http://brain.fuw.edu.pl/edu/index.php?title=Funkcje_pierwotne&feed=atom&action=historyFunkcje pierwotne - Historia wersji2024-03-29T10:25:08ZHistoria wersji tej strony wikiMediaWiki 1.34.1http://brain.fuw.edu.pl/edu/index.php?title=Funkcje_pierwotne&diff=1157&oldid=prevAnula: Utworzono nową stronę "__NOTOC__ ==Podstawowe definicje== ===Funkcja pierwotna=== Funkcję F nazywamy ''funkcją pierwotną'' funkcji <math>f\;</math>, określonej w przedziale otwartym <math..."2015-05-22T12:12:14Z<p>Utworzono nową stronę "__NOTOC__ ==Podstawowe definicje== ===Funkcja pierwotna=== Funkcję F nazywamy ''funkcją pierwotną'' funkcji <math>f\;</math>, określonej w przedziale otwartym <math..."</p>
<p><b>Nowa strona</b></p><div>__NOTOC__<br />
<br />
==Podstawowe definicje==<br />
===Funkcja pierwotna===<br />
Funkcję F nazywamy ''funkcją pierwotną'' funkcji <math>f\;</math>, określonej w przedziale otwartym <math>P</math> (skończonym lub nieskończonym), jeśli <math>F'(x)=f(x)\;</math> dla każdego <math>x\in P</math>.<br />
====Przykłady====<br />
#Funkcja <math>\sin\; x\;</math> jest funkcją pierwotną funkcji <math>\cos\; x\;</math>, bo <math>(\sin\; x)'=\cos\; x\;</math>.<br />
#Również funkcja <math>\sin\; x +C\;</math>, gdzie <math>C\;</math> jest dowolną stałą, jest funkcją pierwotną funkcji <math>\cos\; x\;</math>.<br />
#Funkcją pierwotną dla <math>e^x\;</math> jest ta sama funkcja <math>e^x\;</math>.<br />
====Funkcja pierwotna na przedziale domkniętym====<br />
Jeśli funkcja <math>f\;</math> jest określona w przedziale ''domkniętym'' <math>a\leq x\leq b\;</math>, to funkcję <math>F\;</math> nazywamy jej funkcją pierwotną, jeśli <math>F'(x)=f(x) \;</math> dla <math>a<x<b\;</math> oraz zachodzi: <math>F'_+(a) = f(a)\;</math> i <math>F'_-(b)=f(b)\;</math>.<br />
====Twierdzenie====<br />
Jeśli dwie funkcje <math>F\;</math> i <math>G\;</math> są funkcjami pierwotnymi funkcji <math>f\;</math> w przedziale <math>P</math> (otwartym lub domkniętym), to te dwie funkcje różnią się między sobą o stałą.<br />
=====Dowód=====<br />
Ponieważ zachodzi: <math>F'(x)=G'(x)\;</math>, to &mdash; na mocy twierdzenia które było przy pochodnych (wniosek z [[Matematyka:Pochodne1#Twierdzenie_Lagrange.27a_i_Cauchy.27ego|wz. Lagrange'a o wart. średniej]] &mdash; funkcje te różnią się o stałą: <math>F(x) = G(x)+C\;</math>. <br />
<br />
I odwrotnie, funkcja, która powstaje przez dodanie stałej do funkcji pierwotnej funkcji <math>f\;</math>, jest też funkcją pierwotną funkcji <math>f\;</math>. <br />
<br />
Tak więc wyrażenie: <math>F(x)+C\;</math> jest ogólną postacią funkcji pierwotnej funkcji <math>f\;</math>. <br />
<br />
'''CBDO'''<br />
====Całki nieoznaczone====<br />
To ostatnie wyrażenie oznaczamy symbolem <br />
<center><math><br />
\int f(x) d x,<br />
\;</math></center> <br />
czytamy: "całka <math>f(x)\;</math> po <math>d x\;</math>" i nazywamy je ''całką nieoznaczoną'' funkcji <math>f\;</math>. Mamy więc:<br />
<equation id="eq:1"><br />
<math><br />
\int f(x) d x = F(x)+C, \;\;\;\mbox{gdzie}\;\;\; F'(x)=f(x),<br />
\;</math><br />
</equation><br />
<equation id="eq:2"><br />
<math><br />
\frac{d}{d x} \int f(x) d x =f(x),<br />
</math><br />
</equation><br />
<equation id="eq:3"><br />
<math><br />
\int \frac{d F(x)}{d x} d x = F(x)+c.<br />
\;</math><br />
</equation><br />
Znajdowanie całki nieoznaczonej danej funkcji <math>f\;</math> lub &mdash; innymi słowy &mdash; znajdowanie funkcji pierwotnej funkcji <math>f\;</math> nazywamy ''całkowaniem'' funkcji <math>f\;</math>. Całkowanie jest więc procesem (prawie) odwrotnym do różniczkowania. <ref>Dlaczego ''prawie''? Otóż jeśli weźmiemy jakąś funkcję <math>f\;</math>, scałkujemy ją, a następnie zróżniczkujemy &mdash; to otrzymamy tę samą funkcję <math>f\;</math>. Natomiast jeśli najpierw funkcję <math>f\;</math> zróżniczkujemy, a potem scałkujemy, to otrzymamy funkcję <math>f\;</math> '' plus dowolna stała'' &mdash; więc coś bardzo podobnego, ale jednak nie to samo.</ref><br />
==Funkcje pierwotne funkcji elementarnych==<br />
Jak wynika z samej definicji całki nieoznaczonej, każdy wzór na pochodną jakiejś funkcji daje automatycznie wzór na całkę funkcji otrzymanej po zróżniczkowaniu. Mamy np.: Z wzoru <math>(\sin\; x)' = \cos\; x\;</math> otrzymujemy<br />
<center><math><br />
\int \cos\; x d x = \sin\; x + C.<br />
\;</math></center> <br />
<br />
Ze znanych wzorów na pochodne otrzymujemy następujące wzory na funkcje pierwotne:<br />
<equation id="eq:4"><br />
<math><br />
\int 0 d x = C,<br />
\;</math><br />
