Tekst źródłowy strony Ciągi

__NOTOC__==Podstawowe definicje==
===Definicja ciągu===
''Ciągiem'' nazywamy funkcję na zbiorze liczb naturalnych, tzn. przyporządkowanie
każdej liczbie naturalnej jakiejś liczby rzeczywistej. (Mówimy wtedy o ciągu o wyrazach
''rzeczywistych''; analogicznie możemy mówić o ciągu o wyrazach naturalnych, całkowitych,
wymiernych,...)

Zazwyczaj ciąg zapisujemy w postaci:<math> a_1, a_2, \dots, a_n,\dots</math> lub <math>\{a_n\}.</math> 

Przykładami ciągów, które Czytelnik dobrze zna (a jeśli nie, to niniejszym poznaje), jest
ciąg ''arytmetyczny'':

<math>a_n =A+Bn,
</math>
(tu <math>A,B</math> są pewnymi liczbami rzeczywistymi) oraz ciąg ''geometryczny'':

<math>a_n= a q^n
</math>
(tu <math>q\ne 0, a</math> &mdash; liczby rzeczywiste).

Najczęściej definiujemy ciąg przez jawnie, wzorem
<math>a_n=f(n)\;</math> dla pewnej funkcji <math>f\;</math> (w ten
sposób jest zdefiniowane są ciągi powyżej, np. ciąg <xr
id="eq:1">(%i)</xr>: tu <math>f(n)=A+Bn</math>).

Drugim często spotykanym sposobem jest definicja '''rekurencyjna''', w
której zadaje się pierwszy wyraz ciągu oraz formułę: <math>a_n =
F(a_{n-1})\;</math>, gdzie <math>F\;</math> jest pewną
funkcją. Np. ciąg <xr id="eq:2">(%i)</xr> można równoważnie zadać jako:
<center>
<math>a_1 = a, a_n = q a_{n-1}\;</math>. 
</center>
Tutaj łatwo jest przejść od postaci rekurencyjnej do postaci jawnej;
na ogół jest to jednak znacznie trudniejsze (p. zadanie o ciągu
Fibonacciego). Dla wielu ciągów nie potrafimy podać jawnego wzoru na
<math>n-\;</math>ty wyraz; np. jest tak z ciągiem liczb pierwszych
(wiemy, że jest ich nieskończenie wiele; stanowią podzbiór
<math>\mathbb N\;</math>, więc można je ustawić w ciąg. Ale jawnej
postaci takiego ciągu nie potrafimy podać).

===Ciąg rosnący===
Ciąg <math>\{a_n\}</math> nazywamy '' rosnącym'' (odpowiednio: '' niemalejącym'', jeśli <math>\forall n\in \mathbb N \; : a_n<a_{n+1}</math> (odpowiednio, jeśli <math>\forall n\in \mathbb N \; : a_n\leq a_{n+1}</math>).

Analogicznie
===Ciąg malejący===
Ciąg <math>\{a_n\}</math> nazywamy '' malejącym'' (odpowiednio: '' nierosnącym'', jeśli <math>\forall n\in \mathbb N \; : a_n>a_{n+1}</math> (odpowiednio, jeśli <math>\forall n\in \mathbb N \; : a_n\geq a_{n+1}</math>).
 
Ciągi rosnące i malejące obejmujemy wspólną nazwą ciągów '' monotonicznych''.
 
===Przykład===
Ciąg liczb nieparzystych jest rosnący; ciąg <math>\{1,1,2,2,3,3,...\}</math> nie jest rosnący,
ale jest niemalejący; ciąg <math>\{1,-1,1,-1,\dots\}</math> nie jest ani niemalejący ani nierosnący.

===Granica ciągu===
Liczbę <math>g</math> nazywamy granicą ciągu nieskończonego <math>\{a_n\}</math>, jeśli
<equation id="eq:1">
<math>
\forall_{\epsilon>0}\exists _{M\in \mathbb N \; }: \forall_{n>M}: |a_n-g|<\epsilon.
\;</math></equation>
Jeżeli <math>g</math> jest granicą ciągu <math>\{a_n\}</math>, to oznaczamy to: <math>g=\lim_{n\to \infty} a_n</math>.
====Uwaga====
Ostatni warunek można też tak wypowiedzieć, że począwszy od liczby <math>M</math>, wszystkie następnie wyrazy ciągu mieszczą się między <math>g-\epsilon </math> a <math>g+\epsilon</math>. 
====Przykłady====
<ol>
<li>Pokażemy, że granicą ciągu <math>a_n=\frac{1}{n}</math> jest <math>g=0</math>.
Niech będzie dana jakaś liczba <math>\epsilon>0</math>. Musimy tak dobrać <math>M</math>, aby dla <math>n>M</math> zachodziła
nierówność 
<center><math>
 \left|a_n-g\right| = \left|\frac{1}{n}\right|<\epsilon
</math></center>
Za <math>M</math> weźmy liczbę naturalną większą niż <math>\frac{1}{\epsilon}</math>. Mamy więc: <math>\frac{1}{M}<\epsilon</math>,
a to znaczy, że dla dowolnego <math>n>M</math> zachodzi nierówność
<center><math>
\frac{1}{n}< \frac{1}{M}<\epsilon, \;\;\mbox{czyli}\;\;\frac{1}{n}<\epsilon,
</math></center>
co należało pokazać.</li>
<li>Granicą '' ciągu stałego:'' <math>\forall_{n\in\mathbb N \; } a_n=a</math> jest liczba <math>a</math>:
<equation id="eq:2">
<math>
\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty}  a_n =a,
\;</math></equation>
bo dla każdego <math>n</math> mamy <math>|a_n-a|=0</math> i nierówność <xr id="eq:1">(%i)</xr> zachodzi dla każdego wskaźnika <math>n</math> oraz
dla każdego <math>\epsilon>0</math>.</li>
<li>Ciąg posiadający granicę nazywany jest '' zbieżnym''. Ciąg '' rozbieżny'' to taki, który 
granicy nie posiada. </li>
<li>Ciąg <math>a_n=n</math> nie posiada granicy, tzn. jest rozbieżny. Załóżmy bowiem, że posiada granicę <math>g</math>.
Weżmy <math>\epsilon = 1</math>. (W definicji zbieżności ciągu jest warunek, że <math>|a_n-g|<\epsilon</math> '' dla każdego'' <math>\epsilon</math>; jeśli pokażemy,że warunek ten nie jest spełniony dla '' jakiegokolwiek'' <math>\epsilon</math>, to tym samym pokażemy, że ciąg jest rozbieżny). Dla dostatecznie dużych <math>n</math> musi więc być spełniony warunek: <math>|a_n-g|=|n-g|<1</math>, co jest niemożliwe, bo
warunek ten może być spełniony co najwyżej dla trzech wartości <math>n</math> (dla liczby naturalnej <math>n_g</math>, najbliższej <math>g</math>, oraz <math>n_g\pm 1</math>. Doszliśmy do sprzeczności &mdash; tzn. pokazaliśmy, że ciąg <math>a_n=n</math> '' nie posiada'' granicy, jest więc rozbieżny.</li>
<li>Ciąg oscylujący: <math>a_n = (-1)^n</math> jest rozbieżny. Wystarczy wziąć <math>\epsilon = \frac{1}{4}</math> i warunek <xr id="eq:1">(%i)</xr> nie będzie spełniony dla żadnego <math>g</math>.</li></ol>

