Matematyka II NI/Algebra liniowa
Układy równań liniowych algebraicznych - metoda eliminacji Gaussa
Zadanie 1
Rozwiąż układ równań
[math] \left\{ \begin{matrix} 2x & + & 3y & + & z& =2 \\ 3x & + & 2y & - & z& =3 \\ x & + & 2y & + & 2z& =2 \end{matrix} \right. [/math]
Używając pierwszego równania eliminujemy [math]x[/math] z pozostałych [math] \left\{ \begin{matrix} 2x & + & 3y & + & z& =&2 \\ & & y & + & z& =&0 \\ & & y & + & 3z& =&-4 \end{matrix} \right. [/math] , używając drugiej równości eliminujemy [math]y[/math] z trzeciej równości [math] \left\{ \begin{matrix} 2x & + & 3y & + & z& =&2 \\ & & y & + & z& =&0 \\ & & & & z& =&-2 \end{matrix} \right. [/math] . Wstawiając tak otrzymaną wartość [math]z[/math] do dwóch pierwszych równań mamy [math] \left\{ \begin{matrix} 2x & + & 3y & & & = &4 \\ & & y & & & = &2 \\ & & & & z& = &-2 \end{matrix} \right. [/math] , i ostatecznie [math] \left\{ \begin{matrix} x & =&-1 \\ y & =& 2 \\ z &=&-2 \end{matrix} \right. [/math] .
Zadanie 2
Rozwiąż układ równań
[math] \left\{ \begin{matrix} y+z =5 \\ x+z =4 \\ x+y =2 \end{matrix} \right. [/math]
[math] \left\{ \begin{matrix} y+z =5 \\ x+z =4 \\ x+y =3 \end{matrix} \right. \iff \left\{ \begin{matrix} y+z =5 \\ x+z =4 \\ x-z =-2 \end{matrix} \right. \iff \left\{ \begin{matrix} y+z =5 \\ x+z =4 \\ x = 1 \end{matrix} \right. \iff \left\{ \begin{matrix} y =2 \\ z = 3 \\ x = 1 \end{matrix} \right. [/math]
Zadanie 3
Rozwiąż układ równań
[math] \left\{ \begin{matrix} x+y+z+t =1 \\ 2x+3y+4z+3t =2 \\ x-z =1 \\ y+2z+t=0 \end{matrix} \right. [/math]
[math] \left\{ \begin{matrix} x+y+z+t =1 \\ 2x+3y+4z+3t =2 \\ x-z =1 \\ y+2z+t=0 \end{matrix} \right. \iff \left\{ \begin{matrix} x+y+z+t =1 \\ y+2z+t=0 \\ y+2z+t=0 \\ y+2z+t=0 \end{matrix} \right. \iff \left\{ \begin{matrix} x+y+z+t =1 \\ y+2z+t=0 \end{matrix} \right. \iff \left\{ \begin{matrix} x-z =1 \\ y+2z+t=0 \end{matrix}\right. [/math]
Rozwiązaniem jest [math]\{(x,y,z,t)\in \mathbb{R}^4 \, : \, x=1+z, \, y=-2z-t, \, z\in\mathbb{R} , \, t\in\mathbb{R}\}[/math]
Zadanie 4
Rozwiąż układ równań
[math] \left\{ \begin{matrix} x+y+z =3 \\ x+y+2z =4 \\ x+y+3z =5 \end{matrix} \right. [/math]
[math] \left\{ \begin{matrix} x+y+z =3 \\ x+y+2z =4 \\ x+y+3z =5 \end{matrix} \right. \iff \left\{ \begin{matrix} x+y+z =3 \\ z =1 \\ z =1 \end{matrix} \right.\iff \begin{matrix} x =-y+2 \\ z =1 \end{matrix} [/math]
Rozwiązaniem jest [math]\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \, : \, x=-y+2, \, z=1 , \, y\in\mathbb{R}\}[/math]
Zadanie 5
Rozwiąż układ równań
[math] \left\{ \begin{matrix} 3x+y+z =1 \\ x+y+2z =-2 \\ x-y-3z =-9 \end{matrix} \right. [/math]
[math] \left\{ \begin{matrix} 3x+y+z =1 &\\ x+y+2z =-2 & \\ x-y-3z =-9 & \end{matrix} \right.\iff \left\{ \begin{matrix} -2y-5z =7 &\\ x+y+2z =-2 & * \\ -2y-5z =-7 & \end{matrix} \right.\iff \left\{ \begin{matrix} -2y-5z =7 & **\\ x+y+2z =-2 & * \\ 7=-7 &\end{matrix} \right. [/math]
Gdzie gwiazdkami oznaczyliśmy równanie, którego użyliśmy w kolejnych krokach. Układ nie ma rozwiązań.