</equation><br />
<equation id="eq:5"><br />
<math> <br />
\int a d x = ax +C,<br />
\;</math><br />
</equation><br />
<equation id="eq:6"><br />
<math> \int x^nd x<br />
=\frac{1}{n+1} x^{n+1} +C, \;\;n\in \mathbb N \; ,<br />
\;</math><br />
</equation><br />
<equation id="eq:7"><br />
<math> \int \cos\; x d x<br />
=\sin\; x +C,<br />
\;</math><br />
</equation><br />
<equation id="eq:8"><br />
<math> \int \sin\; x d x<br />
=-\cos\; x +C,<br />
\;</math><br />
</equation><br />
<equation id="eq:9"><br />
<math> \int \frac{1}{\cos\;^2 x}d x = \tg\; x + C;\;\;\;<br />
\;</math><br />
</equation><br />
<equation id="eq:10"><br />
<math> \int \frac{1}{\sin\;^2 x}d x = -\ctg\; x + C,<br />
\;</math><br />
</equation><br />
<equation id="eq:11"><br />
<math> \int e^x d x<br />
=e^x+C<br />
\;</math><br />
</equation><br />
<equation id="eq:12"><br />
<math><br />
\int \frac{d x}{x} = \ln |x| + C,<br />
\;</math><br />
</equation><br />
<equation id="eq:13"><br />
<math><br />
\int \frac{d x}{\sqrt{1-x^2}} d x = {\rm arc \sin}\, x +C,<br />
\;</math><br />
</equation><br />
<equation id="eq:14"><br />
<math><br />
\int \frac{d x}{1+x^2} d x = {\rm arctg}\, x +C,<br />
\;</math><br />
</equation><br />
<equation id="eq:15"><br />
<math> \int x^ad x<br />
=\frac{1}{a+1} x^{a+1} +C, \;\;a\in \mathbb R \; ,\;\; a\ne -1<br />
\;</math><br />
</equation><br />
==Ogólne wzory na całkowanie==<br />
Załóżmy, że funkcje <math>f\;</math> i <math>g\;</math> są ciągłe. Zachodzą wówczas następujące wzory.<br />
<ol><br />
<li><br />
<math>\int(f(x)+g(x)) d x = \int f(x)d x +\int g(x) d x. </math><br />
<br/><br />
'''Dowód'''<br/><br />
Mamy bowiem: <math>\frac{d}{d x} \left( \int f(x)d x + \int g(x) d x \right) = f(x) + g(x).</math><br/><br />
'''CBDO'''<br/><br />
</li><br />
<li><br />
<math>\int a f(x) d x = a \int f(x) d x, \;\;\;\mbox{gdzie } a - \mbox{stala}.</math><br />
<br/><br />
'''Dowód'''<br />
<br/><br />
<math>\frac{d}{d x} \left( a \int f(x)d x \right) = a \frac{d}{d x}\int f(x)d x = a f(x).</math><br />
</li><br />
<li>(Wzór na ''całkowanie przez części'') Dla <math>f,g\;</math> takich, że <math>f', g'\;</math> są ciągłe zachodzi<br />
<center><math><br />
\int f(x) g'(x) d x = f(x) g(x) - \int f'(x) g(x) d x<br />
</math></center> <br />
<br />
'''Dowód'''<br />
<br />
Zróżniczkujmy obie strony powyższej równości. Mamy: <math>f(x) g'(x) = f'(x) g(x) + f(x) g'(x) - f'(x) g(x).</math><br />
<br />
'''CBDO'''<br />
<br />
'' Przykłady'' <br />
#<math>\int x e^x d x = \int x (e^x)'d x = x e^x -\int x' e^x d x = x e^x - \int e^x d x = x e^x - e^x.</math><br />
#<math>\int \ln x d x = \int x' \ln x d x = x \ln x - x \int (\ln x)' d x =x \ln x - x \int x \frac{1}{x} d x = x \ln x -x+C.</math><br />
</li><br />
<li>(wzór na ''całkowanie przez podstawienie'', lub na ''zamianę zmiennych w całce''):<br />
<center><math><br />
\int g(f(x)) \frac{d f(x)}{d x} d x = \left. \int g(y) d y\right|_{y=f(x)}<br />
</math></center> <br />
<br />
'' Uwaga.'' Krócej ten wzór możemy zapisać, oznaczając <math>y=f(x)\;</math> i <math>z=g(y)\;</math>. Wtedy mamy:<br />
<center><math><br />
\int z \frac{d y}{d x} d x = \int z d y.<br />
\;</math></center> <br />
<br />
'''Dowód''' <br />
<br />
Dowód opiera się na odwróceniu wzoru na różniczkowanie funkcji złożonej. Oznaczmy <math>G(y)=\int g(y) d y\;</math>. Mamy:<br />
<center><math><br />
\left[ G(f(x))\right]'=G'(f(x))\cdot f'(x) = g(f(x))\cdot f'(x);<br />
\;</math></center> <br />
biorąc teraz funkcję pierwotną od obu stron, mamy<br />
<center><math><br />
\int g(f(x))\cdot f'(x) d x = \int \left[ G(f(x))\right]'d x = G(f(x))=\left. G(y)\right|_{y=f(x)} =\left. \int g(y) d y\right|_{y=f(x)}<br />
</math></center> <br />
<br />
'''CBDO'''<br />
<br />
''Przykłady'' <br />
#<math>\int g(ax)d x = \frac{1}{a} \int g(y) d y, \;\;\;\mbox{gdzie} \;\;y=ax.</math><br />
#<math>\int f(x+a)d x = \int f(y)d y, \;\;\;\mbox{gdzie} \;\;y=x+a.</math><br />
</li></ol><br />
===Przykład 1===<br />
Obliczmy całkę:<br />
<center><math>\int \frac{x}{1+x^2}d x.</math></center> <br />
<br />
Zrobimy to za pomocą podstawienia <math>y=x^2\;</math>. Mamy:<br />
<center><math><br />
\int \frac{x}{1+x^2}d x = \;</math> <math>||y=x^2, x d x = \frac{1}{2}d y||=\frac{1}{2}\int \frac{d y}{1+y}=\frac{1}{2} \ln(1+y)=\frac{1}{2}\ln(1+x^2).</math></center><br />
===Przykład 2===<br />
W następującej całce podstawimy <math>x=\sin\; t\;</math>, zakładając, że <math>t\in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\;</math> :<br />
