Ćwiczenia 4: Różnice pomiędzy wersjami

Z Brain-wiki
m
Linia 3: Linia 3:
  
 
==Funkcja autokorelacji==
 
==Funkcja autokorelacji==
<!--
 
=== Korelacja i funkcja korelacji===
 
Dla przypomnienia: zagadnienia te poruszane były na [[Twierdzenia_o_splocie_i_o_próbkowaniu_(aliasing)#Korelacja_i_splot|wykładzie]]
 
 
Kowariancja:
 
 
::<math>\sigma _{xy} = \int {(x(t)-\bar{x}) (y(t)-\bar{y}) dt }</math>
 
 
Kowariancja dwóch zmiennych losowych jest miarą tego na ile dwie zmienne losowe mają podobne tendencje do zmian.
 
Przykład: w zmiennej <tt>x</tt> parami podajemy wartość pierwszej i drugiej zmiennej
 
<tt>
 
x = np.array([[0, 2], [1, 1], [2, 0]]).T
 
</tt>
 
W tej postaci łatwo zauważyć, że gdy pierwsza zmienna rośnie to druga maleje:
 
>>> x
 
array([[0, 1, 2],
 
        [2, 1, 0]])
 
Tę własność naszych zmiennych wyrażają elementy pozadiagonalne macierzy kowariancji:
 
>>> np.cov(x)
 
array([[ 1., -1.],
 
      [-1.,  1.]])
 
 
 
 
Współczynnik normalizacyjny:
 
 
::<math>\sigma _{ss} = \int {\left(s(t)-\bar{s}\right)^2 dt}</math>
 
Implementacja w Pythonie: [http://docs.scipy.org/doc/numpy/reference/generated/numpy.cov.html#numpy.cov numpy.cov]
 
 
 
Korelacja
 
::<math>\rho _{xy}= \frac{\sigma _{xy}}{\sqrt{\sigma _{xx} \sigma _{yy}}}</math>
 
 
Implementacja w Pythonie: [http://docs.scipy.org/doc/numpy/reference/generated/numpy.corrcoef.html numpy.corrcoef]
 
 
 
=== Funkcja korelacji wzajemnej===
 
=== Funkcja korelacji wzajemnej===
 
-->
 
-->

Wersja z 15:21, 21 lis 2016

Analiza_sygnałów_-_ćwiczenia/AR_1


Funkcja autokorelacji

Funkcja korelacji wzajemnej

-->

Dla sygnału [math]x(t)[/math] możemy badać jak jest on do siebie podobny dla przesunięciaczasowego [math]\tau [/math]:

[math]\sigma _{xx}(\tau ) = \int {x(t) x(t+\tau ) dt} [/math]

Zwróćmy uwagę na związek funkcji korelacji:

  • z iloczynem skalarnym wektorów [math]x(t)[/math] i jego przesuniętej wersji [math]x(t +\tau)[/math]
  • ze splotem.

Dla skończonych dyskretnych sygnałów mamy estymatory korelacji:

[math]R_{xx}(m) = E\lbrace x_{n+m}x^*_n \rbrace = E\lbrace x_{n}x^*_{n-m} \rbrace [/math]

oraz kowariancji:

[math]C_{xx}(m) = E\lbrace (x_{n+m}-\bar{x}) (x_n-\bar{y})^*\rbrace = R_{xx}(m) - \bar{x} \bar{x}^*[/math]

Funkcję [math]R[/math] można estymować z jednej realizacji procesu (zakładamy jego ergodyczność):

[math] \widehat{R}_{xx}(m) = \left\lbrace \begin{array}{ll} \sum _{n=0}^{N-m-1}{x_{n+m} x_n^*} & m \ge 0 \\ \widehat{R}_{xx}^*(-m) & m \lt 0 \end{array} \right.[/math]

Zadanie: Jak obliczyć funkcję autokorelacji?

W pythonie mamy wydajną implementację funkcji autokorelacji (tak naprawdę to funkcji korelacji wzajemnej, której szczególnym przypadkiem jest autokorelacja) w: numpy.correlate. Zanim jednak przejdziemy do rutynowego korzystania z tej funkcji warto sobie wyrobić pewną intuicję co do jej działania. Możemy sobie to działanie wyobrazić tak, że tworzymy dwie kopie naszego sygnału wydłużone zerami. jedna kopia ma oryginalny sygnał po środku, a w drugiej będzie on stopniowo przesuwany od pozycji takiej w której z nieruchomą kopią ma jeden punkt wspólny z lewej stron do takiej, kiedy ma jeden punkt wspólny z prawej strony. W każdym położeniu wzajemnym sygnałów musimy policzyć ich iloczyn skalarny. Poniższy kod pomoże nam to zilustrować:

import numpy as np
import pylab as py

# Niech nasz sygnał będzie:
x = np.array([1,2,3,2,1])

# Ma on długość
N = ...

# przygotujmy miejsce na kopie sygnału
# najpierw kopia nieruchoma na środku 
x_2 = np.zeros(3*N-2, dtype = 'int')
x_2[...] = x
print('liczymy f. autokorelacji sygnału x= ',x)
for k in range(-N,N-1):
    print(' ')
    x_1 = np.zeros(3*N-2, dtype = 'int')
    x_1[...]=x  # to jest kopia sygnału x cofnięta o k próbek w stosunku do nieruchomej kopii
    print('x1: \t'+str(x_1))
    print('x2: \t'+str(x_2))
    print(40*'-')
    print('x1*x2\t', x_1*x_2)
    f_corr[k+N] = ...
    print('f_corr(',k+1,') = \t',...)
# porównajmy wynik z wywołaniem funkcji bibliotecznej:
...

Zadanie: Funkcja auokorelacji funkcji okresowej

Funkcja okresowa jest do siebie podobna po przesunięciu o cały okres.

  • Jak zatem wygląda funkcja autokorelacji fragmentu funkcji sinus?
  • Jak zmienia się ta funkcja wraz z długością fragmentu sygnału?
import numpy as np
import pylab as py

Fs = 100
dt = 1/Fs
f = 10
T = 0.2
t = np.arange(0,T,dt)
s = np.sin(2*np.pi*f*t)

f_corr = ...# pełna wersja funkcji autokorelacji - za pomoca funkcji bibliotecznej
tau  =...# wektor przesunięć wzajemnych - powinien mieć 0 na środku

py.subplot(2,1,1)
py.stem(t,s)

py.subplot(2,1,2)
py.stem(tau,f_corr)

py.show()

Zadanie: Funkcja auokorelacji białego szumuj

Analogicznie do zadania powyżej proszę zapoznać się z funknją autokorelacji dla białego szumu. Dla ustalenia uwagi niech to będą niezależne próbki z rozkładu N(0,1).



Analiza_sygnałów_-_ćwiczenia/AR_1