math] na [math]n[/math] cząstek o masach [math]m_i[/math] {([math]i = 1 \ldots n[/math])}.

Masa niezmiennicza przed rozpadem:

[math]{\cal M}_i =M[/math]

Masa niezmiennicza po rozpadzie:

[math] {\cal M}_f^2 \; = \; \left(\sum_i E_i \right)^2 \; - \; \left(\sum_i \vec{p}_i \right)^2 [/math]

[math] \; = \; \sum_i E_i^2 \; + \; 2 \;\sum_i \sum_{j\gt i} E_i \;E_j \; - \; \sum_i p_i^2 \; - \; 2 \;\sum_i \sum_{j\gt i} \vec{p}_i \; \vec{p}_j [/math]

Dla dowolnej pary cząstek [math]i[/math], [math]j[/math] mamy ([math]E_i^2 = p_i^2 + m_i^2[/math]):

[math] E_i \; E_j = \sqrt{(p_i^2 +m_i^2)(p_j^2 +m_j^2)} [/math]

[math] \; = \; \sqrt{(p_i p_j +m_i m_j)^2 + (p_i m_j - p_j m_i)^2 } [/math]

[math] \;\; \ge \; p_i\; p_j\; +\; m_i \;m_j [/math]

Czyli

[math] E_i \; E_j \;-\; \vec{p}_i \vec{p}_j \; \ge \; E_i \; E_j \;-\; p_i p_j \; \ge \; m_i \;m_j [/math]

Ostatecznie otrzymujemy więc warunek:

[math] \displaystyle {\cal M}_f^2 \ge \sum_i m_i^2 + 2 \;\sum_i \sum_{j\gt i} m_i \;m_j = \left( \sum_i m_i \right)^2 = s_{min} [/math]

Warunek konieczny, aby mógł mieć miejsce rozpad do określonego stanu cząstkowego można więc zapisać w postaci:

[math] M \; \ge \; \sum_i m_i \qquad = \sqrt{s_{min}}[/math]

gdzie [math]s_{min}[/math] jest minimalną wartością kwadratu masy niezmienniczej stanu końcowego.

Rozważmy najprostszy przypadek rozpadu dwuciałowego. W układzie rozpadającej się cząstki produkty rozpadu mają równe co do wartości lecz przeciwnie skierowane pędy:

[math]\vec{p}_1 = -\vec{p}_2[/math]

Jaka będzie wartość pędu produktów rozpadu [math]p = |\vec{p}_1| = |\vec{p}_2|[/math] ?

Wyraźmy masę niezmienniczą przez pęd produktów:

[math]M^2 \; = \; (E_1 + E_2)^2 - (p_1 - p_2)^2 \; = \; m_1^2 + m_2^2 + 2\sqrt{(p^2 +m_1^2)(p^2 +m_2^2)} + 2 p^2 [/math]

Wydzielając pierwiastek i podnosząc do kwadratu

[math] (M^2 -m_1^2 - m_2^2 -2p^2 )^2 \; = \; 4(p^2 +m_1^2)(p^2 +m_2^2) [/math]

Większość wyrazów z pędem skróci się. Zostaje

[math]4 M^2 p^2 \; = \; (M^2 -m_1^2 - m_2^2)^2 - 4 m_1^2 m_2^2 [/math]

Ostatecznie otrzymujemy:

[math] p \; = \; \frac{\sqrt{(M^2 - (m_1+m_2)^2)(M^2 - (m_1 - m_2)^2)}}{2\;M} [/math]

Wyrażenie to bardzo się upraszcza w przypadku rozpadu na dwie cząstki o równych masach, [math]m_1 = m_2 = m[/math]:

[math] p \; = \; \frac{\sqrt{(M^2 - 4m^2)M^2}}{2\;M} \; = \;\sqrt{ \left(\frac{M}{2}\right)^2 - m^2}[/math]

Energia produktów rozpadu wyniesie wtedy

[math] E = \frac{M}{2} [/math]

Z kolei w granicy, gdy jeden z produktów rozpadu jest bardzo lekki, [math]m_1 \ll m_2 \sim M[/math], otrzymujemy:

[math] p \; \approx \; \frac{\sqrt{(M^2 - m_2^2)^2}}{2\;M} \; = \; \frac{M}{2} \; - \; \frac{m_2^2}{2M} \qquad\qquad \approx E_1 [/math]

Energie cząstek po rozpadzie nie są równe !

