Tekst źródłowy strony Filtry

=[[Analiza_sygnałów_-_lecture|AS/]] Funkcja przejścia i filtry=

Cyfrowe filtry liniowe niezmiennicze w czasie <math>x[n] \longrightarrow \boxed{LTI} \longrightarrow y[n]</math> opisuje liniowe równanie różnicowe o stałych współczynnikach


:<math>
\displaystyle
y[n] = \sum_{k=1}^K a_k y[n-k] + \sum_{l=0}^L b_l x[n-l]
</math>


gdzie  <math>a_i</math> i <math>b_i</math> to współczynniki, <math>x[n]</math> to sygnał wejściowy, a <math>y[n]</math> — wyjście; w ogólniejszej postaci można je zapisać jako


:<math>
\displaystyle
\sum_{k=0}^K a_k y[n-k] = \sum_{l=0}^L b_l x[n-l]
</math>

<!--


Jeśli w miejsce sygnału <math>x[n]</math> wstawimy szum <math>\epsilon[i]</math>, dostaniemy równanie opisujące proces ARMA — AutoRegressive Moving Average.


:<math>
\displaystyle
\sum_{k=0}^K a_k y[n-k] = \sum_{l=0}^L b_l \epsilon[n-l]
</math>



==Dla <math>L=0</math> dostajemy proces AR (autoregressive)==
w którym sygnał na wyjściu <math>y</math> zależy tylko od <math>K</math> poprzednich próbek wyjścia <math>y</math>.

:<math>
\displaystyle
\epsilon[n] = \sum_{k=0}^K a_k y[n-k]
</math>


kładąc <math>a_0 = 1</math> 


:<math>
\displaystyle
\epsilon[n] = y[n] + \sum_{k=1}^K a_k y[n-k]
</math>


:<math>
\displaystyle
y[n] =  \sum_{k=1}^K -a_k y[n-k] + \epsilon[n]
</math>



==Dla <math>K=0</math> dostajemy proces MA (moving average)==
w którym sygnał na wyjściu <math>y</math> zależy tylko od <math>L</math> poprzednich próbek wejścia


:<math>
\displaystyle
y[n] = \sum_{l=0}^L b_l \epsilon[n-l]
</math>


czyli splot szumu <math>\epsilon[n]</math> z sekwencją <math>b_l</math>

-->

==Funkcja przejścia (transfer function)==

Zastosujmy do obu stron powyższego równania transformatę <math>\mathcal{Z}</math>:


:<math>
\displaystyle
\mathcal{Z}\left\{\sum_{k=0}^K a_k y[n-k] \right\}  = \mathcal{Z}\left\{ \sum_{l=0}^L b_l x[n-l] \right\}
</math>


:<math>
\displaystyle
\sum_{k=0}^K a_k \mathcal{Z}\left\{ y[n-k]\right\} = \sum_{l=0}^L b_l \mathcal{Z} \left\{x[n-l]\right\}
</math>


:<math>
\displaystyle
\sum_{k=0}^K a_k z^{-k} Y(z) = \sum_{l=0}^L b_l z^{-l} X(z)
</math>


:<math>
\displaystyle
Y(z) \sum_{k=0}^K a_k z^{-k} = X(z) \sum_{l=0}^L b_l z^{-l}
</math>


Dla systemu przyczynowego dostajemy:


:<math>
\displaystyle
\frac{Y(z)}{X(z)} \equiv H(z) = \frac{\sum_{l=0}^L b_l z^{-l}}{\sum_{k=0}^K a_k z^{-k}}
</math>


<math>H(z)</math> &mdash; funkcja systemu ''(system function)'' pozwala spójnie przedstawić działanie filtra  LTI na sygnał <math>x</math> w przestrzeni transformaty <math>\mathcal{Z}</math>:


::<math>
\displaystyle
Y[z]=H[z]X[z]=\frac{b_0 + b_1 z^{-1}+\dots +b_{L} z^{-L}}{a_0+a_1 z^{-1}+\dots +a_{K} z^{-K}}X[z]
</math>


W dziedzienie czasu mamy


::<math>
\displaystyle
\begin{array}{rl}
y[n] = &b_0 x[n]+ b_1 x[n-1] + \dots + b_L x[n-L]\\
&- a_1 y[n-1] - \dots - a_K y[n-K]
\end{array}
</math>


==Finite Impulse Response (FIR) — filtr o skończonej odpowiedzi impulsowej==

Jeśli w równaniu 
:<math>
\displaystyle
\sum_{k=0}^K a_k y[n-k] = \sum_{l=0}^L b_l x[n-l]
</math>
położymy <math>a_i = 0</math> poza <math>a_0=1</math>, dostaniemy 
:<math>
\displaystyle
y[n] = \sum_{l=0}^L b_l x[n-l]
</math>

W funkcji przejścia mianownik będzie stały i dostaniemy 

<math>
\displaystyle
Y[z]=H[z]X[z]=\left(b_0+b_1 z^{-1}+\dots +b_L z^{-L}\right) X[z]
</math>


a w dziedzienie czasu 


:<math>
\displaystyle
y(n) = b_0 *x[n] + b_1 *x[n-1] + \dots + b_L *x[n-L]
</math>


jeśli współczynniki <math>b_i</math> zapiszemy jako <math>b[i]</math>, dostaniemy splot


:<math>
\displaystyle
y(n) = b[0]*x[n] + b[1]*x[n-1] + \dots + b[L]*x[n-L] = b[n]*x[n]
</math>



Taki filtr nazywamy filtrem o skończonej odpowiedzi impulsowej (Finite Impulse Response, FIR), bo odpowiedź na impulsowe wzbudzenie kończy się po <math>L</math> próbkach. Inna nazwa to średnia biegnąca (Moving Average, MA).

<!--
Dla filtrów FIR współczynniki filtru i odpowiedź impulsowa są takie same.
-->

==Infinite Impulse Response (IIR) —  filtr o nieskończonej odpowiedzi impulsowej==
Jeśli w równaniu 
:<math>
\displaystyle
\sum_{k=0}^K a_k y[n-k] = \sum_{l=0}^L b_l x[n-l]
</math>
położymy <math>b_i = 0</math> poza <math>b_0=1</math>, dostaniemy 
:<math>
\displaystyle
\sum_{k=0}^K a_k y[n-k] = x[n]
</math>

w funkcji przejścia licznik będzie stały 

::<math>
\displaystyle
Y[z]=H[z]X[z]=\frac{1}{a_0+a_1 z^{-1}+\dots +a_{K} z^{-K}}X[z]
</math>


Operacja splotu działa tu na sekwencji wyjściowej:
:<math>
y[n] = x[n] - a[1]*y[n-1] - \dots - a[n_a]*y[n-K]
</math>


Taki filtr ten nazwać można filtrem rekursywnym lub autoregresyjnym (AR). 

W praktyce filtry IIR są zwykle implementowane jako połączenie członów AR i MA, czyli:

::<math>
\begin{array}{ll}
y[n] = b[0]*x[n] &+ b[1]*x[n-1] + \dots + b[L]*x[n-L]\\
&- a[1]*y[n-1] - \dots - a[K]*y[n-K]
\end{array}
</math>

Tę wersję filtru nazywamy filtrem o nieskończonej odpowiedzi impulsowej (Infinite Impulse Response IIR) bo potencjalnie raz wzbudzony może dowolnie długo produkować niezerowe wyjście. 
Faza filtrowanego sygnału zaburzana jest nieliniowo ('''nonlinear phase filter''')

==Liniowe i nieliniowe przesunięcie fazy==
''Jeśli współczynniki filtra FIR tworzą sekwencję symetryczną bądź antysymetryczną'', oparty na nich filtr o skończonej odpowiedzi impulsowej będzie liniowo przesuwał fazę filtrowanego sygnału ('''linear phase filter''') — cały sygnał skutkiem filtrowania jest przesunięty w czasie o ok. połowę długości filtra FIR.