<center><math><br />
\int\sqrt{1-x^2}d x =||\ x=\sin\; t, d x =\cos\; t d t\;||=\int \cos\;^2 t d t;\;</math></center><br />
tę całkę liczymy całkując przez części:<br />
<center><math>\int \cos\;^2 t d t = \int (\sin\; t)'\cos\; t d t = \sin\; t \cos\; t - \int \sin\; t (\cos t)' d t= \sin\; t \cos\; t + \int \sin\;^2 t d t</math></center> <br />
<center><math><br />
= \sin\; t \cos\; t + \int d t - \int \cos\;^2 t d t,<br />
\;</math></center> <br />
skąd mamy<br />
<center><math><br />
\int\sqrt{1-x^2}d x =\int \cos\;^2 t d t = \frac{1}{2}(\sin\; t \cos\; t + t) = \frac{1}{2}(x\sqrt{1-x^2}+{\rm arc\sin}\,x).</math></center> <br />
<br />
====Uwaga====<br />
Poprawność całkowania możemy sprawdzić, różniczkując wynik; po zrobieniu tego powinniśmy otrzymać funkcję podcałkową.<br />
<br />
===Uwaga o funkcjach elementarnych===<br />
''Funkcją elementarną'' nazywamy funkcję wymierną, trygonometryczną, wykładniczą, lub jedną z odwrotności tychże. Rozpatrzmy teraz zbiór funkcji, powstałych z elementarnych przez branie ich sumy, iloczynu, ilorazu, złożenia albo kombinacji tychże. Pochodną każdej z tych funkcji można znaleźć, posługując się wzorami na pochodną sumy, iloczynu, ilorazu bądź złożenia funkcji.<br />
<br />
''Z całkami jest inaczej:'' Gdy musimy znaleźć funkcję pierwotną funkcji z powyższej klasy, to taka pochodna może się już nie dać wyrazić przez funkcje elementarne. Tak jest np. z całkami: <math>\int e^{-x^2} d x\;</math> czy <math>\int \sqrt{1+ k^2 \sin\;^2 x} d x\;</math>, <math>k^2\ne 1\;</math>. <br />
<br />
Podkreślmy, że obie te funkcje pierwotne ''istnieją'' &mdash; zgodnie z powyższym twierdzeniem, że każda funkcja ciągła posiada funkcję pierwotną. Powyższe funkcje pierwotne istnieją, tyle że się nie wyrażają przez funkcje elementarne: Pierwsza całka to tzw. ''funkcja błędu'', a druga to ''całka eliptyczna''. Tak więc ''nie dla każdej funkcji'' da się funkcję pierwotną wyrazić przez funkcje elementarne.<br />
<br />
W pozostałej części tego rozdziału będziemy rozważać te klasy funkcji, dla których da się to zrobić.<br />
<br />
==Rekurencyjne metody obliczania całek==<br />
<br />
Załóżmy, że mamy jakiś ciąg funkcji <math>\{f_n\}(x)\;</math> i że chcemy obliczyć całki <math>I_n =\int f_n(x) d x.\;</math> Metoda rekurencyjna polega na obliczeniu całki dla <math>n=1\;</math> (lub <math>n=0\;</math> ) i na umiejętności sprowadzenia liczenia <math>n-\;</math> tej całki do całki o numerze <math>n-1\;</math> (lub wcześniejszej).<br />
<br />
Był to ogólny (tak ogólny, że ogólnikowy) przepis; przyjrzyjmy się, jak to się przekłada na praktykę.<br />
<br />
===Przykład 1===<br />
Obliczyć całkę<br />
<center><math><br />
I_n=\int e^{-x} x^n d x.<br />
</math></center> <br />
<br />
We wzorze na <math>I_n\;</math> wykonajmy całkowanie przez części w następujący sposób:<br />
<center><math><br />
I_n=\int e^{-x} x^n d x = \int (-) (e^{-x})' x^n d x = - e^{-x} x^n - (-) \int e^{-x} n x^{n-1} d x = -e^{-x}x^n + n I_{n-1};</math></center> <br />
aby sfinalizować liczenie całki, potrzebujemy jeszcze wyrażenia na <math>I_0\;</math>:<br />
<center><math><br />
I_0 = \int e^{-x}d x = - e^{-x}.<br />
</math></center> <br />
Ostatecznie więc<br />
<center><math><br />
\begin{matrix}<br />
I_n= -e^{-x} x^n + n I_{n-1} = -e^{-x} x^n - n e^{-x}x^{n-1}-n(n-1)I_{n-2} = \dots\\ = -e^{-x}[x^n + n x^{n-1} + n(n-1) x^{n-2}+ \dots + n! x ] + I_0 = -n! e^{-x} \, \left( 1+x+\frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^n}{n!}\right)+C.<br />
\end{matrix}<br />
</math></center> <br />
===Przykład 2===<br />
Weźmy teraz:<br />
<center><math><br />
I_n=\int \frac{d x}{(1+x^2)^n}.<br />
</math></center> <br />
<br />
Mamy:<br />
<center><math><br />
I_1=\int \frac{d x}{1+x^2}=arctg x.<br />
</math></center> <br />
Teraz policzmy:<br />
<center><math><br />
\begin{matrix}<br />
I_n=\int \frac{ x' d x}{(1+x^2)^n} = \frac{x}{(1+x^2)^n} - \int x\left(\frac{1}{(1+x^2)^n}\right)' d x = \frac{x}{(1+x^2)^n} - (-n) \int x\frac{2x}{(1+x^2)^{n+1}} d x \;\\=\frac{x}{(1+x^2)^n} +2n \int \frac{x^2+1-1}{(1+x^2)^{n+1}} d x =<br />
\frac{x}{(1+x^2)^n} +2n I_n - 2n I_{n+1},\end{matrix}</math></center> <br />
skąd mamy<br />
<equation id="eq:16"><br />
<math><br />
I_{n+1} =\frac{2n-1}{2n} I_n+\frac{1}{2n} \frac{x}{(1+x^2)^n}.<br />
\;</math><br />
</equation><br />
<br />
==Całki z funkcji wymiernych==<br />
Nazywamy w ten sposób całkę, gdzie funkcją podcałkową jest ''funkcja wymierna'':<br />
<center><math><br />
f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}<br />