Mierząc pęd (lub energię) jednego z produktów rozpadu, możemy wnioskować o masach pozostałych cząstek.

Przykład

Pion [math]\pi^+[/math] o masie [math]m_\pi = 140[/math] MeV rozpada się na mion [math]\mu^+[/math] (o macie [math]m_\mu = 106[/math] MeV) i bezmasowe neutrino:

[math] \pi^+ \; \rightarrow \mu^+ \; + \; \nu_\mu [/math]

Pędy produktów rozpadu:

[math] p \; = \; \frac{m_\pi^2 - m_\mu^2}{2\;m_\pi} \; \approx \; 30 \; MeV[/math]

Energie liczymy z definicji masy niezmienniczej ([math] m^2 \; = \; E^2 - p^2 [/math]):

[math] E_\mu \; = \; \sqrt{p^2 + m_\mu^2}\; \approx\; 110 \; MeV [/math]

[math] E^k_\mu \;= \;4 \; MeV [/math]

[math] E_\nu \; = \; E^k_\nu \; = \; \sqrt{p^2 + m_\nu^2}\; = \;p\; = \;30 \; MeV [/math]

Neutrino wynosi większość energii kinetycznej!

Prawo rozpadu

Wszystkie cząstki danego rodzaju (np. elektrony lub neutrony) są identyczne. Nie mają też "pamięci" - ich własności nie zależą od czasu. Dla cząstek nietrwałych oznacza to, że prawdopodobieństwo ich rozpadu w zadanym przedziale czasu jest zawsze takie samo.

Rozważmy bardzo mały przedział czasu [math]dt[/math] (znacznie mniejszy niż typowy czas rozpadu). Jeśli próbka zawiera [math]N[/math] cząstek to liczba oczekiwanych rozpadów musi być proporcjonalna do [math]N[/math] i do [math]dt[/math]:

[math] dN \; = \; N(t+dt) - N(t) \; = \; - \alpha \; N \; dt [/math]

Całkując to równanie otrzymujemy:

[math] \frac{dN}{N} \; = \; - \alpha \; dt [/math]

[math] \ln N \; = \; - \alpha \; t \; + \; C [/math]

Ostatecznie otrzymujemy prawo rozpadu promieniotwórczego

[math] N(t) \; = \; N(0) \cdot e^{-\alpha t} [/math]

Pozostaje nam jednak nieznany parametr [math]\alpha[/math], który musimy powiązać z własnościami cząstki. Prawdopodobieństwo rozpadu na jednostkę czasu (dla pojedynczej cząstki) dane jest przez:

[math] p(t) \; = \; \alpha \; e^{-\alpha t} [/math]

Parametr [math]\alpha[/math] możemy więc powiązać ze średnim czasem życia cząstki cząstki:

[math] \tau \; = \; \langle t \rangle \; = \; \int_0^{\infty} t \cdot p(t)dt = \frac{1}{\alpha} [/math]

Ptrzymujemy więc wzory na prawdopodobieństwo rozpadu

[math] p(t) = \frac{1}{\tau} \; e^{-t/\tau} [/math]

oraz

[math] N(t) = N_0 \cdot e^{- t/\tau} [/math]

Jeśli cząstka o masie [math]m[/math] i średnim czasie życia [math]\tau[/math] (zawsze defniowanym w układzie cząstki) ma w układzie obserwatora O' energię [math]E[/math] i pęd [math]p[/math], to obserwator zmierzy:

[math] N(t') \; = \; N_0 \cdot e^{- \frac{t'}{\gamma \tau}} \;= \; N_0 \cdot e^{- \frac{m t'}{E \tau}}[/math]

[math] \langle t' \rangle \; = \; \gamma \; \tau \; = \; \frac{E}{m} \; \tau [/math]

zgodnie z formułą na dylatację czasu. Możemy też zdefiniować średnią drogę swobodną: [math]\lambda \; = \; \langle v t'\rangle \; = \; \beta \; \gamma \; c \tau \; = \; \frac{p}{m} \; c\tau [/math]

Przykład

Jaki powinien być pęd mionu produkowanego w górnych warstwach atmosfery ([math]h=20[/math] km), żeby mógł dolecieć do powierzchni Ziemi zanim się rozpadnie?

