Ćwiczenia 3: Różnice pomiędzy wersjami

Z Brain-wiki
 
(Nie pokazano 11 wersji utworzonych przez 2 użytkowników)
Linia 44: Linia 44:
  
 
===Badanie własności okien===
 
===Badanie własności okien===
====Zadanie 1: Własności różnych okien====
+
====Zadanie 1: Własności różnych okien i szerokość prążka w widmie  ====
* Proszę wykreślić okienko Bartletta o długości 100 i 101 próbek.
+
Widmo amplitudowe w skali dB sygnału <math>s</math>, jego transformata Fouriera <math>S</math>:
+
: <math> P_[dB] = 20*np.log10( abs(S) ) </math>
* Proszę wykreślić widmo amplitudowe okna Bartletta o długości 101 próbek w skali [[wikipl:Decybel|dB]] (<tt>20*np.log10(.)</tt>), raz korzystając z fft o naturalnej długości okna <tt>W = fft(okno)</tt>, a drugi raz korzystając z przedłużenia zerami (w tym przypadku dostaniemy interpolowaną wersję widma) <tt>W = fft(okno, 2048)</tt>. Proszę zwrócić uwagę na charakterystyczne elementy: szerokość piku głównego, szybkość zanikania listków bocznych, zera.
 
  
Przydatna może być tu funkcja do obliczania widma (proszę przeanalizować kod i w razie wątpliwości poprosić o objaśnienie):
+
Proszę zwrócić uwagę na charakterystyczne elementy: szerokość piku głównego, szybkość zanikania listków bocznych, zera.
<source lang = python>
 
import numpy as np
 
from numpy.fft import  fft, fftfreq, fftshift
 
  
def widmo_dB(s, N_fft, F_samp):
+
Posługując się poniższym kodem (należy uzupełnić brakujące fragmenty kodu):
    S = fft(s,N_fft)/np.sqrt(N_fft)
 
    S_dB = 20*np.log10(np.abs(S))
 
    F = fftfreq(N_fft, 1.0/F_samp)
 
    return (fftshift(S_dB),fftshift(F))
 
</source>
 
  
+
* Wygeneruj sinusoidę o częstości <math>f=10.2</math> Hz fazie 0, czasie trwania <math>T=1</math> s, i częstości próbkowania <math>Fs=100</math> Hz
* A jakie własności ma poznane na poprzednich zajęciach okno prostokątne? Najprościej można je zrobić tak: <tt>window = np.ones(N)</tt>. Proszę wykonać analogiczne rysunki jak dla okna Bartletta.
+
* Wygeneruj okno prostokątne o długości równej długości sinusoidy.
 +
* Zokienkuj sygnał mnożąc sinusoidę przez okienko
 +
* Wykreśl zokienkowany sygnał, widmo zokienkowanego sygnału, widmo okienka
 +
* Powtórz powyższe kroki dla okienek Bartletta, Hanna, Hamminga i Blackmana.  
  
* Proszę porównać przebiegi czasowe i własności widmowe pozostałych okien dostępnych w <tt>scipy.signal</tt>, m.in.:
+
<source lang = python>
**blackman(M)
+
#!/usr/bin/env python3
**hamming(M)
+
# -*- coding: utf-8 -*-
**hanning(M)
 
**kaiser(M, beta)
 
  
<!--
+
from numpy.fft import rfft, rfftfreq
# -*- coding: utf-8 -*-
+
import numpy as np
 
 
import pylab as py
 
import pylab as py
import numpy as np
+
import scipy.signal as ss
from numpy.fft import  fft, fftfreq, fftshift
+
 
+
def widmo_dB(s, N_fft, F_samp):
+
    '''
def sin(f = 1, T = 1, Fs = 128, phi =0 ):
+
    funkcja pomocnicza do obliczania widma amplitudowego w skali decybelowej
     '''sin o zadanej częstości (w Hz), długości, fazie i częstości próbkowania
+
    '''
     Domyślnie wytwarzany jest sygnał reprezentujący
+
    S = rfft(s,N_fft)
     1 sekundę sinusa o częstości 1Hz i zerowej fazie próbkowanego 128 Hz
+
    S_dB = ...
 +
    F = rfftfreq(N_fft, ...)
 +
     return (S_dB,F)
 +
   