====Twierdzenie====
Można zadać pytanie, czy jeśli ciąg jest zbieżny, to czy posiada tylko jedną granicę, czy może posiadać
ich wiele? Okazuje się, że zachodzi ta pierwsza możliwość:

''' Tw. '''Ciąg zbieżny posiada tylko jedną granicę.
=====Dowód=====
Przypuśćmy, że jest przeciwnie i że ciąg <math>a_n</math> posiada dwie granice <math>g</math> i <math>g'</math>, przy czym <math>g\ne g'</math>, czyli <math>|g-g'|>0</math>. Weźmy <math>\epsilon = \frac{1}{4}|g-g'|</math>. Z definicji granicy istnieją takie dwie liczby <math>M,M'</math>, że dla <math>n>M</math> zachodzi nierówność
<equation id="eq:3">
<math>
|a_n-g|<\epsilon,
\;</math></equation>
a dla <math>n>M'</math> zachodzi nierówność
<equation id="eq:4">
<math>
|a_n-g'|<\epsilon.
\;</math></equation>
Oznaczmy przez <math>\tilde{M}</math> większą z liczb <math>M,M'</math> (zapisujemy to jako: <math>\tilde{M}= {\rm max}(M,M')</math>). 
Wtedy dla każdego <math>n>\tilde{M}</math> będą spełnione jednocześnie '' obie'' nierówności <xr id="eq:3">(%i)</xr> i <xr id="eq:4">(%i)</xr>. Dodajmy je stronami, wykorzystując [[Matematyka:Liczby_rzeczywiste#W.C5.82asno.C5.9B.C4.87_6|"dodawanie pod znakiem wartości bezwzględnej"]], zmieniając uprzednio
znak w nierówności <xr id="eq:3">(%i)</xr>. Otrzymujemy: <math>|g-g'|< 2 \epsilon</math>; ale uprzednio wzięliśmy <math>|g-g'|=4\epsilon</math>, czyli <math>4\epsilon<2\epsilon</math> &mdash; doszliśmy więc do sprzeczności.
=====Uwaga=====
W definicji granicy można zastąpić <math>></math> przez <math>\geq</math>, a <math><</math> przez <math>\leq</math>; ani istnienie granicy, ani jej wartość (jeśli istnieje) się nie zmienią przy takiej zamianie.
==Ciągi ograniczone==
===Definicja===
#Ciąg <math>a_1, a_2, \dots</math> nazywamy '' ograniczonym z góry'', jeśli istnieje taka liczba <math>M</math>, że <math>\forall_{n\in \mathbb N \; }: a_n<M</math>.
#Ciąg <math>a_1, a_2, \dots</math> nazywamy '' ograniczonym z dołu'', jeśli istnieje taka liczba <math>M'</math>, że <math>\forall_{n\in \mathbb N \; }: a_n>M'</math>.
#Ciąg <math>a_1, a_2, \dots</math> nazywamy '' ograniczonym'', jeśli jest jednocześnie ograniczony z góry i z dołu. Równoważnie można powiedzieć, że dla ciągu ograniczonego zachodzi: <center><math>
\exists_{\tilde{M}>0}: \forall_{n\in \mathbb N \; }: |a_n|<\tilde{M}.
</math></center>

Sytuacje te można zilustrować graficznie:
W pierwszym przypadku, wszystkie wyrazy ciągu leżą poniżej prostej <math>y=M</math>; w drugim &mdash; powyżej
prostej <math>y=M'</math>; i w trzecim &mdash; wszystkie wyrazy ciągu leżą pomiędzy prostymi <math>y=\tilde{M}</math> a <math>y=-\tilde{M}</math>.

===Przykłady===
*Ciąg <math>a_n=(-1)^n</math> jest ograniczony.
*Ciąg liczb naturalnych jest ograniczony z dołu.
*Ciąg <math>a_n= (-1)^n n</math> nie jest ograniczony z góry ani z dołu.