Prawdopodobieństwo rozpadu w funkcji odległości:

[math] p(x) \; = \; \frac{1}{\lambda} \; e^{-x/\lambda} [/math]

Prawdopodobieństwo, że mion doleci do powierzchni Ziemi:

[math] P(x\gt h) \; = \; \int_h^{\infty} p(x)dx \; = \; e^{-h/\lambda}[/math]

Prawdopodobieństwo to jest formalnie niezerowe dla dowolnego pędu. Duże szanse dolecieć mają jednak tylko miony, dla których [math]\lambda \gt h[/math]:

[math] \frac{p}{m} \; c\tau \gt h [/math]

[math] \; p \gt \frac{h}{c\tau} m [/math]

Dla mionu: [math]\tau = 2.2 \; \mu s[/math] ([math]c \tau \approx 660 \; m[/math]), [math]m \approx 100[/math] MeV:

[math] p \; \gt \; \frac{h}{c\tau} m \;\approx \; 30\cdot m \;= \; 3 \;GeV[/math]

Zderzenia [math]e^+ e^-[/math]

Przekrój czynny na produkcję kwarków (rejestrowanych w postaci hadronów) w funkcji dostępnej energii w zderzeniu [math]e^+ e^-[/math]:

W całym zakresie zbadanych energii mamy niezerowy przekrój czynny na produkcję kwarków. Proces ten opisujemy jako anihilację [math]e^+ e^-[/math] w wirtualny foton, który następnie rozpada sie na parę [math]q \bar{q}[/math]. Schematycznie przedstawia to poniższy diagram:

Produkcja rezonansów

Przy pewnych wartościach [math]\sqrt{s}[/math] obserwujemy wzrost produkcji kwarków o kilka rzędów wielkości.

Jest to efekt rezonansowej produkcji cząstek, którą można przedstawić schematycznie na diagramie:

Przy czym cząstka [math]J/\Psi[/math] jest nietrwała i rozpada się nastepnie (np. na parę kwarków). Aby w zderzeniu dwóch cząstek powstała jedna cząstka (np: [math] e^+ e^- \rightarrow J/\Psi[/math]) masa niezmiennicza zderzających się cząstek musi być równa masie cząstki którą produkujemy

[math] \sqrt{s} = m_{J/\Psi} [/math]

Produkcja [math]Z^\circ[/math] w eksperymencie L3 przy akceperatorze LEP

Najbardziej masywnym rezonansem produkowanym dotychczas w zderzeniach [math]e^+ e^-[/math] jest bozon [math]Z^\circ[/math]:

[math] e^+ e^- \; \rightarrow \; Z^\circ \; \rightarrow q \bar{q} [/math]

Maksimum przekroju czynnego obserwujemy dla

[math] \sqrt{s} \; = \; m_Z [/math]

ale ma ono skończoną szerokość, opisaną tzw. rozkładem Breita-Wignera:

[math] \sigma(s) \; \sim \; \frac{M_Z^2 \Gamma^2} {(s - M_Z^2)^2 + M_Z^2 \Gamma^2}[/math]

Szerokość rezonansu wiąże się (zasada nieoznaczoności) z czasem życia produkowanej cząstki: [math] \Gamma \cdot \tau = h [/math]

Produkcja wielu cząstek

Produkcja par [math]W^+ W^-[/math] w eksperymentach przy akceperatorze LEP

Aby w zderzeniu dwóch cząstek powstały dwie lub więcej nowych cząstek, np:

[math] e^+ \; e^- \; \rightarrow \; W^+ \; W^- [/math]

masa niezmiennicza zderzających się cząstek musi być większa lub równa sumie mas produkowanych cząstek:

[math] \sqrt{s} \; \ge \; \sum_i m_i [/math]

W przypadku produkcji par bozonów

[math] e^+ e^- \rightarrow W^+ W^-[/math]

masa niezmiennicza zderzających się elektronów musi spełniać warunek

[math]\sqrt{s} \ge 2 \; m_W \approx[/math] 160 GeV

Energia dostępna

Mase niezmienniczą zderzających się cząstek [math]\sqrt{s}[/math] określamy też jako energię dostępną w układzie środka masy. Energia dostępna jest to część energii kinetycznej, która może zostać zamieniona na masę (energię spoczynkową) nowych cząstek. [math]\sqrt{s}[/math] mówi nam ile energii możemy zużyć na wyprodukowanie nowych cząstek.

Przykład

Aby wyprodukować antyproton w reakcji

[math] p \; p \; \rightarrow p \; p \; p \; \bar{p} [/math]

musimy mieć

[math] \sqrt{s} \; \ge \; 4 \; m_p [/math]

Należy zwrócić uwagę, że liczymy wszystkie cząstki w stanie końcowym, także cząstki pierwotne.

Określoną wartość energii dostępnej możemy uzyskać na rózne sposoby:

Zderzenia z tarczą

Cząstka "pocisk" o energii [math]E[/math] uderza w nieruchomą tarczę. Kwadrat masy niezmienniczej:

[math] s \; = \; 2 \; E_1 \; m_2 + m_1^2 + m_2^2 [/math]

w granicy [math] E_1 \gg m_1 \sim m_2 [/math]

[math] s \; \approx \; 2 \; E_1 \; m_2 [/math]

Wiązki przeciwbieżne

Zderzenia wiązek o energiach [math]E_1[/math] i [math]E_2[/math]:

[math] s \; = \; 2 \; E_1 \; E_2 + 2 \; p_1 \; p_2 + m_1^2 + m_2^2 [/math]

w granicy [math] E_1 \sim E_2 \gg m_1 \sim m_2 [/math]

[math] s \; \approx \; 4 \; E_1 \; E_2 [/math]

Uzyskujemy dużo wyższe wartości energii dostępnej niż w przypadku zderzenia "z tarczą"!!!

Przykład

Wiązka protonów o energii 50 GeV ([math]\approx 50 \; m_p[/math])

• na tarczy wodorowej (protony):

[math]\sqrt{s} \approx \sqrt{2 E m_p} \approx 10 GeV \approx 10 \; m_p[/math]

• dwie wiązki przeciwbieżne:

[math]\sqrt{s} \approx \sqrt{4 E \cdot E} = 2 \; E = 100 GeV \approx 100 \; m_p[/math]

Energia progowa

Jest to minimalna energia wiązki [math]E_{min}[/math] przy której możliwa jest dana reakcja. Sprowadza się to do warunku przekroczenia przez masę niezmienniczą pocisku i tarczy minimalnej masy niezmienniczej danej przez masy produktów reakcji. Kwadrat minimalnej masy niezmienniczej:

[math] s_{min} \; = \; \left( \sum_i m_i \right)^2 [/math]

Zderzenia z tarczą

W zderzeniach z nieruchomą tarczą:

[math] s_{min} \; = \; 2 \; E_{min} \; m_2 + m_1^2 + m_2^2 [/math]

Możemy policzyć jaka jest minimalna energia całkowita pocisku:

[math] E_{min} \; = \; \frac{s_{min} - ( m_1^2 + m_2^2) }{2 \; m_2 } \; = \; \frac{ \left( \sum_i m_i \right)^2 - ( m_1^2 + m_2^2) }{2 \; m_2 } [/math]

Minimalna energia kinetyczna pocisku:

[math] E_{k, min} \; = \; E_{min} - E_\circ \; = \; \frac{ \left( \sum_i m_i \right)^2 - ( m_1 + m_2)^2 }{2 \; m_2 } [/math]

Minimalna energia kinetyczna pocisku, w zderzeniach z tarczą, więże się z przyrostem masy:

[math] 2 \; m_2 \; E_{k, min} \; = \; \left( \sum_i m_i \right)^2_{koncowe} - \;\; \left( \sum_i m_i \right)^2_{poczatkowe} [/math]

Energia kinetyczna pocisku jest "zużywana" na zwiększenie masy układu...