 +
def rysuj_wlasnosci(s, okno, N_fft, F_samp,tytul):
 +
     '''
 +
     funkcja implementująca polecenia z zadania
 
     '''
 
     '''
+
     okno = ...# znormalizuj okienko
     dt = 1.0/Fs
+
     s_okienkowany = ...# okienkujemy sygnał
     t = np.arange(0,T,dt)
+
      
    s = np.sin(2*np.pi*f*t + phi)
+
     py.figure()
     return (s,t)
+
     py.subplot(2,2,1)
def widmo_dB(s, N_fft , F_samp):
+
     py.plot(t,okno)
     S = fft(s,N_fft)/np.sqrt(N_fft)
+
     py.title(tytul)
     S_dB = 20*np.log10(np.abs(S))
 
     F = fftfreq(N_fft, 1/F_samp)
 
     return (fftshift(S_dB),fftshift(F))
 
  
F_samp = 100.0
+
    py.subplot(2,2,2)
(x,t) = sin(f = 10.2, T =1.0, Fs = F_samp, phi = 0)
+
    S_okienka_zera, skalaF_zera = ...# oblicz widmo okienka z dopełnieniem zerami do 1024
 +
    py.plot(skalaF_zera,S_okienka_zera)
  
#
+
    S_okienka, skalaF = ...# oblicz widmo okienka dla oryginalnej jego długości
py.subplot(3,3,1)
+
    py.plot(skalaF,S_okienka,'r.-')
okno = np.ones(len(x))/np.sqrt(len(x))
+
    py.title('widmo okienka')
s = x*okno
+
    py.ylim((-90,25))
py.plot(t,s)
+
   
py.title(u' sygnał okienkowany prostokątem')
+
    py.subplot(2,2,3)
#
+
    py.plot(t,s_okienkowany)
py.subplot(3,3,2)
+
    py.title('sygnał okienkowany')
(S,F) = widmo_dB(s,len(s),F_samp)  
+
   
py.plot(F,S)
+
    py.subplot(2,2,4)
py.title(u'widmo sygnału okienkowanego prostokątem')
+
    S_okienkowany_zera, skalaF_zera = ... # oblicz widmo sygnału okienkowanego z dopełnieniem zerami do 1024
py.ylim((-50,10))
+
    S_okienkowany, skalaF =  ...# oblicz widmo sygnału okienkowanego dla oryginalnej jego długości
#widmo okna
+
    py.plot(skalaF_zera,S_okienkowany_zera)
 +
    py.plot(skalaF,S_okienkowany,'r.-')
 +
    py.plot([f,f],[-90,25],'r')
 +
    py.ylim((-90,25))
 +
    py.title('widmo sygnału okienkowanego')
  
(Okno, F) = widmo_dB(okno,1024,F_samp)
+
 
py.subplot(3,3,3)
 
py.plot(F,Okno)
 
py.title('widmo prostokąta')
 
  
###
+
# ustawienia parametrów
#
+
   
py.subplot(3,3,4)
+
Fs = 100
okno = np.blackman(len(x))
+
dt = 1/Fs
s = x*okno
+
N_fft =1024
py.plot(t,s)
 
py.title(u' sygnał okienkowany Blackmanem')
 
#
 
py.subplot(3,3,5)
 
(S,F) = widmo_dB(s,len(s),F_samp)
 
py.plot(F,S)
 
py.title(u'widmo sygnału okienkowanego Blackmanem')
 
py.ylim((-50,10))
 
  
#widmo okna
+
f = 10.2
 +
T = 1
  
(Okno, F) = widmo_dB(okno,1024,F_samp)
+
t = np.arange(0,T,dt)
py.subplot(3,3,6)
+
s = np.sin(2*np.pi*f*t) # tu mamy sygnał do testowania okienek
py.plot(F,Okno)
 
py.title('widmo Blackmana')
 
