Aliasing: Różnice pomiędzy wersjami

Z Brain-wiki
 
(Nie pokazano 3 pośrednich wersji utworzonych przez tego samego użytkownika)
Linia 45: Linia 45:
  
 
<math>
 
<math>
D(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(t-k\delta t)
+
D(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(t-k\Delta t)
 
</math>
 
</math>
  
Zgodnie z twierdzeniem o splocie, iloczyn w przestrzeni czasu będzie odpowiadał splotowi w dziedzinie częstości, czyli w dziedzinie częstości otrzymamy splot transformaty Fouriers sygnału <math>\hat{s}(t)</math> z transformatą Fouriera grzebienia Diraca <math>\hat{D}(t)</math>, którą poniżej wyliczymy:
+
Policzmy transformatę Fouriera grzebienia Diraca <math>\hat{D}(t)</math>:
  
 
<math>
 
<math>
Linia 60: Linia 60:
 
</math>
 
</math>
  
Otrzymaliśmy ogólny wynik -- transformata Fouriera grzebienia Diraca to również grzebień Diraca (w przestrzeni częstości).  
+
Zgodnie z twierdzeniem o splocie, iloczyn sygnału z grzebieniem Diraca w przestrzeni czasu będzie odpowiadał w dziedzinie częstości, splotowi transformaty Fouriers sygnału <math>\hat{s}(t)</math> z wyliczoną powyżej transformatę Fouriera grzebienia Diraca, będącą jak widać grzebieniem Diraca w przestrzeni częstości.  
  
Przypomnijmy (np. z [[Systemy_liniowe_niezmiennicze_w_czasie_(LTI)|rozważań o systemach liniowych niezmienniczych w czasie]]), że splot z deltą Diraca w zerze jest identycznością, a splot z <math>\delta(t-kT)</math> przesuwa funkcję o <math>kT</math>. Z liniowości splotu dostajemy -- jak pozyżej -- sumę powtórzeń [[Przekształcenie Fouriera|transformaty Fouriera]]
+
Przypomnijmy (np. z [[Systemy_liniowe_niezmiennicze_w_czasie_(LTI)|rozważań o systemach liniowych niezmienniczych w czasie]]), że splot z deltą Diraca w zerze jest identycznością, a splot z <math>\delta(t-kT)</math> przesuwa funkcję o <math>kT</math>. Z liniowości splotu dostajemy sumę powtórzeń [[Przekształcenie Fouriera|transformaty Fouriera]]
 
sygnału ciągłego, przesuwanej o wielokrotności odwrotności
 
sygnału ciągłego, przesuwanej o wielokrotności odwrotności
 
<math>\Delta t</math>.
 
<math>\Delta t</math>.
  
 +
Poniższe rysunki z [[http://en.wikipedia.org/wiki/Nyquist–Shannon_sampling_theorem Wikipedii]] ilustrują ten efekt dla przypadku próbkowania z częstością większą i mniejszą od częstości Nyquista:
  
===Przykłady i ilustracje===
+
[[Plik:ReconstructFilter.png|400px]]
Poniższy przykład ilustruje aliasing w dziedzinie czasu:
+
[[Plik:AliasedSpectrum.png|400px]]
 +
 
 +
 
 +
Kolejny przykład ilustruje aliasing w dziedzinie czasu:
  
 
[[Plik:klasyczna_rys_5.jpg|thumb|center|400px|<figure id="fig:36"></figure>Próbkowanie (<math>\Delta t = 1</math>) sygnałów o częstościach: (a) 0.27, (b) 1.27 i (c) 0.6.
 
[[Plik:klasyczna_rys_5.jpg|thumb|center|400px|<figure id="fig:36"></figure>Próbkowanie (<math>\Delta t = 1</math>) sygnałów o częstościach: (a) 0.27, (b) 1.27 i (c) 0.6.
Linia 82: Linia 86:
  
  
Kolejne dwa rysunki z [[http://en.wikipedia.org/wiki/Nyquist–Shannon_sampling_theorem Wikipedii]] ilustrują ten efekt w dziedzinie częstości, dla przypadku próbkowania z częstością większą i mniejszą od częstości Nyquista:
 