</math></center> <br />
gdzie <math>P(x), Q(x)\;</math> &mdash; wielomiany.<br />
<br />
Liczenie całki wykonujemy w kilku krokach.<br />
<br />
Będziemy zakładać, że stopień licznika jest '' niższy'' od stopnia mianownika. Gdyby tak nie było, to <br />
<ol><br />
<li> ''wykonujemy dzielenie wielomianów (z resztą)'' i możemy zapisać: <br />
<center><math><br />
P(x) = w(x)\cdot Q(x) + r(x),<br />
</math></center> <br />
gdzie <math>w(x)\;</math> &mdash; wynik dzielenia, a <math>r(x)\;</math> &mdash; reszta, przy czym <math>\deg r < \deg Q\;</math>.<br />
Mamy w ten sposób:<br />
<center><math><br />
\frac{P(x)}{Q(x)} = w(x) + \frac{r(x)}{Q(x)},<br />
</math></center> <br />
gdzie <math>w(x)\;</math> jest wielomianem, który umiemy scałkować, zaś w <math>\frac{r(x)}{Q(x)}\;</math> stopień licznika jest mniejszy od stopnia mianownika &mdash; tak jak dalej potrzeba.</li><br />
<li>''Rozkładamy mianownik na czynniki.'' Niedługo poznamy twierdzenie z algebry, które mówi, że:<br />
<br />
''' Tw. '''Dowolny wielomian o współczynnikach rzeczywistych rozkłada się na czynniki stopnia co najwyżej drugiego, tzn. postaci: <math>x-a\;</math> (czynniki liniowe) oraz <math>x^2 + bx + c\;</math> (kwadratowe), dla których <math>\Delta<0\;</math>.<br />
<br />
<br />
'' Uwaga.'' Liczba <math>a\;</math> z czynnika liniowego jest '' pierwiastkiem'' wielomianu; z tw. Bézout mamy, że jeżeli <math>a\;</math> jest pierwiastkiem wielomianu <math>Q(x)\;</math>, to wielomian <math>Q(x)\;</math> dzieli się przez <math>x-a\;</math> bez reszty, tzn. można zapisać: <math>Q(x)=\tilde{Q}(x) (x-a)\;</math>, gdzie <math>\tilde{Q}(x)\;</math> jest wielomianem stopnia o 1 niższego niż <math>Q(x)\;</math>. Oraz dokładniej: Jeśli <math>a\;</math> jest <math>k-\;</math> krotnym pierwiastkiem wielomianu <math>Q(x)\;</math>, to wielomian <math>Q(x)\;</math> dzieli się przez <math>(x-a)^k\;</math> bez reszty, tzn. można zapisać: <math>Q(x)=\tilde{Q}(x) (x-a)^k\;</math>, gdzie <math>\tilde{Q}(x)\;</math> jest wielomianem stopnia o <math>k\;</math> niższego niż <br />
<math>Q(x)\;</math>. <br />
Dla trójmianów kwadratowych ''nierozkładalnych'' jest podobnie, ale zagłębienie się w temat wymaga znajomości liczb zespolonych, więc odkładamy to do czasu, gdy się z nimi zaznajomimy.<br />
</li><br />
<li>''rozkład na ułamki proste.''<br />
<br />
''' Def.''' ''Ułamkiem prostym'' nazywamy wyrażenie postaci<br />
<center><math><br />
\frac{A}{(x-a)^k}\;\;\;\mbox{lub} \;\;\; \frac{Cx+D}{((x-\alpha)^2+\beta^2)^m},<br />
</math></center> <br />
gdzie <math>A, a; C,D,\alpha,\beta\in \mathbb R \; \;</math>.<br />
<br />
''Uwaga:'' W mianowniku ostatniego wyrażenia występuje postać kanoniczna trójmian kwadratowego, który nie ma pierwiastków rzeczywistych.<br />
<br />
I teraz!!</li><br />
<li>'''Tw. '''<br />
Funkcja wymierna <math>\frac{P(x)}{Q(x)}\;</math> jest sumą ułamków prostych, których mianowniki są czynnikami wielomianu <math>Q(x)\;</math>.<br />
<br />
'''Tw.'''(o rozkładzie na ułamki proste): Każda funkcja wymierna: <math>\frac{P(x)}{Q(x)}\;</math>,gdzie <math>\deg P<\deg Q\;</math>, daje się zapisać jako suma ułamków prostych, których mianowniki są czynnikami wielomianu <math>Q(x)\;</math>. Dokładniej: Jeżeli w rozkładzie <math>Q(x)\;</math> na czynniki pojawia się wyrażenie <math>(x-a)^k\;</math>, to wśród ułamków prostych znajdują się wyrazy: <br />
<center><math><br />
\frac{A_1}{x-a},\;\;\frac{A_2}{(x-a)^2},\;\dots,\;\frac{A_m}{(x-a)^k};<br />
\;</math></center> <br />
jeżeli zaś w rozkładzie <math>Q(x)\;</math> na czynniki pojawia się <math>((x-\alpha)^2 +\beta^2)^m\;</math>, to wśród ułamków prostych znajdą się wyrazy:<br />
<center><math><br />
\frac{C_1 x + D_1}{(x-\alpha)^2+\beta^2}, \;\;\frac{C_2 x + D_2}{((x-\alpha)^2+\beta^2)^2}, \;<br />
\dots\;\frac{C_m x + D_m}{((x-\alpha)^2+\beta^2)^m}<br />
\;</math></center> <br />
<br />
Wyznaczenie konkretnych wartości współczynników stojących przy ułamkach prostych odbywa się przez porównanie obu postaci funkcji wymiernej: Postaci wyjściowej: <math>f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\;</math>, oraz otrzymanej z rozkładu na ułamki proste.<ref>Gdy wszystkie ułamki proste są odwrotnościami wielomianów pierwszego stopnia, to współczynniki można wyznaczyć znacznie prościej.</ref></li></ol><br />
<br />
"Jak to działa", zobaczmy na przykładach.<br />
===Przykłady===<br />
<ol><br />
<li>Rozłóżmy na ułamki proste funkcję wymierną<br />
<equation id="eq:17"><br />
<math><br />
f(x)=\frac{x-1}{(x-2)^2(x-3)}<br />