#
 
py.subplot(3,3,7)
 
okno = np.hamming(len(x))
 
s = x*okno
 
py.plot(t,s)
 
py.title(u' sygnał okienkowany Hamming')
 
#
 
py.subplot(3,3,8)
 
(S,F) = widmo_dB(s,len(s),F_samp)
 
py.plot(F,S)
 
py.title(u'widmo sygnału okienkowanego Hamming')
 
py.ylim((-50,10))
 
  
#widmo okna
+
# ilustrujemy własności poszczególnych okienek
 +
M = len(s)
 +
okno = np.ones(M)
 +
rysuj_wlasnosci(s, okno, N_fft, Fs,'prostokąt')
  
(Okno, F) = widmo_dB(okno,1024,F_samp)
+
okno = ss.hanning(M)#
py.subplot(3,3,9)
+
rysuj_wlasnosci(s, okno, N_fft, Fs,'hanning')
py.plot(F,Okno)
 
py.title('widmo Hamming')
 
  
 +
okno = ss.hamming(M)#
 +
rysuj_wlasnosci(s, okno, N_fft, Fs,'hamming')
  
py.show()
+
okno = ss.blackman(M)#
-->
+
rysuj_wlasnosci(s, okno, N_fft, Fs,'blackman')
 +
</source>
  
===Własności okien w działaniu===
 
====Zadanie 2: Okienko i szerokość prążka w widmie ====
 
* Wygeneruj sinusoidę o częstości <math>f=10.2</math> Hz fazie 0, czasie trwania <math>T=1</math> s, i częstości próbkowania <math>Fs=100</math> Hz
 
* Wygeneruj okno prostokątne o długości równej długości sinusoidy.
 
* Zokienkuj sygnał mnożąc sinusoidę przez okienko
 
* Wykreśl zokienkowany sygnał, widmo zokienkowanego sygnału, widmo okienka
 
* Powtórz powyższe kroki dla okienek Bartletta, Hanna, Hamminga i Blackmana. Przy wykreślaniu widma zokienkowanego sygnału ustal zakres osi pionowej na [-50 10] (zastosuj <tt>py.ylim((-50,10)</tt>)
 
  
* Proszę porównać widma otrzymane dla poszczególnych typów okienek.
 
  
 
<!--
 
<!--
Linia 195: Linia 166:
  
 
F_samp = 100.0
 
F_samp = 100.0
(x1,t) = sin(f = 10.2, T =1.0, Fs = F_samp, phi = 0)
+
(x,t) = sin(f = 10.2, T =1.0, Fs = F_samp, phi = 0)
  
(x2,t) = sin(f = 11.4+0.5*1, T =1.0, Fs = F_samp, phi = 0)
 
x = x1 + 1*x2 #0.1*
 
 
#
 
#
 
py.subplot(3,3,1)
 
py.subplot(3,3,1)
Linia 263: Linia 232:
  
 
==== Zadanie 3: Wpływ okienkowania na wykrywalność składowych o różnej amplitudzie ====
 
==== Zadanie 3: Wpływ okienkowania na wykrywalność składowych o różnej amplitudzie ====
* Wygeneruj sygnał będący sumą dwóch sinusoid o fazie 0, czasie trwania <math>T=1</math> s, i częstości próbkowania <math>Fs=100</math> Hz. Jedna niech ma częstość <math>f=10.2</math> Hz. Częstość drugiej, w kolejnych zapuszczeniach skryptu proszę zmieniać od 11,4 do 16,4 Hz z krokiem co 0,5 Hz.
+
* Wygeneruj sygnał będący sumą dwóch sinusoid o fazie 0, czasie trwania <math>T=1</math> s, i częstości próbkowania <math>Fs=100</math> Hz. Jedna niech ma częstość <math>f=10.2</math> Hz. Częstość drugiej, niech zmienia się  od 11,4 do 15,5 Hz w 9 krokach
 
* Jaki jest wpływ okienek na możliwości rozróżnienia dwóch częstości?
 
* Jaki jest wpływ okienek na możliwości rozróżnienia dwóch częstości?
 
* Proszę powtórzyć iteracje dla przypadku gdy druga z sinusoid ma 10-krotnie niższą amplitudę.
 
