Tekst źródłowy strony Fizyka III/Fale elektromagnetyczne w próżni

Rozważania rozpoczniemy od fal elektromagnetycznych w próżni. Dla próżni równania Maxwella w tzw. postaci różniczkowej są następujące:
:<math>\mathrm{rot}\vec E = -\frac{\partial\vec B}{\partial t}</math>
:<math>\mathrm{div}\vec B = 0</math>
:<math>\mathrm{rot}\vec B =\mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial\vec E}{\partial t}</math>
:<math>\mathrm{div}\vec E = 0</math>,
gdzie ''E'' oznacza pole elektryczne, ''B'' indukcję pola magnetycznego a <math>\varepsilon_0</math> i <math>\mu_0</math> przenikalność elektryczną i magnetyczną.

Równanie pierwsze pokazuje, ze zmienne pole magnetyczne jest źródłem siły elektromotorycznej, natomiast równanie trzecie, że zmienne pole elektryczne jest źródłem pola magnetycznego. Dokonujemy następujących operacji matematycznych, liczymy:
:<math>\mathrm{rot}\ \mathrm{rot}\vec{E} =-\frac\partial{\partial t}\mathrm{rot}\vec B =- \frac\partial{\partial t} \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial \vec E}{\partial t}</math>.
Korzystając z tożsamości <math>\mathrm{rot}\ \mathrm{rot}\vec{E}=\nabla\mathrm{div}\vec E-\Delta\vec E</math> oraz z faktu <math>\mathrm{div}\vec E=0</math> otrzymujemy klasyczne równanie falowe na pole elektryczne:
:<math>\Delta\vec E = \frac 1{c^2}\frac{\partial^2\vec E}{\partial t^2}</math>.
Prędkość rozchodzenia się fali elektromagnetycznej ''c'' nazywamy prędkością światła. W próżni: <math>c=\frac 1\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}=\unit{299792458}{\frac ms}</math>.

Zwróćmy uwagę, że pole elektryczne jest wielkością wektorową, a zatem każda ze składowych pola elektrycznego spełnia klasyczne równanie falowe. Analogiczne równania otrzymujemy na wektor indukcji pola magnetycznego. Mamy więc w sumie sześć równań na składowe pola elektrycznego i pola magnetycznego. Okazuje się, te sześć składowych obu pól nie są niezależne. Przyjmijmy, że rozwiązanie równania falowego jest w postaci harmonicznej biegnącej fali płaskiej: <math>\vec E =\vec E_0\cos(\vec k\vec r -\omega t)</math>.
Korzystając z równania: <math>\mathrm{div}\vec E = \frac{\partial E_x}{\partial x} +\frac{\partial E_y}{\partial y}+ \frac{\partial E_z}{\partial z}=0</math>,
otrzymujemy: <math>(E_{0x}k_x+E_{0y}k_y+E_{0z}k_z)(-\sin(\vec k\vec r-\omega t))=0</math>.

Równanie to jest spełnione dla każdej chwili czasu co oznacza, że: <math>\vec E\cdot\vec k=0</math> czyli <math>\vec E\bot \vec k</math>. Analogicznie dla wektora indukcji pola magnetycznego: <math>\vec B\cdot\vec k=0\Longrightarrow \vec B\bot \vec k</math>. To oznacza, że fala elektromagnetyczna jest falą poprzeczną. Wektory pola elektrycznego i indukcji pola magnetycznego są prostopadłe do kierunku rozchodzenia się fali. 

Okazuje się, że istnieje również związek łączący pole elektryczne i magnetyczne. Korzystając z równania Maxwella  oraz przyjmując, że (daleko od źródła) 
:<math>\vec E =\vec E_0\cos(\vec k\vec r -\omega t)\;</math>
:<math>\vec B =\vec B_0\cos(\vec k\vec r -\omega t)\;</math>
otrzymujemy następująca zależność:
:<math>\vec{B} = \frac 1\omega\left(\vec k\times\vec E\right)=\frac 1 c\left(\vec n\times\vec E\right)</math>

:<math>\vec n=\frac{\vec k}k</math>
czyli: 
:<math>\vec B\bot \vec E</math>

:<math>B=\frac Ec</math>.
A zatem dla fali elektromagnetycznej w próżni wektory pola elektrycznego i indukcji pola magnetycznego są prostopadłe do siebie. Drgania wektorów obu pól odbywają się w fazie. Przykład biegnącej, harmonicznej fali elektromagnetycznej pokazano na rysunku <xr id="fig:rys_1"/>.
[[Plik:Elektromagnetyczna fala biegnąca.png|thumb|<figure id="fig:rys_1"/>Elektromagnetyczna fala biegnąca.]]