'''Rzędem filtru''' nazywamy maksymane opóźnienie w próbkach potrzebne do wytworzenia nowej próbki wyjściowej. Dla filtrów FIR jest on równy liczbie <math>L</math>. Dla filtrów IIR jest to większa z liczb <math>L, K</math>.


[[Plik:Phase1.png|500px|bezramki]]
[[Plik:Phase2.png|500px|bezramki]]
[[Plik:Phase3.png|500px|bezramki]]


{| role="presentation" class="wikitable mw-collapsible mw-collapsed"
| <strong>kod (uproszczony) </strong>
|-
|<source lang=python>
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

t = np.arange(0.0, 3, 0.01)
s1 = np.sin(2 * np.pi * t)
s2= np.sin(2 * np.pi * t + np.pi/2)
s3= np.sin(2*2 * np.pi * t)
s4= np.sin(2*2 * np.pi * t + np.pi/2)
s5= np.sin(2*2 * np.pi * t + 2*np.pi/2)

fig1, ax1 = plt.subplots(3, 1)
ax1[0].plot(t, s1)
ax1[1].plot(t, s3)
ax1[2].plot(t, s1+s3, 'r')
ax1[0].set_title('sin(wt)')
ax1[1].set_title('sin(2wt)')
ax1[2].set_title('sin(wt) + sin(2wt)')

fig2, ax2 = plt.subplots(3, 1)
ax2[0].plot(t, s2)
ax2[1].plot(t, s4)
ax2[2].plot(t, s2+s4, 'r')
ax2[0].set_title('sin(wt+pi/2)')
ax2[1].set_title('sin(2wt+pi/2)')
ax2[2].set_title('sin(wt+pi/2) + sin(2wt+pi/2)')

fig3, ax3 = plt.subplots(3, 1)
ax3[0].plot(t, s2)
ax3[1].plot(t, s5)
ax3[2].plot(t, s2+s5, 'r')
ax3[0].set_title('sin(w(t+pi/2))')
ax3[1].set_title('sin(2wt+2*pi/2)')
ax3[2].set_title('sin(wt+pi/2) + sin(2wt+2*pi/2)')

plt.show()
</source>
|}

{| role="presentation" class="wikitable mw-collapsible mw-collapsed"
| <strong>kod generujący obrazki </strong>
|-
|<source lang=python>

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

t = np.arange(0.0, 3, 0.01)
s1 = np.sin(2 * np.pi * t)
s2 = np.sin(2 * np.pi * t + np.pi / 2)
s3 = np.sin(2 * 2 * np.pi * t)
s4 = np.sin(2 * 2 * np.pi * t + np.pi / 2)
s5 = np.sin(2 * 2 * np.pi * t + 2 * np.pi / 2)

def fix_axes():
    for i in range(0, 3):
        ax[i].set_yticks([0], [])
        ax[i].set_xlim([0, 3])
        ax[i].grid(True)
        ax[i].set_frame_on(False)
        ax[i].tick_params(length=0)
        ax[i].set_ylim(-2, 2)

fig1, ax = plt.subplots(3, 1, dpi=200)
ax[0].plot(t, s1)
ax[1].plot(t, s3)
ax[2].plot(t, s1 + s3, 'r')
ax[0].set_title('sin( $\omega$t )', loc='left')
ax[1].set_title('sin( 2*$\omega$t )', loc='left')
ax[2].set_title('sin( $\omega$t ) + sin( 2*$\omega$t )', loc='left')
fix_axes()
for i in range(0, 3):
    ax[i].set_xticks(np.arange(.25, 3, 1), [])
plt.show()