* Proszę powtórzyć iteracje dla przypadku gdy druga z sinusoid ma 10-krotnie niższą amplitudę.
  
<!--
+
<source lang = python>
 +
#!/usr/bin/env python3
 
# -*- coding: utf-8 -*-
 
# -*- coding: utf-8 -*-
+
 
 +
from numpy.fft import rfft, rfftfreq
 +
import numpy as np
 
import pylab as py
 
import pylab as py
import numpy as np
+
import scipy.signal as ss
from numpy.fft import  fft, fftfreq, fftshift
+
 
+
def widmo_dB(s, N_fft, F_samp):
+
    '''
def sin(f = 1, T = 1, Fs = 128, phi =0 ):
+
    funkcja pomocnicza
     '''sin o zadanej częstości (w Hz), długości, fazie i częstości próbkowania
+
    '''
     Domyślnie wytwarzany jest sygnał reprezentujący
+
    S = rfft(s,N_fft)
     1 sekundę sinusa o częstości 1Hz i zerowej fazie próbkowanego 128 Hz
+
    S_dB = 20 * np.log10(np.abs(S))
 +
    F = rfftfreq(N_fft, 1.0/F_samp)
 +
     return (S_dB,F)
 +
   
 +
def rysuj_wlasnosci(t, F_samp, okno, tytul ):
 +
     '''
 +
     prezentacja własności
 
     '''
 
     '''
+
    py.figure()
     dt = 1.0/Fs
+
     f = 10.2
     t = np.arange(0,T,dt)
+
    okno = okno/np.linalg.norm(okno)
    s = np.sin(2*np.pi*f*t + phi)
+
     k = 1
    return (s,t)
+
    for f2 in np.linspace(11.4,15.5,9):
def widmo_dB(s, N_fft , F_samp):
+
        s = ... # suma sinusoid o częstościach f i f2
    S = fft(s,N_fft)/np.sqrt(N_fft)
+
        s_okienkowany = s* okno
    S_dB = 20*np.log10(np.abs(S))
+
        py.subplot(3,3,k)
    F = fftfreq(N_fft, 1/F_samp)
+
        py.title(str(f2))
    return (fftshift(S_dB),fftshift(F))
+
        S_okienkowany, skalaF = widmo_dB(s_okienkowany,len(s), Fs)
 +
        py.plot(skalaF,S_okienkowany)
 +
        py.plot([f,f],[-50,25],'r')
 +
        py.plot([f2,f2],[-50,25],'r')
 +
        py.ylim((-50,25))
 +
        k+=1
 +
     
 +
Fs = 100
 +
dt = 1/Fs
 +
T = 1
 +
t = np.arange(0,T,dt)
  
F_samp = 100.0
+
M = len(t)
(x1,t) = sin(f = 10.2, T =1.0, Fs = F_samp, phi = 0)
+
okno = np.ones(M)
 
+
rysuj_wlasnosci(t,Fs, okno,'prostokąt')
(x2,t) = sin(f = 11.4+0.5*1, T =1.0, Fs = F_samp, phi = 0)
 
x = x1 + 1*x2 #0.1*
 
#
 
py.subplot(3,3,1)
 
okno = np.ones(len(x))/np.sqrt(len(x))
 
s = x*okno
 
py.plot(t,s)
 
py.title(u' sygnał okienkowany prostokątem')
 
#
 
py.subplot(3,3,2)
 
(S,F) = widmo_dB(s,len(s),F_samp)
 
py.plot(F,S)
 
py.title(u'widmo sygnału okienkowanego prostokątem')
 
py.ylim((-50,10))
 
#widmo okna
 
  
(Okno, F) = widmo_dB(okno,1024,F_samp)
+
okno = ss.hanning(M)#
py.subplot(3,3,3)
+
rysuj_wlasnosci(t,Fs, okno,'hanning')
py.plot(F,Okno)
 
py.title('widmo prostokąta')
 
  
###
+
okno = ss.hamming(M)#
#
+
rysuj_wlasnosci(t,Fs, okno,'hamming')
py.subplot(3,3,4)
 
okno = np.blackman(len(x))
 
s = x*okno
 
py.plot(t,s)
 
py.title(u' sygnał okienkowany Blackmanem')
 
