Elektrodynamika/Zadania domowe 1: Różnice pomiędzy wersjami

Z Brain-wiki
 
(Nie pokazano 5 pośrednich wersji utworzonych przez tego samego użytkownika)
Linia 1: Linia 1:
 
# Oblicz całkę krzywoliniową z funkcji
 
# Oblicz całkę krzywoliniową z funkcji
 
#: <math>v=(r\cos^2\theta)\vec{e}_r-(r\cos\theta\sin\theta)\vec{e}_\theta +3r\vec{e}_\phi</math>
 
#: <math>v=(r\cos^2\theta)\vec{e}_r-(r\cos\theta\sin\theta)\vec{e}_\theta +3r\vec{e}_\phi</math>
#: po zamkniętej krzywej składającej się z (współrzędne kartezjańskie):
+
#: po zamkniętej krzywej składającej się kolejno z (współrzędne kartezjańskie):
 
#:* prostej od punktu (0, 1, 0) do punktu (0, 1, 2);
 
#:* prostej od punktu (0, 1, 0) do punktu (0, 1, 2);
 
#:* prostej od punktu (0, 1, 2) do punktu (0, 0, 0);
 
#:* prostej od punktu (0, 1, 2) do punktu (0, 0, 0);
Linia 7: Linia 7:
 
#:* łuku okręgu o środku w (0, 0, 0) i promieniu 1 od punktu (1, 0, 0) do punktu (0, 1, 0).
 
#:* łuku okręgu o środku w (0, 0, 0) i promieniu 1 od punktu (1, 0, 0) do punktu (0, 1, 0).
 
#: Zamienić tę całkę na całkę powierzchniową (zgodnie z odpowiednim twierdzeniem), obliczyć i porównać wyniki.
 
#: Zamienić tę całkę na całkę powierzchniową (zgodnie z odpowiednim twierdzeniem), obliczyć i porównać wyniki.
 +
# Oblicz całkę objętościową z funkcji
 +
#: <math>f(x,y,z)=y^2z</math>
 +
#: po objętości stożka o czubku w punkcie (0, 0, 0) i podstawie w postaci koła o środku w punkcie (0, 0, 1) promieniu 1 (podstawa leży w płaszczyźnie ''z''=1).
 +
# Znaleźć potencjał w całej przestrzeni pochodzący od dwóch równoległych cienkich nici naładowanych z gęstością liniową ładunku &lambda; i &minus;&lambda;, odległych o ''a''.
 +
# Oblicz pole elektryczne na osi cienkiego pręta o długości ''L'' (na zewnątrz pręta). Końce pręta są w punktach (0, 0, 0) i (0, 0, ''L''), a pręt jest naładowany z gęstością liniową ładunku
 +
#: <math>\lambda(z)=z^2</math>.
 +
# Dany jest sześcian o boku ''a'' naładowany z gęstością objętościową ładunku
 +
#: <math>\rho(x,y,z)=\alpha x</math>.
 +
#: Układ współrzędnych jest umieszczony tak, że jeden z wierzchołków sześcianu jest w punkcie (0, 0, 0), a wychodzące z niego krawędzie pokrywają się z osiami układu w kierunku dodatnich współrzędnych. Znajdź moment dipolowy tego sześcianu. Czy konkretny wybór układu współrzędnych jest tutaj istotny?
 +
# Oblicz elektryczne momenty multipolowe rzędu 0, 1 i 2 układu trzech ładunków umieszczonych w wierzchołkach trójkąta równobocznego o boku ''a'', jak na rysunku.
 +
#:[[Plik:3_ladunki.png|200px]]

Aktualna wersja na dzień 11:58, 10 lis 2015

  1. Oblicz całkę krzywoliniową z funkcji
    [math]v=(r\cos^2\theta)\vec{e}_r-(r\cos\theta\sin\theta)\vec{e}_\theta +3r\vec{e}_\phi[/math]
    po zamkniętej krzywej składającej się kolejno z (współrzędne kartezjańskie):
    • prostej od punktu (0, 1, 0) do punktu (0, 1, 2);
    • prostej od punktu (0, 1, 2) do punktu (0, 0, 0);
    • prostej od punktu (0, 0 ,0) do punktu (1, 0, 0);
    • łuku okręgu o środku w (0, 0, 0) i promieniu 1 od punktu (1, 0, 0) do punktu (0, 1, 0).
    Zamienić tę całkę na całkę powierzchniową (zgodnie z odpowiednim twierdzeniem), obliczyć i porównać wyniki.
  2. Oblicz całkę objętościową z funkcji
    [math]f(x,y,z)=y^2z[/math]
    po objętości stożka o czubku w punkcie (0, 0, 0) i podstawie w postaci koła o środku w punkcie (0, 0, 1) promieniu 1 (podstawa leży w płaszczyźnie z=1).
  3. Znaleźć potencjał w całej przestrzeni pochodzący od dwóch równoległych cienkich nici naładowanych z gęstością liniową ładunku λ i −λ, odległych o a.
  4. Oblicz pole elektryczne na osi cienkiego pręta o długości L (na zewnątrz pręta). Końce pręta są w punktach (0, 0, 0) i (0, 0, L), a pręt jest naładowany z gęstością liniową ładunku
    [math]\lambda(z)=z^2[/math].
  5. Dany jest sześcian o boku a naładowany z gęstością objętościową ładunku
    [math]\rho(x,y,z)=\alpha x[/math].
    Układ współrzędnych jest umieszczony tak, że jeden z wierzchołków sześcianu jest w punkcie (0, 0, 0), a wychodzące z niego krawędzie pokrywają się z osiami układu w kierunku dodatnich współrzędnych. Znajdź moment dipolowy tego sześcianu. Czy konkretny wybór układu współrzędnych jest tutaj istotny?
  6. Oblicz elektryczne momenty multipolowe rzędu 0, 1 i 2 układu trzech ładunków umieszczonych w wierzchołkach trójkąta równobocznego o boku a, jak na rysunku.
    3 ladunki.png