===Twierdzenie===
Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony.
====Dowód====
Ciąg <math>\{a_n\}</math> z założenia jest zbieżny (jego granicę nazwijmy <math>g</math>), więc warunek <xr id="eq:1">(%i)</xr> definiujący zbieżność ciągu zachodzi dla każdego <math>\epsilon</math>, w szczególności dla <math>\epsilon=1</math>. Istnieje więc taka liczba <math>M</math>, że dla <math>n>M</math> mamy: <math>|a_n-g|<1</math>. Korzystając z pierwszej z nierówności (\ref{Bezwz4}) mamy: 
<math>|a_n|-|g|\leq |a_n-g|<1</math>, z czego wynika <math>|a_n|<1+g</math>. Oznaczmy przez <math>C</math> największą spośród <math>M+1</math> liczb: <math>|a_1|, |a_2|, \dots, |a_M|, g+1</math>. Pamiętając, że <math>g+1</math> jest większe od <math>a_{M+1}, a_{M+2}, \dots</math>, mamy: <math>\forall_{n\in\mathbb N \; }</math>: <math>C>|a_n|</math>. Ciąg <math>\{a_n\}</math> jest więc ograniczony.
==Działania algebraiczne na ciągach i ich granicach==
===Twierdzenie===
Zakładamy, że ciągi <math>\{a_n\}</math>,<math>\{b_n\}</math> są zbieżne. Zachodzą wtedy następujące wzory:
<equation id="eq:5">
<math>
 \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} (a_n+b_n) = \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} a_n+\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} b_n;</math></equation>
<equation id="eq:6">
<math>
 \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} (a_n-b_n)=
 \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} a_n - \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} b_n;
 \;</math></equation>
<equation id="eq:7">
<math>
 \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} (a_n b_n)= \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} a_n \cdot \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} b_n;
 \;</math></equation>
<equation id="eq:8">
<math>
 \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} 
 \left(\frac{a_n}{b_n}\right)=
 \frac{\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} a_n}{\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} b_n}
 \;</math></equation>
(ta ostatnia równość ma miejsce przy założeniu, że <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} b_n\ne 0</math>).
====Dowód==== 
<ul>
<li><xr id="eq:5">(%i)</xr>. Oznaczmy: <math>g=\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} a_n</math> oraz <math>h=\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} b_n</math>. Weźmy jakieś <math>\epsilon>0</math>. 
Istnieje więc taka liczba <math>M</math>, że 
<center><math>
\forall_{n>M}\;\;\; |a_n-h|<\frac{\epsilon}{2} \;\;\;</math> oraz <math> |b_n-h|<\frac{\epsilon}{2}
</math></center>
Dodając do siebie te dwie nierówności pod znakiem wartości bezwzględnej,
otrzymamy
<center><math>
\forall_{n>M}\;\;\;|(a_n+b_n)-(g+h)|<\epsilon.
</math></center>
A to znaczy, że ciąg <math>a_n+b_n</math> jest zbieżny do granicy <math>g+h</math>.
<br/>
'''CBDO'''<br/>
'' Wniosek.'' W szczególności, jeśli <math>b_n</math> jest ciągiem stałym: <math>b_n=c</math> dla każdego <math>n</math>, to mamy, z wzorów <xr id="eq:2">(%i)</xr> i <xr id="eq:5">(%i)</xr>
<math>
 \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} (a_n+c) = c+\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} a_n.
\;</math></li>
<li>'''Dow. (\ref{Lx})}.''' Oszacujmy najsampierw różnicę <math>|a_n b_n -gh|</math>. Mamy:
<center><math>
 a_n b_n - gh = a_n b_n - a_n h + a_n h - gh = a_n(b_n-h) + h(a_n-g).
</math></center>
Ponieważ ciąg <math>\{a_n\}</math> jest '' ograniczony'' jako ciąg zbieżny, to istnieje taka liczba <math>A</math>, że
<math>|a_n|<A</math> dla każdego <math>n</math>. Stosując wzory na wartość bezwzględną sumy i iloczynu, mamy
<center><math>
|a_n b_n -gh|\leq |a_n(b_n-h)| + |h(a_n-g)|\leq A(b_n-h) + |h||a_n-g|
</math></center>
Teraz: weźmy drugą liczbę (pełniącą analogiczną rolę jak <math>\epsilon</math>) <math>\eta>0</math>. 
Dla niej dobieramy takie <math>M</math>, że dla <math>n>M</math> mamy: <math>|a_n-g|<\eta</math> oraz <math>|b_n-h|<\eta</math>.
Mamy więc
<center><math>
|a_n b_n - gh|<A\eta + |h|\eta| = (A+|h|)\eta.
</math></center>
Na razie nic nie zakładaliśmy o liczbie <math>\eta</math>. Uczynimy to teraz, biorąc: <math>\eta=\frac{\epsilon}{A+|h|}</math>. 
W ten sposób mamy:
<center><math>
\forall_{n>M}: |a_n b_n - gh| <\epsilon
</math></center>
Tak więc!!! Udowodniliśmy wzór (\ref{Lx}).
</li>
 <li>W szczególności, biorąc <math>b_n=c</math>, otrzymujemy
<math>
 \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} (c a_n) = c \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} a_n,
 \;</math>
oraz, biorąc <math>c=-1</math>,
<math>
\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} (-a_n)=-\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} a_n.
</math>
Stąd wynika wzór <xr id="eq:6">(%i)</xr>:
<center><math>
\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} (a_n - b_n) = \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} (a_n + (-b_n)) = \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} a_n + \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} (-b_n) = 
\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} a_n - \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} b_n.
</math></center>
</li>
<li><xr id="eq:8">(%i)</xr> Najsampierw udowodnimy następujący szczególny przypadek wzoru <xr id="eq:8">(%i)</xr>:
<equation id="eq:9">
<math>
 \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} \frac{1}{b_n}= \frac{1}{\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} b_n}\;\;\;(\mbox{\rm jesli }\;\;\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} b_n \ne 0)
\;</math></equation>
<xr id="eq:9">(%i)</xr>. Najpierw zauważmy, że dla dostatecznie dużych <math>n</math> zachodzi
nierówność <math>b_n\ne 0</math>, a nawet mocniejsza: Dla dostatecznie dużych <math>n</math> mamy: <math>|b_n|>\frac{|h|}{2}</math>. 
Weźmy bowiem <math>\frac{|h|}{2}</math> za <math>\epsilon</math> w definicji granicy ciągu. Wtedy istnieje takie <math>M</math>, że <math>\forall_{n>M}</math> mamy <math>|b_n-h|<\frac{|h|}{2}</math>. Stąd
<center><math>
|h|-|b_n| \leq |h-b_n|<\frac{|h|}{2}, \;\;\;\mbox{\rm co daje}\;\;\; |b_n|>\frac{|h|}{2}.
</math></center></li>
<li>Aby udowodnić <xr id="eq:1">(%i)</xr>, oszacujmy teraz różnicę
<center><math>
\left| \frac{1}{b_n} -\frac{1}{h} \right| =\left| \frac{h-b_n}{h b_n} \right| =\frac{|h-b_n|}{|h|\cdot | b_n|}.
</math></center>
Zauważmy, że dla dostatecznie dużych <math>n</math> mamy
<center><math>
|h-b_n|<\eta \;\;\;\mbox{\rm oraz} \;\;\; |b_n|>\frac{|h|}{2},\;\; </math> tzn. <math>\;\;\frac{1}{|b_n|}<\frac{2}{|h|}.
</math></center>
Stąd
<center><math>
 \left| \frac{1}{b_n} -\frac{1}{h} \right|<\frac{2\eta}{h^2}.
</math></center>
Biorąc teraz <math>\eta=\frac{1}{2}\epsilon h^2</math>, otrzymamy, że dla dostatecznie dużych <math>n</math>
<center><math>
\left| \frac{1}{b_n} -\frac{1}{h} \right|<\epsilon,
</math></center>
skąd wynika już wzór <xr id="eq:8">(%i)</xr>.
Wzór <xr id="eq:8">(%i)</xr> wynika z <xr id="eq:1">(%i)</xr>:
<center><math>
\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} =
\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} 
\left( a_n \cdot \frac{1}{b_n}\right) =
\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} a_n \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} \frac{1}{b_n}
= \frac{\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} a_n}{\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} b_n}
</math></center>
</li></ul>
====Uwagi====
W założeniach przy wyprowadzaniu powyższych wzorów zakładaliśmy, że ciągi <math>\{a_n\}</math> i <math>\{b_n\}</math> są zbieżne. Założenie to jest istotne; może się zdarzyć, że ciąg <math>\{a_n\}+\{b_n\}</math> jest zbieżny, mimo że ciągi oddzielnie <math>\{a_n\}</math> i <math>\{b_n\}</math> są rozbieżne (weźmy np. ciągi: <math>a_n=n</math>, <math>b_n=-n</math>).