Przykład 1

Produkcja anty-protonów w reakcji

[math] p \; p \; \rightarrow p \; p \; p \; \bar{p} [/math]

Minimalna masa niezmiennicza: [math] \sum_i m_i = 4 \; m_p [/math]

Podstawiając otrzymujemy:

[math] E_{min} \; = \; \frac{ (4 \; m_p)^2 - ( m_p^2 + m_p^2) }{2 \; m_p } \; = \; 7 \; m_p [/math]

[math] E_{k, min} \; = \; E_{min} - m_p \; = \; 6\; m_p \qquad \approx 5.63\;GeV [/math]

Wiązki przeciwbieżne

Dla wiązek przeciwbieżnych (dla uproszczenia przyjmujemy [math]E_1 = E_2[/math], [math]m_1 = m_2[/math]) mamy

[math] s_{min} \; \approx \; 4 \; E_1 \; E_2 \; = \; 4 \; E_{min}^2 [/math]

Minimalna energia wiązki przy której możliwe jest wyprodukowanie danego stanu dana jest przez

[math] E_{min} \; = \; \frac{1}{2}\sqrt{s_{min}} \; = \; \frac{1}{2}\sqrt{(\sum_i m_i)^2} \; = \; \frac{1}{2} \sum_i m_i [/math]

Minimalna energia kinetyczna

[math] E_{k,min} \; = \; \frac{1}{2} \left[ \left( \sum_i m_i \right)_{koncowe} - \;\; \left( \sum_i m_i \right)_{poczatkowe} \right] [/math]

Należy zauważyć, że energia rośnie liniowo z masą produkowanego stanu (na tarczy: kwadratowo!). Dużo niższe energie potrzebne są do wytworzenia tego samego stanu w zderzeniach wiązek przeciwbieżnych

Przykład 1 (c.d.)

Produkcja anty-protonów w reakcji

[math] p \; p \; \rightarrow p \; p \; p \; \bar{p} [/math]

Minimalna energia kinetyczna protonów w przypadku zderzenia wiązeg przeciwbieżnych

[math] E_{k, min} \; = \; \frac{1}{2} \left[ 4 m_p - 2 m_p \right] \; = m_p \qquad \approx 0.94\;GeV [/math]

(na tarczy: 5.63 GeV)

Przykład 2

Produkcja par bozonów [math]W^+ W^-[/math] w zderzeniach elektron-pozyton:

[math] e^+ \; e^- \rightarrow W^+ \; W^- [/math]

Gdybyśmy chcieli użyć pojedyńczej wiązki pozytonów i tarczy, minimalna energia wiązki wyniosłaby ([math]m_W = 80.4\; GeV[/math], [math]m_e = 0.000511\; GeV [/math])

[math] E_{min} \; = \; \frac{ (2 \; m_W)^2 - ( m_e^2 + m_e^2) }{2 \; m_e } \; \approx \; \frac{ 2 \; m_W^2}{m_e} \qquad \approx 25\;300\;000\;GeV[/math]

Tak ogromnych energii nie jesteśmy w stanie wytworzyć ! Dotychczas uzyskiwane wiązki pozytonów miały energie [math]E \approx 100 \; GeV[/math], projektowane przyszłe akceleratory mogą dostarczyć energii [math]E \approx 1000 - 5000 \; GeV[/math]...

Dla przeciwbieżnych wiązek elektron-pozyton:

[math] E_{min} \; = \; \frac{1}{2}\sqrt{s_{min}} \; = \; \frac{1}{2}\sqrt{\left(\sum_i m_i\right)^2} \; = \; \frac{1}{2}\sum_i m_i \; = \; m_W \qquad \approx 80\;GeV[/math]

Takie energie to już nie problem (uzyskiwane były w akceleratorze LEP)...