Fale elektromagnetyczne, jak każde fale przenoszą energię. Korzystając ze wzoru na gęstość energii pola elektromagnetycznego: <math>\rho_E=\frac{\varepsilon_0\vec E^2}2+\frac{\vec B^2}{2\mu_0}</math>, łatwo można otrzymać zasadę zachowania energii w następującej postaci:
<math>\frac{\partial\rho_E}{\partial t}+\frac 1{\mu_0}\mathrm{div}\left(\vec E\times\vec B\right)=-\vec E\vec j</math>.

Widzimy, że suma zmiany energii elektromagnetycznej na jednostkę czasu w pewnej objętości i energii wypływającej w jednostce czasu przez powierzchnię ograniczającą  tę objętość jest równa wziętej ze znakiem minus pracy wykonanej w jednostce czasu przez pola nad źródłami w tej objętości. Wielkość <math>\vec S=\frac 1{\mu_0}\left(\vec E\times\vec B\right)</math> nazywamy wektorem Poyntinga. Wektor ten ma sens szybkości przepływu energii przez jednostkę powierzchni, a więc wartość średnia wektora Poyntinga jest natężeniem fali elektromagnetycznej: <math>I=\langle S\rangle</math>. Dla fali harmonicznej natężenie wynosi:
:<math>I=\frac 1{mu_0}\langle EB\rangle=\frac 1{c\mu_0}\langle E^2\rangle = \frac 1{c\mu_0}\langle E^2_0\cos^2(\vec k\vec r -\omega t)\rangle = I= \frac 1{2c\mu_0} E_0^2</math>.

Dla punktowych źródeł emitujących fale izotropowo <math>I=\frac{P_\mathrm{zrodla}}{4\pi r^2}</math>. Korzystając z wyprowadzonych wzorów policzmy jakie natężenie pola elektrycznego oraz indukcji pola magnetycznego zaobserwujemy na powierzchni Ziemi od satelity telekomunikacyjnego znajdującego się <math>r=\unit{100}{km}</math> nad Ziemią i emitującego fale ze źródła o mocy <math>P_\mathrm{stacji} =\unit{50}{kW}</math>. 

Natężenia promieniowania wynosi: <math>I=\frac{P_\mathrm{stacji}}{\frac 1 2 4\pi r^2}=\unit{7,96\times 10^{-7}}{\frac W{m^2}}</math>, stad otrzymujemy: 
:<math>E_0=\sqrt{2\mu_0 c I}=\unit{2,45\cdot 10^{-2}}{\frac Vm}</math>

:<math>B_0=\frac {E_0}c = \unit{8,17\cdot 10^{-11}}T</math>.
Wartość pola magnetycznego jest bardzo mała, dlatego w telekomunikacji wykorzystywana jest detekcja pola elektrycznego.

Fale elektromagnetyczne padając na obiekt wywierają ciśnienie. Wzór na ciśnienie promieniowania elektromagnetycznego <math>p_p</math> (wzór wyprowadza się korzystając z faktu, że pęd „światła” jest równy energii podzielonej przez prędkość światła) jest następujący:
#Jeśli światło jest całkowicie pochłaniane <math>p_p=\frac I c</math>,
#Jeśli światło jest całkowicie odbijane: <math>p_p=\frac 2 c I</math>.
Ciśnienie promieniowania widoczne jest miedzy innymi w tworzeniu się dwóch warkoczy za kometa przechodzącą w pobliżu Słońca. Kiedy kometa przelatuje w pobliżu Słońca, z jej parującej lodowej powierzchni uwalniają się pył i naładowane cząstki. Wiatr słoneczny „ustawia” naładowane cząstki wzdłuż promienia od Słońca, natomiast drugi warkocz tworzy pył, który jest „odchylany” od orbity przez ciśnienie promieniowania (patrz rysunek <xr id="fig:rys_2"/>). 
[[Plik:Kometa z dwoma warkoczami.png|thumb|<figure id="fig:rys_2"/>Kometa z dwoma warkoczami.]]

Podobnie jak dla fal dźwiękowych czy fal na strunie, również dla fal elektromagnetycznych z superpozycji dwóch fal biegnących w przeciwnych kierunkach otrzymujemy fale stojące, np.:
:<math>E_y(x,t)=E_0\left[\cos(kx+\omega t)-\cos(kx-\omega t)\right]=-2E_0\sin(kx)\sin(\omega t )</math>
:<math>B_z(x,t)=B_0\left[-\cos(kx+\omega t)-\cos(kx-\omega t)\right]=-2B_0\cos(kx)\sin(\omega t )</math>
Należy zwrócić uwagę, że dla fal stojących drgania wektora pola elektrycznego i wektora indukcji pola magnetycznego są przesunięte w fazie o 90&deg;, podczas gdy dla fali biegnącej oba pola drgają z tą samą fazą. Elektromagnetyczne fale stojące o długości fali 12.2 cm wykorzystywane są w kuchenkach mikrofalowych.