W definicji ciągu zakładaliśmy, że numeracja elementów zaczyna się od <math>1</math>. Definicję tę można bezkarnie zmienić, zakładając, że ciąg zaczyna się od dowolnej liczby naturalnej <math>n_0</math>. Stąd wynika prosta do zobaczenia właściwość ciągów: ''Odrzucenie skończonej ilości początkowych wyrazów ciągu nie ma wpływu na zbieżność ciągu ani na wartość jego granicy.'' Analogicznie, można do ciągu '' dołączyć'' dowolną '' skończoną'' ilość wyrazów.

====Przykłady====

*Ciąg <math>a_n=\frac{3n+2}{8n-5}</math>
*Ciąg <math>b_n = \frac{n^2 +n+2}{9n^2 -5n-3}</math>
*Ciąg <math>c_n=\frac{1}{\sqrt{n}}</math>

==Kolejne własności rachunkowe granicy==

===Stwierdzenie===
Niech ciąg {<math>a_n</math>} będzie zbieżny. Wówczas zbieżny jest ciąg <math>\{|a_n|\}</math> i zachodzi
<equation id="eq:10">
<math>
\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} \{|a_n|\} = |\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} \{a_n\}|.
</math></equation>
====Dowód====
Niech <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} </math> {<math>a_n</math>}<math>=g</math>. Mamy wtedy <math>|a_n-g<\epsilon</math> dla dostatecznie dużych <math>n</math>. Zatem
<center><math>
|a_n|-|g| \leq |a_n - g| < \epsilon \;\;\;</math>  oraz <math>\;\;\; |g| - |a_n| \leq |a_n - g| < \epsilon ,
</math></center>
skąd wynika (p. wz. ...): <math>\left| |a_n| - |g| \right| < \epsilon.</math> Czyli zachodzi <xr id="eq:10">(%i)</xr>.

'''CBDO'''
===Stwierdzenie===
Załóżmy, że ciągi {<math>a_n</math>} i {<math>b_n</math>} są zbieżne oraz <math>\forall_n a_n\leq b_n </math>.