#
 
py.subplot(3,3,5)
 
(S,F) = widmo_dB(s,len(s),F_samp)
 
py.plot(F,S)
 
py.title(u'widmo sygnału okienkowanego Blackmanem')
 
py.ylim((-50,10))
 
  
#widmo okna
+
okno = ss.blackman(M)#
 
+
rysuj_wlasnosci(t,Fs, okno,'blackman')
(Okno, F) = widmo_dB(okno,1024,F_samp)
+
</source>
py.subplot(3,3,6)
 
py.plot(F,Okno)
 
py.title('widmo Blackmana')
 
#
 
py.subplot(3,3,7)
 
okno = np.hamming(len(x))
 
s = x*okno
 
py.plot(t,s)
 
py.title(u' sygnał okienkowany Hamming')
 
#
 
py.subplot(3,3,8)
 
(S,F) = widmo_dB(s,len(s),F_samp)
 
py.plot(F,S)
 
py.title(u'widmo sygnału okienkowanego Hamming')
 
py.ylim((-50,10))
 
 
 
#widmo okna
 
 
 
(Okno, F) = widmo_dB(okno,1024,F_samp)
 
py.subplot(3,3,9)
 
py.plot(F,Okno)
 
py.title('widmo Hamming')
 
 
 
 
 
py.show()
 
--
 
  
 
===Okienkować możemy też w częstości===
 
===Okienkować możemy też w częstości===
Linia 370: Linia 304:
  
 
* Koncepcyjnie najprostszym filtrem jest operacja przemnożenia widma sygnału przez okienko w dziedzinie częstości a następnie zastosowanie odwrotnej transformaty Fouriera. Co stanie się z sygnałem w dziedzinie czasu, a co w dziedzinie częstości, jeśli chcielibyśmy przefiltrować go pasmowo przy użyciu filtra pasmowo przepustowego z poprzedniego punktu?
 
* Koncepcyjnie najprostszym filtrem jest operacja przemnożenia widma sygnału przez okienko w dziedzinie częstości a następnie zastosowanie odwrotnej transformaty Fouriera. Co stanie się z sygnałem w dziedzinie czasu, a co w dziedzinie częstości, jeśli chcielibyśmy przefiltrować go pasmowo przy użyciu filtra pasmowo przepustowego z poprzedniego punktu?
 +
 +
<!--
 +
# -*- coding: utf-8 -*-
 +
 +
import pylab as py
 +
import numpy as np
 +
from numpy.fft import  irfft,fftshift
 +
 +
S= np.zeros(128)
 +
S[21:28] = 1
 +
 +
s = fftshift(irfft(S))
 +
py.subplot(2,1,1)
 +
F = range(len(S))
 +
py.stem(F,S)
 +
py.subplot(2,1,2)
 +
t = range(len(s))
 +
py.plot(t,s)
 +
py.show()
 +
-->
  
 
====Zadanie 5: Porównanie działania najprostszych filtrów fft na biały szum====
 
====Zadanie 5: Porównanie działania najprostszych filtrów fft na biały szum====
Linia 396: Linia 350:
 