  
[[Plik:ReconstructFilter.png|400px]]
+
==[[Analiza_sygnałów_-_lecture|AS/]] Twierdzenie o próbkowaniu==
[[Plik:AliasedSpectrum.png|400px]]
+
 +
Twierdzenie o próbkowaniu odpowiada na kluczowe pytanie, które winniśmy
 +
postawić decydując się na pracę z dyskretnymi (próbkowanymi)
 +
wersjami sygnałów ciągłych z natury.
 +
 +
===Twierdzenie o próbkowaniu===
 +
Sygnał ciągły <math>s(t)</math> możemy odtworzyć z wektora jego wartości 
 +
w dyskretnych  chwilach czasu <math> n \Delta t</math>, jeśli nie było w nim 
 +
częstości wyższych niż  <math>\frac{1}{2\, \Delta t}</math>.
 +
 +
'''Dowód'''
 +
 
 +
Dla uproszczenia przyjmijmy <math>\Delta t =
 +
1</math>. Wtedy <math>\hat{s}(f)</math>, czyli transformata Fouriera
 +
sygnału <math>s(t)</math>, będzie niezerowa co najwyżej pomiędzy
 +
<math>-\frac{1}{2}</math> a <math>\frac{1}{2}</math>.
 +
 
 +
Oznaczmy
 +
<math>u(f)</math> funkcję o okresie <math>1</math>, tożsamą z
 +
<math>\hat{s}(f)</math> na przedziale <math> \left [ -\frac{1}{2},
 +
\frac{1}{2} \right ] </math>.
 +
 +
Przedstawia ją [[Szereg_Fouriera#label-eq:15|szereg Fouriera]]:
 +
 
 +
<math>u(f) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{-2 \pi i f n}</math>
 +
 +
Współczynniki <math> c_n </math> tego rozwinięcia dane są [[Szereg_Fouriera#label-eq:15|wzorem]]:
 +
 
 +
<math> c_{n} =\frac{1}{1} \int_{0}^{1} u(f) e^{{2\pi i n
 +
f}} d f = \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \hat{s}(f)e^{{2\pi i n
 +
f}} d f = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{s}(f) e^{{2\pi i n f}} d f =
 +
s(n) </math>
 +
 +
Współczynniki <math>c_n</math>, dane przez wartości sygnału
 +
<math>s</math> w punktach próbkowania, jednoznacznie określają
 +
funkcję <math>u(f)</math>, ta z kolei zawiera w sobie
 +
<math>\hat{s}(f)</math> &mdash; [[Przekształcenie Fouriera|transformatę Fouriera]] ''ciągłego'' sygnału
 +
<math>s(t)</math>, czyli określa jednoznacznie również sam sygnał.
 +
 +
Znajdźmy ''explicite''  formułę rekonstrukcji:  
 +
 
 +
<math>
 +
s(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{s}(f) e^{-2\pi i f t } d f
 +
= \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \hat{s}(f) e^{-2\pi i f t } d f
 +
= \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} 
 +
\left ( \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{-2\pi i f n} \right )e^{-2\pi i f t} df
 +
</math>
 +
<math>
 +
= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} s(n) e^{2 \pi i f n} e^{-2\pi i f t}  df
 +
= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} s(n) \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} e^{2 \pi i f (n-t)} df
 +
</math>
 +
 
 +
ponieważ
 +
 
 +
<math>
 +
\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} e^{2 \pi i f (n-t)} df
 +
= \left[{\frac{1}{2\pi i (n-t)}} e^{2 \pi i f (n-t)}
 +
\right]_{f=-\frac{1}{2}}^{f=\frac{1}{2}}
 +
=\frac{\sin\left( \pi (n-t)\right)}{\pi(n-t)}
 +
</math>
 +
 
 +
dostajemy
 +
 
 +
<math>
 +
s(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} { {s(n)} }
 +
\frac{\sin\left(\pi (n-t)\right)}{\pi(n-t)}
 +
</math>
 +
 
 +
Tak więc, jeśli spełnione jest główne założenie o ograniczonym paśmie
 +
sygnału ciągłego i odpowiednio dobranej częstości próbkowania, w
 +
procesie próbkowania nie tracimy informacji ani też nie wprowadzamy
 +
przekłamań, obliczając widmo (rozdział
 +
[[Twierdzenia_o_splocie_i_o_próbkowaniu_(aliasing)#Przekszta.C5.82cenie_Fouriera_sygna.C5.82.C3.B3w_dyskretnych.2C_aliasing|o aliasingu]]).
 +
 