Zgodnie z uwagą poczynioną niedawno, teza jest prawdziwa, jeśli warunek "dla każdego <math>n</math>" zastąpić przez "dla każdego <math>n>n_0</math>", <math>n_0>1</math>.} Zachodzi wtedy:
<equation id="eq:11">
<math>
\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} a_n \leq \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} b_n.
\;</math></equation>
W szczególności, jeśli ciąg <math>\left\{c_n\right\}</math> jest zbieżny, to
<equation id="eq:12">
<math>
{\rm warunek} \;\;\; c_n\geq 0\;\;\ \mbox{\rm pociaga za soba}\;\;\; \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} c_n \geq 0.
\;</math></equation>
====Dowód====
Pokażemy najsampierw ostatni wzór. Niech <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} c_n = h</math>. Przypuśćmy, że <math>h<0</math>, tzn. <math>-h>0</math>. Wtedy, dla dostatecznie dużych <math>n</math> mamy: <math>|c_n - h|<-h</math>, a stąd <math>c_n - h<-h</math>, a stąd <math>c_n<0</math> &mdash; wbrew założeniu. Teraz pokażemy, że z <xr id="eq:2">(%i)</xr> wynika <xr id="eq:3">(%i)</xr>. Weźmy mianowicie <math>b_n-a_n=c_n</math>. Ponieważ <math>a_n\leq b_n</math>, to <math>c_n\geq 0</math>, a więc, po przejściu do granicy: <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} c_n \geq 0</math>. A na mocy <xr id="eq:6">(%i)</xr>: 
<center><math>
\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} c_n = \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} b_n - \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} a_n,
</math></center>
zatem
<center><math>
\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} b_n \geq \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} a_n \;\;\;{\rm czyli}\;\;\; \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} a_n \leq \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} b_n.
</math></center>
'''CBDO'''
====Uwaga====
W nierówności <xr id="eq:3">(%i)</xr> nie można zastąpić nierówności <math>\geq</math> przez <math>></math>, i analogicznie w <xr id="eq:4">(%i)</xr> nie można zastąpić <math>\leq</math> przez <math><</math>. Np. ciąg <math>\left\{c_n\right\}</math> <math>=\frac{1}{n}</math>
spełnia nierówność: <math>c_n>0</math>, a mamy <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} c_n = 0</math>.
Można tę sytuację obrazowo wyrazić mówiąc, że nierówności <math>\geq</math> i <math>\leq</math> "zachowują się przy 
przejściu do granicy", natomiast nierówności <math>></math> i <math><</math> nie mają tej własności.
===Twierdzenie o trzech ciągach===
Jeśli <math>a_n\leq c_n \leq b_n</math> i <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} a_n =\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} b_n</math>, to ciąg <math>\left\{c_n\right\}</math> jest zbieżny i zachodzi: <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} c_n =\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} a_n =\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} b_n </math>.
====Dowód====
Niech <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} a_n =g=\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} b_n</math> i niech <math>\epsilon>0</math>. Dla dostatecznie dużych <math>n</math> mamy więc
<center><math>
|a_n-g|<\epsilon\;\;\;\;\;{\rm oraz}\;\;\;\;\; |b_n-g|<\epsilon.
</math></center>
Na mocy założenia 
<center><math>
a_n-g\leq c_n -g\leq b_n -g, \;\;\;\mbox{\rm a ze}\;\;\;\;\; -\epsilon<a_n-g \;\;\; i\;\;\; b_n-g<\epsilon,
</math></center>
to
<center><math>
-\epsilon<c_n-g<\epsilon\;\;\;\mbox{\rm czyli}\;\;\;|c_n-g|<\epsilon,
</math></center>
skąd <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} c_n=g</math>.<br/>
'''CBDO'''
====Przykłady====
*<math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} \sqrt[n]{a} = 1</math> dla <math>a>1</math> i stąd też dla <math>0<a\leq 1</math>.
*Przykład na wykorzystanie jw.: <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} \sqrt[n]{5\cdot 7^n + 9\cdot 3^n +10}</math>.
*<math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} \sqrt[n]{n} = 1</math>.
===Wniosek===
Jeśli <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} |a_n|=0</math>, to ciąg {<math>a_n</math>} jest zbieżny i <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} a_n=0</math>.
====Dowód====
Mamy:
<center><math>
-|a_n|\leq a_n\leq |a_n|\;\;\;\;\; {\rm i} \;\;\;\;\; \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} (-|a_n|)=0=\lim|a_n|.
</math></center>

'''CBDO'''
==Podciągi==

===Definicja===
Niech będzie dany ciąg <math>a_1, a_2, \dots, a_n, \dots</math> oraz ciąg '' rosnący'' liczb naturalnych <math>m_1, m_2, \dots, m_k,\dots</math>. Ciąg <center><math>
a_{m_1}, a_{m_2},\dots, a_{m_k},\dots
</math></center> nazywamy ''podciągiem'' ciągu {<math>a_n</math>}.
===Przykład===
Ciąg <math>a_2, a_4, \dots, a_{2n}, \dots</math> jest podciągiem ciągu 
<math>a_1, a_2, \dots,a_n,\dots</math>. Natomiast ciąg <math>a_2, a_1, a_4, a_3, \dots</math> nie jest
podciągiem {<math>a_n</math>}, ponieważ wskaźniki nie tworzą tu ciągu rosnącego.

===O podciągach c.d.===
W myśl powyższej definicji, każdy ciąg jest swoim własnym podciągiem.

Ponadto podciąg <math>\{a_{m_{k_n}}\}</math> podciągu <math>\{a_{m_k}\}</math> jest podciągiem
ciągu {<math>a_n</math>}. Obrazowo można powiedzieć, że podciąg <math>a_{m_1}, a_{m_2},\dots, a_{m_k},\dots</math> ciągu {<math>a_n</math>} otrzymuje się przez skreślenie w ciągu {<math>a_n</math>} pewnej ilości wyrazów, (skończonej lub nieskończonej), których wskaźniki są różne od <math>m_1, m_2, \dots, m_k,\dots</math>.

===Stwierdzenie===
Zachodzi ogólny wzór dotyczący wskaźników dowolnego podciągu
<equation id="eq:13">
<math>
m_k \geq k.
</math></equation>
====Dowód====
Jest tak dla <math>n=1</math>, tzn. <math>m_1\geq 1</math> (bo <math>m_1</math> jest liczbą naturalną).
Stosując indukcję załóżmy, że dla jakiegoś <math>n</math> zachodzi wzór <xr id="eq:13">(%i)</xr> 
Mamy wtedy: <math>m_{n+1}>m_n>n</math>, a zatem <math>m_{n+1}\geq n</math>, więc teza zachodzi też dla <math>n+1</math>.
W ten sposób mamy prawdziwość tezy dla dowolnego <math>n</math>. 

'''CBDO'''
===Twierdzenie===
Podciąg ciągu zbieżnego {<math>a_n</math>} jest zbieżny do tej samej granicy co {<math>a_n</math>}.
Tzn. 
<center>
jeśli <math>;\;\; \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} a_n =g,</math> to rowniez <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} a_{m_n}=g.</math></center>
====Dowód====
Weźmy <math>\epsilon>0</math>. Istnieje wtedy takie <math>M</math>, że dla <math>n>M</math> spełniona jest nierówność
<math>|a_n-g|<\epsilon</math>. Ponieważ, na mocy <xr id="eq:13">(%i)</xr> jest <math>m_n\geq n>M</math>, to również
<math>|a_{m_n}-g|<\epsilon</math>, a to znaczy, że <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} a_{m_n}=g</math>.