Operacje algebraiczne na macierzach
Uwagi Na wykładzie pokazane będzie, że
a) mnożenie macierzy jest łączne
b) mnożenie macierzy jest rozdzielne względem dodawania.
Zadanie 1
Oblicz [math] 2 \left[ \begin{matrix} -1 & 2 \\ 4 & 5 \end{matrix} \right]+ \left[ \begin{matrix} 2 & -2 \\ 1 & -1 \end{matrix} \right] 7 [/math].
[math] 2 \left[ \begin{matrix} -1 & 2 \\ 4 & 5 \end{matrix} \right]+ \left[ \begin{matrix} 2 & -2 \\ 1 & -1 \end{matrix} \right] 7 = \left[ \begin{matrix} -2 & 4 \\ 8 & 10 \end{matrix} \right]+ \left[ \begin{matrix} 14 & -14 \\ 7 & -7 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 12 & -10 \\ 15 & 3 \end{matrix} \right] [/math].
Zadanie 2
Pomnóż macierz [math] \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} \right] [/math] przez macierz [math] \left[ \begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix} \right] [/math].
[math] \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} a+2d+3g & b+2e+3h & c+2f+3i \\ 4a+5d+6g & 4b+5e+6h & 4c+5f+6i \\ 7a+8d+9g & 7b+8e+9h & 7c+8f+9i \end{matrix} \right] [/math]
Zadanie 3
Niech [math] A=\left[ \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{matrix} \right] [/math], [math]B= \left[ \begin{matrix} 7 & 8 & 9 \\ -1 & -2 & -3 \end{matrix} \right] [/math]. Oblicz AB i BA
[math] \left[ \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 7 & 8 & 9 \\ -1 & -2 & -3 \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} 7-2 & 8-4 & 9-6\\ 21-4 & 24-8 & 27-12 \\ 35-6 & 40-12 & 45-8 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 5 & 4 & 3 \\ 17 & 16 & 15 \\ 29 & 28 & 37 \end{matrix} \right] [/math]
[math] \left[ \begin{matrix} 7 & 8 & 9 \\ -1 & -2 & -3 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 7+24+45 & 14+32 +54 \\ -1-6-15 & -2-8-18 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 76 & 100 \\ -22 & -28 \end{matrix} \right] [/math]
Zadanie 4
Niech [math] |a\gt :=\left[ \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right] [/math], [math]\lt b|:= \left[ \begin{matrix} 2 & 3 & 1 \\ \end{matrix} \right] [/math]. Oblicz [math]\lt b|a\gt [/math] i [math]|a\gt \lt b|[/math].
[math] \lt b|a\gt =2+6+3=11 [/math]
[math] |a\gt \lt b|= \left[ \begin{matrix} 2 & 3 & 1 \\ 4 & 6 & 2 \\ 6 & 9 & 3 \end{matrix} \right] [/math]
Zadanie 5
Oblicz
[math] \left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right]^3 [/math].
[math] \left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right]^3= \left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right]^2\left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right] [/math].