</math><br />
</equation><br />
Zgodnie z powyższym twierdzeniem, rozkład na ułamki proste będzie miał postać:<br />
<center><math><br />
\frac{x-1}{(x-2)^2(x-3)}= \frac{A}{x-2}+\frac{B}{(x-2)^2}+\frac{C}{x-3}.<br />
</math></center> <br />
Współczynniki <math>A,B,C\;</math> wyznaczamy, sprowadzając prawą stronę do wspólnego mianownika. Mamy:<br />
<center><math><br />
\frac{x-1}{(x-2)^2(x-3)}= \frac{A(x-2)(x-3)+B(x-3)+C(x-2)^2}{(x-2)^2(x-3)}=\frac{(B+C)x^2+(5A+B-4C)x+6A-3B+4C}{(x-2)^2(x-3)},<br />
</math></center> <br />
co daje równania:<br />
<center><math><br />
A+C=0;\;\;\;-5A+B-4C=1; \;\;\;6A-3B+4C=-1.<br />
</math></center> <br />
Rozwiązanie tego układu równań daje:<br />
<center><math><br />
A=-2,\;\;\;B=-1, \;\;\;C=2.<br />
</math></center> <br />
</li><br />
<li>Weźmy teraz: <math>f(x)=\frac{2x^2+2x+13}{(x-2)(x^2+1)^2}\;</math>. <br/><br />
Rozkład na ułamki proste ma postać:<br />
<equation id="eq:18"><br />
<math><br />
f(x)=\frac{2x^2+2x+13}{(x-2)(x^2+1)^2} = \frac{A}{x-2} + \frac{Bx+C}{x^2+1}+ \frac{Dx+E}{(x^2+1)^2}.<br />
</math><br />
</equation><br />
Współczynniki <math>A,B,C,D,E\;</math> wyznaczamy z porównania obu stron po sprowadzeniu prawej do <br />
wspólnego mianownika, co daje:<br />
<center><math><br />
2x^2+2x+13=A(x^2+1)^2 + (Bx+C)(x-2)(x^2+1) + (Dx+E)(x-2)<br />
</math></center> <br />
skąd otrzymujemy układ równań na współczynniki:<br />
{|class="wikitable"<br />
|wsp. przy <math>x^4</math><br />
|<math>A+B=0</math><br />
|-<br />
|wsp. przy <math>x^3</math><br />
|<math>-2B+C=0</math><br />
|-<br />
|wsp. przy <math>x^2</math><br />
|<math>2A+B-2C+D=2</math><br />
|-<br />
|wsp. przy <math>x</math><br />
|<math>-2B+C-2D+E=2</math><br />
|-<br />
|wsp. przy <math>0</math><br />
|<math> A-2C-2E=13</math><br />
|}<br />
Rozwiązując ten układ równań, dostajemy: <br />
<center><math><br />
A=1, \;B=-1,\; C=-2,\; D=-3,\; E=-4<br />
</math></center> <br />
co daje rozkład na ułamki proste:<br />
<equation id="eq:19"><br />
<math><br />
f(x)=\frac{2x^2+2x+13}{(x-2)(x^2+1)^2} = \frac{1}{x-2} - \frac{x+2}{x^2+1}- \frac{3x+4}{(x^2+1)^2}.<br />
</math><br />
</equation><br />
</li></ol><br />
<br />
===Obliczanie funkcji pierwotnych z ułamków prostych===<br />
Twierdzenie o rozkładzie na ułamki proste sprowadza całkowanie funkcji wymiernej do całkowania ułamków prostych. Zobaczymy zaraz, jak obliczać funkcje pierwotne z takich ułamków prostych.<br />
<ol><br />
<li>Zacznijmy od ułamków prostych postaci <math>\frac{A}{(x-a)^k}\;</math>. Podstawiając <math>y= x-a\;</math>, mamy <center><math><br />
\int \frac{Ad x}{(x-a)^k} = A\int\frac{d y}{y^k} = <br />
\left\{<br />
\begin{matrix}{}<br />
A\ln (x-a) & \mbox{dla} & k=1,\\<br />
\frac{A}{1-k}\cdot\frac{1}{(x-a)^{k-1}} & \mbox{dla} & k>1.<br />
\end{matrix}<br />
\right.<br />
\;</math></center></li> <br />
<li>Gdy mamy ułamek prosty: <math>\frac{C x + D}{((x-\alpha)^2+\beta^2)^m}\;</math>, to całka nieoznaczona z tego wyrażenia sprowadza się do obliczenia dwóch całek <center><math><br />
\int \frac{d x}{((x-\alpha)^2+\beta^2)^m}\;\;\;\mbox{oraz}\;\;\;\int \frac{(x-\alpha)d x}{((x-\alpha)^2+\beta^2)^m}.<br />
\;</math></center> <br />
<ol><li>Przy pierwszej całce podstawiamy <math>y=x-\alpha\;</math> i otrzymujemy całkę <math>\int\frac{d y}{(y^2+\beta^2)^m}\;</math>,w której z kolei podstawiamy <math>y=\beta z\;</math> i po tym podstawieniu dostajemy całkę <math>\int\frac{d z}{(z^2+1)^m}\;</math>. Dla <math>m=1\;</math> funkcją pierwotną jest <math>arctg z\;</math>, zaś dla <math>m>1\;</math> wyprowadziliśmy już na tę całkę [[Matematyka:Funkcje_pierwotne#Rekurencyjne_metody_obliczania_ca.C5.82ek | wzór rekurencyjny]] <math>\int(1+x^2)^{-n}</math>.</li><br />
<li>Przy całce drugiego typu, podstawiamy: <math>y=(x-\alpha)^2\;</math>. Mamy: <math>d y = 2 (x-\alpha) d x\;</math>, skąd otrzymujemy: <center><math>\int \frac{(x-\alpha)d x}{((x-\alpha)^2+\beta^2)^m} =\frac{1}{2} \int \frac{d y}{(y+\beta^2)^m}<br />
=\left\{\begin{matrix}{}\frac{1}{2}\ln ((x-\alpha)^2+\beta^2) & \mbox{dla} & m=1,\\-\frac{1}{2(k-1)}\cdot\frac{1}{((x-\alpha)^2+\beta^2)^{k-1}} & \mbox{dla} & k>1.\end{matrix}\right.\;</math></center> </li></ol></li></ol><br />
<br />
Tymi to sposobami zawsze możemy obliczyć całkę z funkcji wymiernej (oczywiście, jeśli znamy pierwiastki mianownika <math>Q(x)\;</math>).<br />
<br />
====Przykłady====<br />
<br />
Obliczmy teraz dla naprzykładu całki z f. wymiernych <xr id="eq:17">(%i)</xr> i <xr id="eq:18">(%i)</xr>.<br />
<ol><br />