'''CBDO'''
===Twierdzenie "Bolzano &mdash; Weierstrassa"===
Z każdego ciągu ograniczonego <math>\{x_n\}</math> można wybrać podciąg zbieżny.
====Dowód====
Niech ciąg {<math>a_n</math>} będzie ograniczony. Istnieje więc taka liczba <math>M</math>, ż
<math>\forall_{n\in\mathbb N \; }: -M<a_n<M</math>.
Oznaczmy teraz przez <math>Z</math> zbiór liczb <math>x</math> takich, że nierówność: <math>x<a_n</math> jest spełniona dla nieskończenie wielu <math>n</math>. Zbiór <math>Z</math> jest niepusty, ponieważ liczba <math>-M\in Z</math> (jako że nierówność <math>-M<a_n</math> jest spełniona dla każdego <math>n</math>). Zbiór <math>Z</math> jest też ogranicznony z góry: Nie należy bowiem do <math>Z</math> żadna liczba większa od <math>M</math> (nierówność <math>M<a_n</math> nie jest spełniona dla żadnego <math>n</math> i tym bardziej dla dowolnego <math>x>M</math>).

Zbiór <math>Z</math> jest niepusty i ograniczony z góry, więc istnieje kres górny tego zbioru. 
Oznaczmy go przez <math>g</math>. Z definicji kresu górnego wynika, że dla każdego <math>\epsilon>0</math>
istnieje nieskończenie wiele <math>n</math> takich, że
<center><math>
g-\epsilon\leq a_n \leq g+ \epsilon,
</math></center>
ponieważ: liczba <math>g-\epsilon\in Z</math>, <math>g+\epsilon \not\in Z</math>. 

Wykażemy teraz, że <math>g</math> jest granicą pewnego podciągu ciągu {<math>a_n</math>}. 
Musimy więc znaleźć ciąg liczb naturalnych <math>\{m_n\}</math>: <math>m_1<m_2<m_3\dots</math> w taki sposób,
aby <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} a_{m_n}=g</math>. W tym celu, weźmy najpierw <math>\epsilon=1</math>. Istnieje wtedy nieskończenie wiele <math>n\in\mathbb N \; </math> takich, że
<center><math>
g-1<a_n<g+1.
</math></center>
Oznaczmy przez <math>m_1</math> którąkolwiek z tych liczb (niech to będzie np. '' pierwsza'' z tych liczb). 
Mamy w ten sposób
<center><math>
g-1<a_{m_1}<g+1.
</math></center>
Weźmy teraz <math>\epsilon=\frac{1}{2}</math>. Tu znów istnieje nieskończenie wiele liczb <math>n</math> takich, że
<center><math>
g-\frac{1}{2}<a_n<g+\frac{1}{2}.
</math></center>
Skoro jest ich nieskończenie wiele, to są wśród nich liczby większe od <math>m_1</math>. Weźmy którąkolwiek
spośród nich i oznaczmy przez <math>m_2</math>. Mamy więc
<center><math>
g-\frac{1}{2}<a_{m_2}<g+\frac{1}{2}, \;\;\;\;\; m_1<m_2.
</math></center>
Trzeci krok jest analogiczny: Znajdujemy <math>m_3</math> takie, że 
<center><math>
g-\frac{1}{3}<a_{m_3}<g+\frac{1}{3}, \;\;\;\;\; m_2<m_3
</math></center>
i dalej postępujemy rekurencyjnie: Mając <math>m_k</math>, znajdujemy w opisany wyżej sposób
<math>m_{k+1}</math> takie, że
<math>
g-\frac{1}{k+1}<a_{m_k}<g+\frac{1}{k+1}, \;\;\;\;\; m_k<m_{k+1}
</math>

Z twierdzenia o trzech ciągach wynika teraz, że 
<center><math>
\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} \left(g-\frac{1}{n}\right)=g = \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} \left(g+\frac{1}{n}\right).
</math></center>
Ciąg <math>m_1,m_2, m_3,\dots</math> z konstrukcji jest rosnący, więc ciąg <math>a_{m_1},a_{m_2}, a_{m_3},\dots</math>
jest podciągiem ciągu {<math>a_n</math>}. Ze wzoru (6) widać, że <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} a_{m_n}=g</math>.

'''CBDO'''

Poniższe twierdzenie jest wnioskiem z tw. BW.

===Twierdzenie===
Każdy ciąg ograniczony: nierosnący lub niemalejący, jest zbieżny. Przy tym: 
Dla ciągu niemalejącego: <math>a_1\leq a_2\leq\dots</math> mamy: <math>\forall_{k\in\mathbb N \; }: a_k\leq \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} a_n</math>;
Dla ciągu nierosnącego: <math>a_1\geq a_2\geq\dots</math> mamy: <math>\forall_{k\in\mathbb N \; }: a_k\geq \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} a_n</math>.
====Dowód====
Dla ustalenia uwagi rozpatrzmy {<math>a_n</math>} &mdash; ciąg niemalejący. Oznaczmy przez <math>Z</math> &mdash; zbiór wartosći tego ciągu, a przez <math>g</math> &mdash; kres górny tego zbioru: <math>g=\sup Z</math>. Mamy więc
<center><math>
\forall_{n\in\mathbb N \; }: g\geq a_n;
</math></center>
jednocześnie <math>\forall _{\epsilon>0} \;\exists_{ k\in\mathbb N \; }: g-\epsilon<a_k</math> (ponieważ nierówność, będąca zaprzeczeniem: <math>\forall_{k\in\mathbb N \; } :g-\epsilon\geq a_k</math>, '' nie może'' być spełniona &mdash; na podstawie definicji kresu górnego).