fig2, ax = plt.subplots(3, 1, dpi=200)
ax[0].plot(t, s2)
ax[1].plot(t, s4)
ax[2].plot(t, s2 + s4, 'r')
ax[0].set_title('sin( $\omega$t + $\pi$/2 )', loc='left')
ax[1].set_title('sin( 2*$\omega$t + $\pi/2$ )', loc='left')
ax[2].set_title('sin( $\omega$t + $\pi$/2 ) + sin( 2*$\omega$t + $\pi$/2 )', loc='left')
fix_axes()
for i in range(0, 3):
    ax[i].set_xticks(np.arange(0, 3, 1), [])
plt.show()

fig3, ax = plt.subplots(3, 1, dpi=200)
ax[0].plot(t, s2)
ax[1].plot(t, s5)
ax[2].plot(t, s2 + s5, 'r')
ax[0].set_title('sin( $\omega$(t + $\pi$/2) )', loc='left')
ax[1].set_title('sin( 2*$\omega$t + 2*$\pi$/2 )', loc='left')
ax[2].set_title('sin( $\omega$t + $\pi$/2 ) + sin( 2*$\omega$t + 2*$\pi$/2 )', loc='left')
fix_axes()
for i in range(0, 3):
    ax[i].set_xticks(np.arange(0, 3, 1), [])
plt.show()
</source>
|}




Stosując transformatę <math>Z</math> możemy równanie z dziedziny czasu przenieść do dziedziny częstości. Filtrowanie odpowiada przemnożeniu transformaty sygnału przez transformatę funkcji przenoszenia filtru:


::<math>
\displaystyle
Y[z]=H[z]X[z]=\frac{b[0]+b[1]z^{-1}+\dots +b[n_b]z^{-n_b}}{a[0]+a[1]z^{-1}+\dots +a[n_a]z^{-n_a}}X[z]</math>


Występująca tu funkcja <math>H(z)</math> nosi nazwę transmitancji lub funkcja przenoszenia.
Znając funkcję <math>H</math>  łatwo możemy przewidzieć co się stanie z widmem sygnału po przefiltrowaniu. Weźmy <math> z = e^{i\omega}</math>. Wówczas transmitancja jest funkcją częstości <math>\omega</math>. Konkretnej częstości <math>\omega_k</math> przypisuje ona liczbę zespoloną, którą można wyrazić jako <math>A_k e^{i \phi_k}</math>. 

::<math>
\displaystyle
Y[e^{i\omega}]=H[e^{i\omega}]X[e^{i\omega}]=\frac{b[0]+b[1]e^{-i\omega}+\dots +b[n_b]e^{-i\omega n_b}}{a[0]+a[1]e^{-i\omega}+\dots +a[n_a]e^{-i\omega n_a}}X[e^{i\omega}]
</math>

W dziedzinie częstości sygnał wyrażony jest przez współczynniki Fourierowskie. Dla konkretnej częstości współczynnik taki <math>X_k = |X_k| e^{i \theta_k}</math> (liczba zespolona) mówi z jaką amplitudą i jaką fazą exponens zespolony o danej częstości (<math>z_k = e^{i\omega_k}</math>) wchodzi w skład sygnału. 

Działanie filtru na sygnał w dziedzinie częstości polega na przemnożeniu składowej sygnału o częstości <math>f_k</math> przez liczbę <math>A_k e^{i \phi_k}</math>:

:<math>Y(f_k) = A_k e^{i \phi_k} |X_k| e^{i \theta_k} = A_k |X_k| e^{i ( \phi_k +\theta_k)}  e^{i 2\pi  f_k} </math>
 
W wyniku filtrowania sinusoidalna składowa sygnału o danej częstości może zmienić amplitudę i fazę ale co warto zauważyć nie zmienia częstości.
Zera i bieguny filtra to odpowiednio miejsca zerowe licznika i mianownika funkcji przenoszenia.