<li> c.d przykładu <xr id="eq:17">(%i)</xr><br />
<center><math><br />
\int \frac{x-1}{(x-2)^2(x-3)} d x = -\int\frac{d x}{x-2}-2\int \frac{d x}{(x-2)^2}+2\int\frac{d x}{x-3}=-\ln|x-2| + \ln|x-3| + \frac{2}{x-2} +C.<br />
</math></center> <br />
</li><br />
<li> c.d przykładu <xr id="eq:18">(%i)</xr><br />
<center><math><br />
\int \frac{2x^2+2x+13}{(x-2)(x^2+1)^2} d x = \int \frac{d x}{x-2} - \int\frac{(x+2)d x}{x^2+1}-\frac{(3x+4)d x}{(x^2+1)^2}<br />
=\int \frac{d x}{x-2} - \int\frac{xd x}{x^2+1}-2\int\frac{d x}{x^2+1}-3\int \frac{xd x}{(x^2+1)^2} -4\int \frac{d x}{(x^2+1)^2}<br />
</math></center> <br />
<center><math><br />
=\ln|x-2| -\frac{1}{2}\cdot\ln(x^2+1) - 2 arctg x + \frac{3}{2}\cdot\frac{1}{x^2+1} -4 \frac{d x}{(x^2+1)^2}.<br />
</math></center> <br />
Ostatnią całkę liczymy wykorzystując [[Matematyka:Funkcje_pierwotne#Rekurencyjne_metody_obliczania_ca.C5.82ek | wzór rekurencyjny]] <math>\int(1+x^2)^{-n}</math>; dla <math>n=2\;</math> mamy:<br />
<center><math><br />
\mathfrak I_2=\int\frac{d x}{(1+x^2)^2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{x}{1+x^2}+ \frac{1}{2}I_1 = \frac{1}{2}\cdot \frac{x}{1+x^2}+ \frac{1}{2}arctg x.<br />
\;</math></center> <br />
Ostatecznie<br />
<center><math><br />
\int \frac{2x^2+2x+13}{(x-2)(x^2+1)^2} d x<br />
=\frac{1}{2}\cdot \frac{3-4x}{x^2+1} + \frac{1}{2}\ln \frac{(x-2)^2}{x^2+1} - 4 arctg x + C.<br />
</math></center> <br />
</li></ol><br />
===Uwaga===<br />
Analizując metodę całkowania funkcji wymiernych widzimy, że całka z funkcji wymiernej jest postaci:<br />
<center><math><br />
R(x) + A \ln U(x) + B\; arctg V(x),<br />
</math></center> <br />
gdzie <math>A,B\;</math> &mdash; stałe, zaś <math>R(x), U(x), V(x)\;</math> są funkcjami wymiernymi.<br />
==Całki z funkcji wymiernych od funkcji trygonometrycznych==<br />
Niech <math>R(u,v)\;</math> oznacza funkcję trygonometryczną dwóch zmiennych <math>u,v\;</math>. Rozważmy całkę:<br />
<center><math><br />
\int R(\sin\; x, \cos\; x) d x.<br />
</math></center> <br />
<br />
Oazuje się, że całkę tego typu można sprowadzić do całki z funkcji wymiernej poprzez podstawienie trygonometryczne. Podstawieniem, które działa zawsze (aczkolwiek często nie jest sposobem optymalnym ze względu na ilość rachunków) jest ''podstawienie uniwersalne'': <math>t=\tg\;\frac{x}{2}\;</math>.<br />
<br />
===Zamiana zmiennych===<br />
Musimy wyrazić <math>\sin\; x, \cos\; x, d x\;</math> przez <math>t\;</math>. Mamy: <br />
<center><math><br />
\sin\;^2 \frac{x}{2} +\cos\;^2 \frac{x}{2}=1,\;\;</math> skąd <math>\;\; \tg\;^2 \frac{x}{2} + 1 =\frac{1}{\cos\;^2 \frac{x}{2}},\;\;\;</math> co daje <math>\;\;\cos\;^2 \frac{x}{2}=\frac{1}{1+t^2}</math></center> <br />
Mamy dalej<br />
<center><math><br />
\cos\; x = 2 \cos\;^2\frac{x}{2}-1 = \frac{2}{1+t^2} -1 =\frac{1-t^2}{1+t^2}.<br />
</math></center> <br />
Ponadto:<br />
<center><math><br />
\sin\;^2 \frac{x}{2} =1 -\cos\;^2 \frac{x}{2} = \frac{t^2}{1+t^2},<br />
</math></center> <br />
co daje<br />
<center><math><br />
\sin\; x = 2\sin\;\frac{x}{2}\cos\;\frac{x}{2} = \frac{2t}{1+t^2}.<br />
</math></center> <br />
Wreszcie, z równości: <math>x=2arctg t\;</math> mamy<br />
<center><math><br />
\frac{d x}{d t}=\frac{2}{1+t^2}.<br />
</math></center> <br />
===Podstawienie===<br />
Ostatecznie mamy wszystko co jest potrzebne do podstawienia:<br />
<center><math><br />
\sin\; x = \frac{2t}{1+t^2},\;\;\;<br />
\cos\; x =\frac{1-t^2}{1+t^2},\;\;\;<br />
{d x}=\frac{2}{1+t^2}{d t} .<br />
</math></center> <br />
===Przykład===<br />
<center><math><br />
I=\int \frac{d x}{\sin\; x} = \int \frac{1+t^2}{2t}\frac{2}{1+t^2}{d t}=\int\frac{d t}{t} = \ln |t| = \ln\left|\tg\;\frac{x}{2}\right|.<br />
</math></center> <br />
<br />
====Uwaga o innych podstawieniach trygonometrycznych====<br />
Powyższe podstawienie uniwersalne działa zawsze. Prowadzi jednak często do funkcji wymiernej o dużych stopniach licznika i mianownika. Z tego względu należy je stosować tylko w ostateczności, jeśli inne podstawienia trygonometryczne nie dadzą się zastosować.<br />
<br />
Te inne podstawienia to:<br />
<center><math><br />
t=\sin\; x,\;\;\; t= \cos\; x\;\;\; t=\tg\; x.<br />
\;</math></center> <br />
<br />
Istnieją przepisy, kiedy takie podstawienia stosować. Nie będziemy ich tu wypisywać (zainteresowany Czytelnik znajdzie je np. w książce Fichtenholza, t. II).<br />
<br />
==Całki z wyrażeń typu pierwiastek n-tego stopnia z ilorazu jednomianów ==<br />
<br />
Całki z wyrażeń typu <math>R(x,\sqrt[n]{\frac{\alpha x+\beta}{\gamma x+\delta}})\;</math><br />