Ponieważ ciąg {<math>a_n</math>} jest niemalejący, to nierówność: <math>n>M</math> pociąga za sobą: <math>a_M\leq a_n</math>, a stąd <math>g-\epsilon<a_n</math>. A więc <math>\forall_{\epsilon>0} \exists M': \forall_{n>M'}</math> zachodzi
<center><math>
g-\epsilon<a_n\leq g, \;\;\;\;\;{\rm skąd}\;\;\;|a_n-g|<\epsilon;
</math></center>
ta ostatnia nierówność oznacza, że <math>g=\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} a_n</math>. 

To był dowód dla ciągów niemalejących. Dla nierosnących jest analogiczny.

'''CBDO'''
====Przykłady====
(zastosowań powyższego twierdzenia)
#Weźmy <math>c>0</math> i określmy ciąg <math>\{x_n\}</math> następującym wzorem '' rekurencyjnym'': <center><math> x_1 =\sqrt{c}, \;\;\; x_{n+1} = \sqrt{c+x_n}, </math></center> tzn. <center><math> x_1 =\sqrt{c}, \;\;\; x_2 = \sqrt{c+\sqrt{c}},\;\;\; x_3 = \sqrt{c+\sqrt{c+\sqrt{c}}}, \dots </math></center> Nie jest łatwo podać wzór ogólny na <math>n</math>-ty wyraz ciągu, ale proste jest policzenie jego granicy. Aby to zrobić, żauważmy najsampierw, że ciąg <math>\{x_n\}</math> jest '' rosnący''. Jest on również '' ograniczony z góry''. Pokażemy indukcyjnie, że takim ograniczeniem górnym jest liczba <math>\sqrt+1</math>. Istotnie, '' i)'' dla <math>n=1</math>, mamy <math>x_1=\sqrt{c}<\sqrt{c+1}</math>.'' 
# Załóżmy, że nierówność <math>x_n<\sqrt{c+1}</math> jest spełniona dla jakiegoś <math>n</math> i sprawdźmy, czy jest spełniona dla <math>n+1</math>. Mamy: <center><math> x_{n+1}=\sqrt{c+x_n}<\sqrt{c+1+\sqrt{c}}< \sqrt{c+1+2\sqrt{c}}=1+\sqrt{c} </math></center> zatem 
#nierówność <math>x_n<\sqrt{c+1}</math> jest spełniona dla dowolnego <math>n</math>.

Pokazaliśmy, że ciąg <math>\{x_n\}</math> jest monotoniczny (rosnący) i ograniczony, zatem &mdash; zgodnie z Tw. powyżej &mdash; jest zbieżny do (skończonej) granicy <math>g</math>. Aby ją określić, napiszmy równość: <math>x_{n+1} = \sqrt{c+x_n}</math>
w postaci
<center><math>
x_{n+1}^2=c+x_n
</math></center>
i przejdźmy w niej do granicy <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} </math>. Mamy:
<center><math>
g^2=c+g \;\;\;\Longrightarrow g=\frac{1\pm \sqrt{1+4c}}{2}
</math></center>
<math>g</math> nie może być ujemne (jako granica ciągu o wyrazach dodatnich), więc <math>g=\frac{1+\sqrt{1+4c}}{2}</math>. Niech Czytelnik (Czytelniczka) spróbuje pokazać, że w ogólniejszej sytacji: 
<center><math>
y_1 =a>0, \;\;\; y_{n+1} = \sqrt{c+y_n},
</math></center>
ciąg <math>\{y_n\}</math> jest również zbieżny i jego
granica jest równa jak poprzednio:
<math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} y_n = \frac{1+\sqrt{1+4c}}{2}</math> &mdash; niezależnie od tego, jak wybierzemy "punkt startowy" <math>a</math>.

===Przykład ciągu, który łatwo zdefiniować, ale niełatwo policzyć granicę===

Weźmy dwie liczby dodatnie <math>a,b</math>, przy czym <math>a>b</math>. Utwórzmy '' średnią arytmetyczną'' <math>a_1</math> i '' geometryczną'' <math>b_1</math> tych liczb:
<center><math>
a_1=\frac{a+b}{2}, \;\;\;b_1=\sqrt{a\cdot b}.
</math></center>
Zachodzi nierówność: <math>a_1>b_1</math><ref>Mamy bowiem, dla <math>a>b</math>:
<center><math>
\frac{1}{2}(a+b)-\sqrt{ab}= \frac{1}{2}\left(a-2\sqrt{ab}+b\right)= 
\frac{1}{2}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\geq 0
</math></center> 
czyli mamy nierówności:
<center><math>
a>a_1>b_1>b
</math></center></ref>

Dla liczb <math>a_1,b_1</math> znowu tworzymy obie średnie:
<center><math>
a_2=\frac{a_1+b_1}{2}, \;\;\;b_2=\sqrt{a_2\cdot b_2}.
</math></center>
Mamy
<center><math>
a>a_1>a_2>b_2>b_1>b
</math></center>
itd. Tak więc tworzymy dwa ciągi {<math>a_n</math>}, {<math>b_n</math>} określone rekurencyjnie:
<center><math>
a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}, \;\;\;b_{n+1}=\sqrt{a_n\cdot b_n}.
</math></center>
Analogicznie jak poprzednio, mamy
<center><math>
a_n>a_{n+1}>b_{n+1}>b_n
</math></center>
czyli ciąg {<math>a_n</math>} jest '' malejący'', zaś ciąg {<math>b_n</math>} &mdash; rosnący. Jednocześnie 
oba są ograniczone: Ciąg {<math>a_n</math>} jest ograniczony z dołu przez <math>b</math>, a ciąg {<math>b_n</math>} &mdash; z góry przez <math>a</math>. Oba ciągi są więc zbieżne i oba mają granice (skończone)
<center><math>
\alpha = \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} a_n,\;\;\; \beta = \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} b_n.
</math></center>