|}
 
|}
  
 +
<!--
 +
# -*- coding: utf-8 -*-
 +
 +
import pylab as py
 +
import numpy as np
 +
from numpy.fft import  irfft,rfft,fftshift
 +
 +
 +
szum = np.random.randn(128*2-2)
 +
SZum = rfft(szum)
 +
 +
S_prost= np.zeros(128)
 +
S_prost[20:30]=1
 +
s_prost = fftshift(irfft(S_prost))
 +
 +
t = np.arange(len(s_prost))
 +
F = np.arange(len(S_prost))
 +
S_gauss = np.exp(-((F-25.0)/5)**2)
 +
s_gauss = fftshift(irfft(S_gauss))
 +
 +
py.subplot(4,2,1)
 +
py.stem(F,S_prost)
 +
 +
py.subplot(4,2,3)
 +
py.plot(t,s_prost)
 +
 +
 +
py.subplot(4,2,5)
 +
py.plot(t,szum)
 +
 +
py.subplot(4,2,7)
 +
filtrowanySygnal = fftshift(irfft(SZum*S_prost))
 +
py.plot(filtrowanySygnal)
 +
 +
 +
 +
py.subplot(4,2,2)
 +
py.stem(F,S_gauss)
 +
 +
py.subplot(4,2,4)
 +
py.plot(t,s_gauss)
 +
 +
 +
py.subplot(4,2,6)
 +
py.plot(t,szum)
 +
 +
py.subplot(4,2,8)
 +
filtrowanySignal = fftshift(irfft(SZum*S_gauss))
 +
py.plot(filtrowanySignal)
 +
 +
py.show()
 +
-->
 +
 +
=Co musimy z tego zapamiętać?=
 +
* Jeśli nic nie zrobimy z sygnałem, to okienkujemy go okienkiem prostokątnym.
 +
* Okienkowanie w czasie odpowiada splotowi transformaty sygnału z transformatą okienka.
 +
* Okienka różnią się szerokością piku głównego i szybkością zanikania listków bocznych.
 +
* Obecność listków prowadzi do "wycieku" mocy z piku głównego.
 +
* Wolno zanikające listki boczne mogą utrudniać interpretację składu częstotliwościowego sygnału.
  
 
[[Analiza_sygnałów_-_ćwiczenia]]/Fourier_3
 
[[Analiza_sygnałów_-_ćwiczenia]]/Fourier_3

Aktualna wersja na dzień 20:59, 5 lis 2016

Analiza_sygnałów_-_ćwiczenia/Fourier_3

Twierdzenie o splocie

Przypomnijmy sobie poznane na wykładzie Twierdzenie o splocie:

[math] g(t)=\left(s * h\right)(t)\quad \Rightarrow \quad G(f)=S(f)\cdot H(f) [/math]

To twierdzenie działa też w drugą stronę:

[math] G(f)=\left(S * H\right)(f)\quad \Rightarrow \quad g(t)=s(t)\cdot h(t) [/math]

W praktyce oznacza to tyle, że jeśli w jednej dziedzinie jakieś dwa sygnały przez siebie przemnożymy, to w drugiej dziedzinie transformaty tych sygnałów splatają się. Własność ta ma bardzo ważne konsekwencje, np. przy estymacji widma skończonego fragmentu sygnału. Dlaczego?

Wyobraźmy sobie, że mamy nieskończenie długi sygnał. Oprócz niego mamy też funkcję, która jest niezerowa tylko na skończonym odcinku. Funkcję taką będziemy nazywać oknem. Pobranie fragmentu sygnału można wyobrazić sobie jako efekt pomnożenia badanego sygnału przez okno. Ta operacja mnożenia w dziedzinie czasu, w dziedzinie częstości odpowiada splotowi widma sygnału z widmem okna. Aby uzyskać sygnał o skończonej długości odrzucamy wyzerowane odcinki. FFT widzi taki skończony odcinek jako periodyczne przedłużenie. Widać, że w praktyce estymowania widma zawsze mamy do czynienia z widmami będącymi splotem widma sygnału i widma okna, ponieważ zawsze pracujemy z sygnałami o skończonej długości.

Zastosowania

  • pozwala na zamianę splotu na mnożenie
  • daje wgląd w okienkowanie
  • łatwiej można zrozumieć działanie filtrów

Okienka

Wstęp

  • Jakie są dostępne okna w scipy.signal? Proszę odwiedzić stronę z dokumentacją.
  • Jak wyglądają te okienka?
from scipy import signal
w = signal.bartlett(10)
plt.plot(w,'.')
plt.show()

Badanie własności okien

Zadanie 1: Własności różnych okien i szerokość prążka w widmie

Widmo amplitudowe w skali dB sygnału [math]s[/math], jego transformata Fouriera [math]S[/math]:

[math] P_[dB] = 20*np.log10( abs(S) ) [/math]

Proszę zwrócić uwagę na charakterystyczne elementy: szerokość piku głównego, szybkość zanikania listków bocznych, zera.