<br />
Rozpatrzmy teraz całki postaci<br />
<center><math><br />
\int R(x,\sqrt[n]{\frac{\alpha x+\beta}{\gamma x+\delta}}) d x,<br />
</math></center> <br />
(zakładamy tu, że <math>\frac{\alpha x+\beta}{\gamma x+\delta}\ne {\rm const} \;</math>, bo inaczej problem byłby trywialny), gdzie <math>R(u,v)\;</math> jest funkcją wymierną swoich argumentów. Okazuje się, że takie całki można sprowadzić do całek z funkcji wymiernych.<br />
<br />
Realizuje się to za pomocą następującego podstawienia:<br />
<center><math><br />
t=\sqrt[n]{\frac{\alpha x+\beta}{\gamma x+\delta}}. \;\;\;<math><br />
tzn.<br />
<math>t^n= \frac{\alpha x+\beta}{\gamma x+\delta},</math><br />
</center> <br />
co znaczy, że <math>x\;</math> wyraża się ''wymiernie '' przez <math>t\;</math> i w ten sposób otrzymujemy w zmiennej <math>t\;</math> całkę z funkcji wymiernej, którą liczymy znanymi nam już metodami. Konkretnie, mamy tutaj:<br />
<center><math><br />
x=\frac{\beta - \delta t^n}{\gamma t^n-\alpha}, \;\;\; d x = n (\alpha \delta -\beta \gamma)<br />
\frac{t^{n-1}}{(\gamma t^n-\alpha)^2} d t<br />
\;</math></center> <br />
===Przykład===<br />
<center><math><br />
I=\int\frac{d x}{\sqrt[3]{(x-1)(x+1)^2}} =\int \sqrt[3]{\frac{x+1}{x-1}}\cdot \frac{d x}{x+1}.</math></center> <br />
Zgodnie z powyższym przepisem, podstawiamy:<br />
<center><math><br />
t=\sqrt[3]{\frac{x+1}{x-1}},\;\;\; x=\frac{t^3+1}{t^3-1},\;\;\; d x = -\frac{6t^2 d t}{(t^3-1)^2}<br />
</math></center> <br />
i nasza całka przyjmuje postać<br />
<center><math><br />
I=\int \frac{-3 d t}{t^3-1}.<br />
</math></center> <br />
Powyższe podstawienie sprowadziło więc całkę do całki wymiernej.<br />
<br />
Zachęcam Czytelnika, aby powyższą całkę policzył dalej. Wynik jest następujący:<br />
<center><math><br />
I=\frac{1}{2}\ln \frac{t^2+t+1}{(t-1)^2} + \sqrt{3}\,<br />
arctg \frac{2t-1}{\sqrt{3}} +C.<br />
</math></center> <br />
==Całki z wyrażeń typu pierwiastek z równania kwadratowego; podstawienia Eulera ==<br />
Całki z wyrażeń typu <math>R(x, \sqrt{ax^2+bx+c})\;</math> ; podstawienia Eulera <br />
<br />
Ostatnią z omawianych teraz klas całek będą całki<br />
<equation id="eq:20"><br />
<math><br />
\int R(x, \sqrt{ax^2+bx+c}) d x,<br />
</math><br />
</equation><br />
gdzie <math>R(u,v)\;</math> jest funkcją wymierną. Całki powyższego rodzaju także wyrażają się<br />
przez funkcje elementarne. Istnieje kilka sposobów obliczania całek <xr id="eq:20">(%i)</xr>; <br />
my omówimy tu ''podstawienia Eulera''.<br />
<br />
Odnośnie trójmianu kwadratowego <math>ax^2+bx+c\;</math> zakładamy, iż nie jest on pełnym kwadratem, gdyż w tym<br />
przypadu moglibyśmy wyciągnąć zeń pierwiastek i mieć całkę wymierną.<br />
===Pierwsze podstawienie Eulera===<br />
Podstawiamy wówczas:<br />
<equation id="eq:21"><br />
<math><br />
\sqrt{ax^2+bx+c} = t-\sqrt{a}x <br />
\;</math><br />
</equation><br />
(lub, aby <math>t\;</math> występowało tylko po jednej stronie równości: <math>t = \sqrt{ax^2+bx+c} + \sqrt{a}x\;</math>). Po podniesieniu do kwadratu równości <xr id="eq:21">(%i)</xr> '' wyraz <math>ax^2\;</math> skasuje się po obu stronach'' i zostanie<br />
<center><math><br />
bx+c=t^2 -2 \sqrt{a}x t<br />
</math></center> <br />
skąd mamy<br />
<center><math><br />
x=\frac{t^2-c}{b+2\sqrt{a} t}, \;\;\;\;\;\sqrt{ax^2+bx+c}=\frac{\sqrt{a} t^2 +bt + c\sqrt{a}}{2\sqrt{a} t+b},<br />
</math></center> <br />
<center><math><br />
d x = 2 \frac{\sqrt{a} t^2 +bt + c\sqrt{a}}{(b+2\sqrt{a} t)^2} d t.<br />
</math></center> <br />
Widać, że przy tym podstawieniu zarówno <math>x\;</math> (oraz oczywiście <math>d x\;</math>, jak i <math>\sqrt{ax^2+bx+c}\;</math> wyrażają się ''wymiernie'' przez <math>t\;</math> ; w ten sposób doprowadziliśmy całkę <xr id="eq:20">(%i)</xr> do całki z funkcji wymiernej. <br />
<br />
===Drugie podstawienie Eulera===<br />
można stosować w przypadku, gdy <math>c>0\;</math>. Wówczas bierzemy:<br />
<equation id="eq:22"><br />
<math><br />
\sqrt{ax^2+bx+c} = xt+\sqrt{c}. <br />
\;</math><br />
</equation><br />
Jeśli podniesiemy obie strony równości <xr id="eq:22">(%i)</xr> do kwadratu, odejmiemy po obu stronach <math>c\;</math> i podzielimy przez <math>x\;</math>, to otrzymamy: <br />
<center><math><br />
ax+b=xt^2 +2 \sqrt t<br />
\;</math></center> <br />
i mamy:<br />
<center><math><br />
\begin{matrix}<br />
x=\frac{2\sqrt{c}t-b}{a-t^2},\;\;\;\;\; \sqrt{ax^2+bx+c}=\frac{\sqrt{c}t^2-bt+\sqrt{c}a}{a-t^2}, \\d x = 2 \frac{\sqrt{c}t^2-bt+\sqrt{c}a}{(a-t^2)^2}d t.<br />