 +
===Twierdzenie o próbkowaniu w praktyce===
 +
W praktyce przed próbkowaniem sygnał jest zwykle filtrowany
 +
dolnoprzepustowym filtrem analogowym o częstości odcięcia poniżej częstości
 +
Nyquista.
 +
 
 +
<references/>
  
  
 
<references/>
 
<references/>

Aktualna wersja na dzień 18:13, 3 lis 2016

AS/ Przekształcenie Fouriera sygnałów dyskretnych, aliasing

Animacja pokazująca efekt aliasingu

Kliknij na tym napisie aby obejrzeć animację pokazującą efekt aliasingu na sygnale jednowymiarowym

Aliasingklatka.png

Próbkowanie odwrotnej transformaty Fouriera

Przypomnijmy wzór na odwrotną transformację Fouriera sygnału ciągłego [math] s(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(f)e^{-i 2\pi t f} d f [/math]

Dyskretne wartości tego sygnału, próbkowane w chwilach [math]n \Delta t[/math], możemy odtworzyć z powyższgo równania dla [math]t = n \Delta t[/math]

[math] s(n\Delta t) =\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(f)e^{-i 2\pi n \Delta t f} d f = [/math]

[math] \sum_{r=-\infty}^\infty \int_\frac{(2r - 1)}{2\Delta t}^\frac{(2r + 1) }{2\Delta t} \hat{s}(f)e^{-i 2\pi n \Delta t f} d f \;\; \stackrel{f \rightarrow f+\frac{r}{\Delta t}}{=} \;\; [/math] [math] \sum_{r=-\infty}^\infty \int_\frac{-1}{2\Delta t}^\frac{1}{2\Delta t} \hat{s}\left(f + \frac{r}{\Delta t}\right)e^{-i 2\pi n \Delta t (f + \frac{r}{\Delta t})} d f [/math]

[math] = \int_\frac{-1}{2\Delta t}^\frac{1}{2\Delta t} \sum_{r=-\infty}^\infty \hat{s}\left(f + \frac{r}{\Delta t}\right)e^{-i 2\pi n \Delta t f} d f [/math]

Szukając wartości sygnału w dyskretnych chwilach czasu, dostaliśmy w miejsce odwrotnej transformaty Fouriera całkę w ograniczonym zakresie z funkcji będącej (nieskończoną) sumą powtórzeń transformaty Fouriera sygnału ciągłego, przesuwanej o wielokrotności odwrotności [math]\Delta t[/math].


Splot z grzebieniem Diraca

Innym sposobem pokazania powyższego efektu jest przedstawienie sekwencji dyskretnej [math]s[n][/math] jako iloczynu sygnału ciągłego [math]s(t)[/math] z grzebieniem Diraca

[math] D(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(t-k\Delta t) [/math]

Policzmy transformatę Fouriera grzebienia Diraca [math]\hat{D}(t)[/math]:

[math] \hat{D}(f) = \mathcal{F}(D(t)) = \mathcal{F}\left(\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(t-k\Delta t) \right) = \int_{-\infty}^{\infty} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(t-k\Delta t) e^{i 2\pi f t} dt = [/math] [math] \sum_{k=-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t-k\Delta t) e^{i 2\pi f t} dt = \sum_{k=-\infty}^{\infty} e^{i 2\pi f k\Delta t} [/math]

Zgodnie z twierdzeniem o splocie, iloczyn sygnału z grzebieniem Diraca w przestrzeni czasu będzie odpowiadał w dziedzinie częstości, splotowi transformaty Fouriers sygnału [math]\hat{s}(t)[/math] z wyliczoną powyżej transformatę Fouriera grzebienia Diraca, będącą jak widać grzebieniem Diraca w przestrzeni częstości.

Przypomnijmy (np. z rozważań o systemach liniowych niezmienniczych w czasie), że splot z deltą Diraca w zerze jest identycznością, a splot z [math]\delta(t-kT)[/math] przesuwa funkcję o [math]kT[/math]. Z liniowości splotu dostajemy sumę powtórzeń transformaty Fouriera sygnału ciągłego, przesuwanej o wielokrotności odwrotności [math]\Delta t[/math].