Posługując się poniższym kodem (należy uzupełnić brakujące fragmenty kodu):

  • Wygeneruj sinusoidę o częstości [math]f=10.2[/math] Hz fazie 0, czasie trwania [math]T=1[/math] s, i częstości próbkowania [math]Fs=100[/math] Hz
  • Wygeneruj okno prostokątne o długości równej długości sinusoidy.
  • Zokienkuj sygnał mnożąc sinusoidę przez okienko
  • Wykreśl zokienkowany sygnał, widmo zokienkowanego sygnału, widmo okienka
  • Powtórz powyższe kroki dla okienek Bartletta, Hanna, Hamminga i Blackmana.
#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from numpy.fft import rfft, rfftfreq
import numpy as np
import pylab as py
import scipy.signal as ss

def widmo_dB(s, N_fft, F_samp):
    '''
    funkcja pomocnicza do obliczania widma amplitudowego w skali decybelowej
    '''
    S = rfft(s,N_fft)
    S_dB = ...
    F = rfftfreq(N_fft, ...)
    return (S_dB,F)
    
def rysuj_wlasnosci(s, okno, N_fft, F_samp,tytul):
    '''
    funkcja implementująca polecenia z zadania
    '''
    okno = ...# znormalizuj okienko
    s_okienkowany = ...# okienkujemy sygnał
    
    py.figure()
    py.subplot(2,2,1)
    py.plot(t,okno)
    py.title(tytul)

    py.subplot(2,2,2)
    S_okienka_zera, skalaF_zera = ...# oblicz widmo okienka z dopełnieniem zerami do 1024 
    py.plot(skalaF_zera,S_okienka_zera)

    S_okienka, skalaF = ...# oblicz widmo okienka dla oryginalnej jego długości
    py.plot(skalaF,S_okienka,'r.-')
    py.title('widmo okienka')
    py.ylim((-90,25))  
    
    py.subplot(2,2,3)
    py.plot(t,s_okienkowany)
    py.title('sygnał okienkowany')
    
    py.subplot(2,2,4)
    S_okienkowany_zera, skalaF_zera = ... # oblicz widmo sygnału okienkowanego z dopełnieniem zerami do 1024 
    S_okienkowany, skalaF =  ...# oblicz widmo sygnału okienkowanego dla oryginalnej jego długości
    py.plot(skalaF_zera,S_okienkowany_zera)
    py.plot(skalaF,S_okienkowany,'r.-')
    py.plot([f,f],[-90,25],'r')
    py.ylim((-90,25))
    py.title('widmo sygnału okienkowanego')

  

# ustawienia parametrów
    
Fs = 100
dt = 1/Fs
N_fft =1024

f = 10.2
T = 1

t = np.arange(0,T,dt)
s = np.sin(2*np.pi*f*t) # tu mamy sygnał do testowania okienek

# ilustrujemy własności poszczególnych okienek
M = len(s)
okno = np.ones(M)
rysuj_wlasnosci(s, okno, N_fft, Fs,'prostokąt')

okno = ss.hanning(M)#
rysuj_wlasnosci(s, okno, N_fft, Fs,'hanning')

okno = ss.hamming(M)#
rysuj_wlasnosci(s, okno, N_fft, Fs,'hamming')

okno = ss.blackman(M)#
rysuj_wlasnosci(s, okno, N_fft, Fs,'blackman')



Zadanie 3: Wpływ okienkowania na wykrywalność składowych o różnej amplitudzie

  • Wygeneruj sygnał będący sumą dwóch sinusoid o fazie 0, czasie trwania [math]T=1[/math] s, i częstości próbkowania [math]Fs=100[/math] Hz. Jedna niech ma częstość [math]f=10.2[/math] Hz. Częstość drugiej, niech zmienia się od 11,4 do 15,5 Hz w 9 krokach
  • Jaki jest wpływ okienek na możliwości rozróżnienia dwóch częstości?
  • Proszę powtórzyć iteracje dla przypadku gdy druga z sinusoid ma 10-krotnie niższą amplitudę.
#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from numpy.fft import rfft, rfftfreq
import numpy as np
import pylab as py
import scipy.signal as ss