Dla fal elektromagnetycznych musimy pamiętać, że pole elektryczne i magnetyczne są wielkościami wektorowymi. Jeśli drgania tych pól odbywają się w jednej płaszczyźnie to mówimy, że fala ma polaryzację liniową. Natomiast jeśli rzut wektora pola elektrycznego na płaszczyznę prostopadłą do kierunku rozchodzenia się fali zatacza okręgi, to mówimy o polaryzacji kołowej. W takim przypadku składowe pola opisane są następująco:
:<math>E_x=E_0\cos(kz-\omega t)</math>
:<math>E_y=E_0\cos(kz-\omega t+\nicefrac \pi2)=E_0\sin(kz-\omega t)</math>
Na rysunku  <xr id="fig:rys_3"/> pokazano falę spolaryzowaną kołowo. Rzuty końca wektora pola elektrycznego i indukcji pola magnetycznego zataczają okręgi.
[[Plik:Fala spolaryzowana kołowo.png|thumb|<figure id="fig:rys_3"/>Fala spolaryzowana kołowo.]]

Dla fal elektromagnetycznych występuje podobnie jak dla fal mechanicznych efekt Dopplera, ale należy mocno podkreślić, że jest to efekt relatywistyczny, związany z transformacją z jednego układu odniesienia do drugiego. Dla efektu Dopplera fal elektromagnetycznych zgodnie z teorią względności nie ma znaczenia czy źródło, czy obserwator jest w ruchu, istotna jest tylko prędkość względna. Załóżmy, że w jednym układzie odniesienia falę opisujemy następująco: <math>E(z,t)=E_0\cos(2\pi f_0(t-\nicefrac zc))</math>. 

W drugim układzie, poruszającym się względem pierwszego z prędkością ''v'', falę tę opisujemy: <math>E(z,t)=E_0\cos(2\pi f(t-\nicefrac zc))</math>. Korzystając z transformacji Lorentza otrzymujemy: <math>E(z,t)=E_0\cos\left(2\pi f_0\left(\frac{t+(\nicefrac v{c^2})z}{\sqrt{1-\nicefrac {v^2}{c^2}}}- \frac{z+vt}{\sqrt{1-\nicefrac {v^2}{c^2}}}\right)\right)=E_0\cos\left(2\pi f_0\frac{1-\nicefrac vc}{ \sqrt{1-\nicefrac {v^2}{c^2}}}(t-\nicefrac zc)\right)</math>.

Stąd częstotliwość fali w drugim układzie odniesienia wynosi: <math>f'=f_0\frac{1-\nicefrac vc}{\sqrt{1-\nicefrac {v^2}{c^2}}}</math>.

Wzór ten jest dla źródła lub obserwatora oddalających się od siebie; jeśli źródło lub obserwator zbliżają się do siebie we wzorze trzeba zmienić znak prędkości ''v''. Dla małych prędkości ''v'', wzór na zmianę częstotliwości można uprościć do postaci: <math>f=f_0(1-\nicefrac vc+\ldots)</math>, a stąd: <math>\frac c\lambda= \frac{c}{\lambda_0}(1-\nicefrac vc)</math> i <math>v=\frac{\Delta \lambda}\lambda c</math>.

Znając zmianę częstotliwości lub długości fali można wyznaczyć względną prędkość układów odniesienia. Efekt ten jest wykorzystywany w radarach policyjnych do wyznaczanie prędkości pojazdów oraz w astronomii do wyznaczania prędkości gwiazd lub galaktyk. Efekt Dopplera uwzględniany jest również w nawigacji satelitarnej GPS.

Jeśli źródło (lub obserwator) porusza się pod kątem &theta; w kierunku obserwatora (źródła): to obserwowana częstotliwość wynosi: <math>f=f_0\frac{\sqrt{1-\nicefrac {v^2}{c^2}}}{1+v\cos\nicefrac\theta c}</math>.

Efekt zmiany częstotliwości ma więc miejsce nawet w przypadku gdy kąt <math>\theta =\frac \pi2</math> (tzw. poprzeczny efekt Dopplera). Efekt taki nie występuje w przypadku fal mechanicznych rozchodzących się w ośrodkach sprężystych.