Przejdźmy teraz w równości 
<center><math>
a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}
</math></center>
do granicy <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} </math>; otrzymamy
<center><math>
\alpha=\frac{\alpha+\beta}{2} \;\;\;\Longrightarrow \;\;\; \alpha = \beta.
</math></center>
Ile wynosi ta (wspólna) granica? (granicę tę nazywa się też '' średnią arytmetyczno-geometryczną'' 
liczb <math>a</math> i <math>b</math>). Okazuje się, że granica ta wyraża się przez tzw. '' całkę eliptyczną''.
==Warunek i twierdzenie Cauchy'ego==

===Twierdzenie===
Ciąg {<math>a_n</math>} jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy 
<equation id="eq:14">
<math>
\forall_{\epsilon>0}\;\exists_{M\in\mathbb N \; }:\;\forall_{n>M}:\;\; |a_n-a_M|<\epsilon.
\;</math>
</equation>
====Uwaga====
Warunek <xr id="eq:14">(%i)</xr> nazywa się '' warunkiem Cauchy'ego''; niedługo
poznamy równoważną jego postać.
====Dowód====
<ul>
<li> Ciąg {<math>a_n</math>} jest zbieżny; oznaczmy: <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} a_n = g</math>. Niech dane będzie <math>\epsilon>0</math>. Istnieje więc takie <math>M</math>, że dla <math>n\geq M</math> zachodzi <math>|a_n-g|<\frac{1}{2}\epsilon</math>. Nierówność ta zachodzi w szczególności dla <math>n=M</math>, tzn. <math>|a_M-g|=|g-a_M|<\frac{1}{2}\epsilon</math>. Dodając obie te nierówności pod znakiem wartości bezwzględnej, otrzymujemy <xr id="eq:14">(%i)</xr>.</li>
<li> Załóżmy teraz, że warunek Cauchy'ego <xr id="eq:14">(%i)</xr> jest spełniony. Należy stąd dowieść, że ciąg jest zbieżny. Najsampierw udowodnimy, że jest ograniczony. Będziemy to robić analogicznie jak kilka stron temu (przy dowodzie, że ciąg zbieżny jest ograniczony). Weźmy mianowicie <math>\epsilon=1</math>. Istnieje więc takie <math>M</math>, że dla <math>n>M</math> mamy <math>|a_n-a_M|<1</math>. Stąd <center><math>|a_n|-|a_M|\leq|a_n-a_M|<1,</math></center> a więc <math>|a_n|<|a_M|+1</math>. Oznaczmy przez <math>s</math> liczbę większą od każdej spośród <math>M</math> następujących liczb: <math>|a_1|, |a_2|, \dots, |a_{M-1}|, |a_M|+1</math>. Mamy więc <math> \forall_{n\in \mathbb N \; }:\; s>|a_n|</math>.
To dowodzi, że ciąg {<math>a_n</math>} jest ograniczony.</li></ul>

Skoro tak, to na mocy tw. Bolzano-Weierstrassa wynika, że ciąg ten zawiera podciąg zbieżny. Oznaczmy ten podciąg
\ciag{a_m} i niech jego granica wynosi: <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} a_{m_n} = \gamma</math>. Udowodnimy, że <math>\gamma=\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} a_n</math>.
Niech będzie dane <math>\epsilon>0</math>. Ponieważ jest spełniony warunek Cauchy'ego, to istnieje takie <math>M</math>, że dla <math>n>M</math>
spełniona jest nierówność
<equation id="eq:15">
<math>
|a_n-a_M|<\frac{1}{3}\epsilon.
\;</math></equation>
Ponieważ <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} a_{m_n} = \gamma</math>, to istnieje takie <math>M'</math>, że dla <math>n>M'</math> mamy
<equation id="eq:16">
<math>
|a_{m_n}-\gamma|<\frac{1}{3}\epsilon.
\;</math></equation>
Można tu dobrać <math>M'</math> tak, by <math>M'>M</math>. W ten sposób, dla <math>n>M'</math> obie nierówności <xr id="eq:15">(%i)</xr>i <xr id="eq:16">(%i)</xr> będą spełnione jednocześnie.
Ponadto, ponieważ <math>m_n>n>M</math>, to można w <xr id="eq:16">(%i)</xr> zastąpić <math>n</math> przez <math>m_n</math>. W ten sposób mamy
<equation id="eq:17">
<math>
|a_{m_n}-a_M|<\frac{1}{3}\epsilon.
\;</math></equation>
Dodając do siebie nierówności <xr id="eq:15">(%i)</xr>,<xr id="eq:16">(%i)</xr> i <xr id="eq:17">(%i)</xr>, i zmieniwszy uprzednio znak pod modułem w lewej części <xr id="eq:17">(%i)</xr>, otrzymujemy nierówność <math>|a_n-\gamma|<\epsilon</math>, która jest spełniona dla każdego <math>n>M</math>. A to oznacza, że <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} a_n = \gamma</math>.

'''CBDO'''
====Uwagi====
<ul>
<li>W tw. Cauchy'ego można zastąpić znak ">" w nierówności <math>n>M</math>, oraz "<" w warunku Cauchy'ego <xr id="eq:14">(%i)</xr>, przez <math>\geq</math> i <math>\leq</math> odpowiednio.</li>
<li>Warunek Cauchy'ego <xr id="eq:14">(%i)</xr> można sformułować równoważnie: <equation id="eq:18"> <math>
\forall_{\epsilon>0} \exists_{M\in\mathbb N \; }:\forall_{n,m>M}: |a_n-a_{m}|<\epsilon.
\;</math> </equation> '''Dow.''' Z warunku Cauchy'ego <xr id="eq:14">(%i)</xr> wynika bowiem, że istnieje takie <math>M'</math>, że dla <math>n > M'</math> i dla <math>m>M'</math> zachodzą nierówności <math>|a_n-a_{M'}|<\frac{1}{2}\epsilon</math> i <math>|a_m-a_{M'}|<\frac{1}{2}\epsilon</math>. Dodając je pod znakiem wartości bezwzględnej otrzymamy <xr id="eq:18">(%i)</xr>.
'''CBDO'''</li></ul>
------
<references/>