def widmo_dB(s, N_fft, F_samp):
    '''
    funkcja pomocnicza
    '''
    S = rfft(s,N_fft)
    S_dB = 20 * np.log10(np.abs(S))
    F = rfftfreq(N_fft, 1.0/F_samp)
    return (S_dB,F)
    
def rysuj_wlasnosci(t, F_samp, okno, tytul ):
    '''
    prezentacja własności
    '''
    py.figure()
    f = 10.2
    okno = okno/np.linalg.norm(okno)
    k = 1
    for f2 in np.linspace(11.4,15.5,9):
        s = ... # suma sinusoid o częstościach f i f2
        s_okienkowany = s* okno
        py.subplot(3,3,k)
        py.title(str(f2))
        S_okienkowany, skalaF = widmo_dB(s_okienkowany,len(s), Fs)
        py.plot(skalaF,S_okienkowany)
        py.plot([f,f],[-50,25],'r')
        py.plot([f2,f2],[-50,25],'r')
        py.ylim((-50,25))
        k+=1
       
Fs = 100
dt = 1/Fs
T = 1
t = np.arange(0,T,dt)

M = len(t)
okno = np.ones(M)
rysuj_wlasnosci(t,Fs, okno,'prostokąt')

okno = ss.hanning(M)#
rysuj_wlasnosci(t,Fs, okno,'hanning')

okno = ss.hamming(M)#
rysuj_wlasnosci(t,Fs, okno,'hamming')

okno = ss.blackman(M)#
rysuj_wlasnosci(t,Fs, okno,'blackman')

Okienkować możemy też w częstości

Zadanie 4: Konstrukcja prostego filtru

S = np.zeros(128)
S[21] = 1
  • Proszę wykreślić okienko prostokątne w częstości, pozycja 1 w binach częstości od 21 do 30, a następnie wykreślić odpowiadający mu sygnał w dziedzinie czasu.
  • Koncepcyjnie najprostszym filtrem jest operacja przemnożenia widma sygnału przez okienko w dziedzinie częstości a następnie zastosowanie odwrotnej transformaty Fouriera. Co stanie się z sygnałem w dziedzinie czasu, a co w dziedzinie częstości, jeśli chcielibyśmy przefiltrować go pasmowo przy użyciu filtra pasmowo przepustowego z poprzedniego punktu?


Zadanie 5: Porównanie działania najprostszych filtrów fft na biały szum

  • Proszę wytworzyć sygnał będący białym szumem o długości 256 próbek.
  • Policz transformatę rzeczywistą tego sygnału.
  • Przygotuj dwa okna w dziedzinie częstości (w części dodatniej) o długości 129:
    • okno prostokątne z jedynkami w punktach 20:30
    • okno Gaussowskie np.exp(-((F-25.0)/5)**2)
  • Przemnóż widmo sygnału przez każde z okien i oblicz odwrotną transformatę Fouriera.
  • Zilustruj wyniki rysunkiem opisanym przez poniższą tabelkę:


okno prostokątne w częstości okno Gaussowskie w częstości
przebieg czasowy odwrotnej tr. Fouriera okna Prostokątnego przebieg czasowy odwrotnej tr. Fouriera okna Gaussowskiego
przebieg czasowy szumu przebieg czasowy szumu
Przebieg czasowy odwrotnej tr. Fouriera iloczynu widma szumu i okna prostokątnego Przebieg czasowy odwrotnej tr. Fouriera iloczynu widma szumu i okna Gaussowskiego


Co musimy z tego zapamiętać?

  • Jeśli nic nie zrobimy z sygnałem, to okienkujemy go okienkiem prostokątnym.
  • Okienkowanie w czasie odpowiada splotowi transformaty sygnału z transformatą okienka.
  • Okienka różnią się szerokością piku głównego i szybkością zanikania listków bocznych.
  • Obecność listków prowadzi do "wycieku" mocy z piku głównego.
  • Wolno zanikające listki boczne mogą utrudniać interpretację składu częstotliwościowego sygnału.

Analiza_sygnałów_-_ćwiczenia/Fourier_3