\end{matrix}</math></center> <br />
Znów więc <math>x\;</math>, <math>d x\;</math> oraz <math>\sqrt{ax^2+bx+c}\;</math> wyrażają się '' wymiernie'' przez <math>t\;</math> ; w ten sposób znowu doprowadziliśmy całkę <xr id="eq:20">(%i)</xr> do całki z funkcji wymiernej. Wreszcie<br />
===Trzecie podstawienie Eulera===<br />
można stosować w przypadku, gdy trójmian kwadratowy <math>ax^2+bx+c\;</math> ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste; oznaczmy je <math>\lambda</math> oraz <math>\mu\;</math>. Wiemy, że w takim przypadku trójmian ten rozkłada się na czynniki liniowe:<br />
<equation id="eq:23"><br />
<math><br />
ax^2+bx+c = a(x-\lambda)(x-\mu).<br />
</math><br />
</equation><br />
Wtedy podstawiamy:<br />
<equation id="eq:24"><br />
<math><br />
\sqrt{ax^2+bx+c}=t(x-\lambda).<br />
</math><br />
</equation><br />
Podnosząc równość <xr id="eq:24">(%i)</xr> do kwadratu i korzystając z <xr id="eq:23">(%i)</xr>, skracamy przez<br />
wspólny czynnik <math>(x-\lambda)\;</math> i otrzymujemy znów równanie pierwszego stopnia na <math>x\;</math> :<br />
<center><math><br />
a(x-\mu) = t^2(x-\lambda)<br />
</math></center> <br />
skąd dostajemy:<br />
<center><math><br />
\begin{matrix}<br />
x=\frac{\lambda t^2 - a\mu}{t^2-a}, \;\;\;\;\; \sqrt{ax^2+bx+c}=\frac{a(\lambda- \mu) t}{t^2-a},\\<br />
d x = \frac{2 t a (\mu-\lambda)}{(t^2 - a)^2} d t<br />
\end{matrix}<br />
</math></center> <br />
===Uwaga===<br />
Może się zdarzyć, że do jakiejś całki można zastosować ''więcej niż jedno'' podstawienie Eulera!<br />
<br />
===Zastosowanie podstawień Eulera===<br />
Pokażemy teraz, ''w dowolnej'' całce postaci <xr id="eq:20">(%i)</xr> można zastosować któreś z podstawień Eulera<br />
(konkretnie, pierwsze lub trzecie). Otóż jeśli trójmian kwadratowy <math>ax^2+bx+c\;</math> ma pierwiastki rzeczywiste, <br />
to można zawsze zastosować podstawienie trzecie. Jeśli natomiast trójmian nie ma pierwiastków rzeczywistych,<br />
tzn. <math>b^2-4ac<0\;</math>, to<br />
====Przykłady====<br />
<ol><br />
<li>Obliczmy całkę <br />
<center><math><br />
I_1 = \int \frac{d x}{x \sqrt{x^2+4x-4}}<br />
\;</math></center> <br />
za pomocą pierwszego podstawienia Eulera. Zgodnie z <xr id="eq:21">(%i)</xr> (pierwszym podstawieniem Eulera) mamy<br />
<center><math><br />
\sqrt{x^2+4x-4}=t-x,<br />
\;</math></center> <br />
skąd wyliczamy<br />
<center><math><br />
x=\frac{t^2+4}{2t+4},\;\;\; d x = \frac{2t^2+8t-8}{(2t+4)^2}d t, \;\;\; \sqrt{x^2+4x-4} = t-x= \frac{t^2+4t-4}{2t+4}<br />
\;</math></center> <br />
i wstawiając do całki wyjściowej, mamy<br />
<center><math><br />
I_1 = 2\int \frac{d t}{t^2+4}.<br />
\;</math></center> <br />
Tę całkę już łatwo policzyć, dostając (zachęcam Czytelnika, aby uzupełnił te rachunki)<br />
<center><math><br />
I_1 = arctg [2(x+\sqrt{x^2+4x-4})] +C.<br />
\;</math></center> </li><br />
<li>Obliczmy całkę <br />
<center><math><br />
I_2 = \int \frac{d x}{x -\sqrt{x^2-x+1}}<br />
\;</math></center> <br />
za pomocą drugiego podstawienia Eulera. Zgodnie z <xr id="eq:22">(%i)</xr> (drugim podstawieniem Eulera) mamy<br />
<center><math><br />
\sqrt{x^2-x+1} = xt+1;<br />
\;</math></center> <br />
skąd<br />
<center><math><br />
x=\frac{2t+1}{1-t^2}, \;\;\;d x =\frac{2(t^2+t+1)}{(t^2-1)^2} d t,\;\;\; \sqrt{x^2-x+1}=\frac{t^2+t+1}{1-t^2},<br />
\;</math></center> <br />
i w zmiennej <math>t\;</math> całka przybiera postać<br />
<center><math><br />
I_2 =\int \frac{2(t^2+t+1)}{t-t^2} d t<br />
\;</math></center> <br />
a więc otrzymaliśmy &mdash; jak trzeba &mdash; całkę z wyrażenia wymiernego. Czytelnika zachęcam do dokończenia <br />
i sprawdzenia rachunku.</li><br />
<li>Przetestujmy wreszcie ''trzecie podstawienie Eulera'' na całce<br />
<center><math><br />
I_3 = \int \frac{d x}{(2x-3) \sqrt{4x-x^2}}.<br />
\;</math></center> <br />
Zgodnie z <xr id="eq:23">(%i)</xr> i <xr id="eq:24">(%i)</xr> (trzecim podstawieniem Eulera) bierzemy<br />
<center><math><br />
\sqrt{4x-x^2}=xt,<br />
\;</math></center> <br />
skąd wyliczamy<br />
<center><math><br />
x=\frac{4}{t^2+1},\;\;\;d x = -8\frac{t d t}{(t^2+1)^2}, \;\;\;\sqrt{4x-x^2}=xt=\frac{4t}{t^2+1},<br />
\;\;\;2x-3=\frac{5-3t^2}{t^2+1}<br />
\;</math></center> <br />
i w zmiennej <math>t\;</math> całka przyjmuje postać<br />
<center><math><br />
I_3 = 2 \int \frac{d t}{3t^2-5}<br />
\;</math></center> <br />
więc znów w postaci '' wymiernej'', tak jak powinno być. Znów wykładowca zachęca Czytelnika do dokończenia<br />
i sprawdzenia rachunków.</li></ol><br />
<references/></div>Anula