Poniższe rysunki z [Wikipedii] ilustrują ten efekt dla przypadku próbkowania z częstością większą i mniejszą od częstości Nyquista:

ReconstructFilter.png AliasedSpectrum.png


Kolejny przykład ilustruje aliasing w dziedzinie czasu:

Próbkowanie ([math]\Delta t = 1[/math]) sygnałów o częstościach: (a) 0.27, (b) 1.27 i (c) 0.6. Widzimy, że sygnał (b) o częstości 1.27 daje w chwilach próbkowania wartości dokładnie takie same, jak sygnał (a) o częstości 0.27 (aliasing) . Sygnał (d) jest sumą (a), (b) i (c). (e) — dodatnia część modułu transformaty Fouriera sygnału ciągłego (d). (f) — jak e), ale obliczane dla sygnału dyskretnego (wartości tylko w miejscach oznaczonych kropkami). Porównując równanie (???) z przejściem od (e) do (f) widać, że częstość 1.27 zlewa się z częstością 0.27 ([math]r = -1[/math]) — wysokość odpowiadającego im piku wzrasta dwukrotnie w stosunku do mniejszego piku częstości 0.6, który "zawija się" z kolei na 0.4 (w tym przypadku [math]r = 1[/math] a "zawija się" dokładnie częstość [math]-0.6[/math])


AS/ Twierdzenie o próbkowaniu

Twierdzenie o próbkowaniu odpowiada na kluczowe pytanie, które winniśmy postawić decydując się na pracę z dyskretnymi (próbkowanymi) wersjami sygnałów ciągłych z natury.

Twierdzenie o próbkowaniu

Sygnał ciągły [math]s(t)[/math] możemy odtworzyć z wektora jego wartości w dyskretnych chwilach czasu [math] n \Delta t[/math], jeśli nie było w nim częstości wyższych niż [math]\frac{1}{2\, \Delta t}[/math].

Dowód

Dla uproszczenia przyjmijmy [math]\Delta t = 1[/math]. Wtedy [math]\hat{s}(f)[/math], czyli transformata Fouriera sygnału [math]s(t)[/math], będzie niezerowa co najwyżej pomiędzy [math]-\frac{1}{2}[/math] a [math]\frac{1}{2}[/math].

Oznaczmy [math]u(f)[/math] funkcję o okresie [math]1[/math], tożsamą z [math]\hat{s}(f)[/math] na przedziale [math] \left [ -\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right ] [/math].

Przedstawia ją szereg Fouriera:

[math]u(f) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{-2 \pi i f n}[/math]

Współczynniki [math] c_n [/math] tego rozwinięcia dane są wzorem:

[math] c_{n} =\frac{1}{1} \int_{0}^{1} u(f) e^{{2\pi i n f}} d f = \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \hat{s}(f)e^{{2\pi i n f}} d f = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{s}(f) e^{{2\pi i n f}} d f = s(n) [/math]

Współczynniki [math]c_n[/math], dane przez wartości sygnału [math]s[/math] w punktach próbkowania, jednoznacznie określają funkcję [math]u(f)[/math], ta z kolei zawiera w sobie [math]\hat{s}(f)[/math]transformatę Fouriera ciągłego sygnału [math]s(t)[/math], czyli określa jednoznacznie również sam sygnał.

Znajdźmy explicite formułę rekonstrukcji:

[math] s(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{s}(f) e^{-2\pi i f t } d f = \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \hat{s}(f) e^{-2\pi i f t } d f = \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \left ( \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{-2\pi i f n} \right )e^{-2\pi i f t} df [/math] [math] = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} s(n) e^{2 \pi i f n} e^{-2\pi i f t} df = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} s(n) \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} e^{2 \pi i f (n-t)} df [/math]

ponieważ

[math] \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} e^{2 \pi i f (n-t)} df = \left[{\frac{1}{2\pi i (n-t)}} e^{2 \pi i f (n-t)} \right]_{f=-\frac{1}{2}}^{f=\frac{1}{2}} =\frac{\sin\left( \pi (n-t)\right)}{\pi(n-t)} [/math]

dostajemy

[math] s(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} { {s(n)} } \frac{\sin\left(\pi (n-t)\right)}{\pi(n-t)} [/math]

Tak więc, jeśli spełnione jest główne założenie o ograniczonym paśmie sygnału ciągłego i odpowiednio dobranej częstości próbkowania, w procesie próbkowania nie tracimy informacji ani też nie wprowadzamy przekłamań, obliczając widmo (rozdział o aliasingu).

Twierdzenie o próbkowaniu w praktyce

W praktyce przed próbkowaniem sygnał jest zwykle filtrowany dolnoprzepustowym filtrem analogowym o częstości odcięcia poniżej częstości Nyquista.