Laboratorium EEG/CSP

Ślepa separacja źródeł

Filtry przestrzenne CSP

Koncepcja

Dla ustalenia uwagi możemy myśleć o eksperymencie wywołującym potencjał P300. Mamy w nim dwie sytuacje eksperymentalne. Oznaczmy (+) próby, w których pojawił się oczekiwany bodziec, zaś (-) gdy pojawił się bodziec standardowy. Chcielibyśmy znaleźć taki montaż, czyli taką kombinację liniową kanałów, które maksymalizuje stosunek mocy (wariancji) sygnałów rejestrowanych w dwóch rożnych warunkach eksperymentalnych.

Formalizm

Metoda ta polega na znalezieniu takiego odwzorowania liniowego, które maksymalizuje stosunek wariancji sygnałów rejestrowanych w dwóch rożnych warunkach eksperymentalnych.

Odwzorowanie to można przedstawić w postaci macierzy [math]P[/math], której każdy wiersz zawiera wagi dla odpowiednich kanałów. Macierz zawierająca sygnał [math]X^{\pm}(t)[/math] ma wymiary [math]C \times N[/math], gdzie [math]C[/math] to liczba kanałów EEG, natomiast [math]N[/math] to liczba próbek dla każdego z kanałów. Macierz [math]P[/math] przekształca sygnał [math]X^{\pm}(t)[/math] zgodnie ze wzorem:

[math]X^{\pm}_{CSP}(t)=P^T X^{\pm}(t) [/math]

Załóżmy dalej, że sygnały [math]X^{+}_{CSP} (t)[/math] i [math]X^{-}_{CSP} (t)[/math] są generowane przez niezależne procesy stochastyczne, tzn. spełnione są następujące warunki.

1. Syganły [math]X^{+}_{CSP} (t)[/math] i [math]X^{-}_{CSP} (t)[/math] są niezależne.
2. Brak korelacji pomiędzy kanałami w sygnałach[math]X^{+}_{CSP} (t)[/math] i [math]X^{-}_{CSP} (t)[/math].
3. Przynajmniej dla jednego z kanałów wariancja przetransformowanego sygnału jest maksymalna przy wystąpieniu bodźca i minimalna przy jego braku.

Po przemnożeniu równania 2.3 przez [math](X^{\pm}_{CSP} (t))^T[/math] otrzymamy macierz kowariancji przetransformowanych sygnałów uśrednioną po realizacjach:

[math]R^{\pm}_{CSP} (t) = X^{\pm}_{CSP} (t)(X^{\pm}_{CSP} (t))^T = P^T X^{\pm} (t) (X^{\pm}(t))^T P = P^T R^{\pm}P[/math] (2.4)

Gdzie [math]R^{\pm}[/math] to macierz kowariancji sygnału uśredniona po realizacjach. Z warunków 1 i 2 wynika, że macierze [math]R^{+}_{CSP}[/math] i [math]R^{-}_{CSP}[/math] muszą być diagonalne, natomiast z warunku 3, że ich suma daje macierz jednostkową:

[math]R^{+}_{CSP} + R^{-}_{CSP} = 1 [/math] (2.5)

Tak więc suma par diagonalnych wartości ([math]k^{+}_{i}[/math] i [math]k^{-}_{i}[/math]) w macierzach [math]R^{+}_{CSP}[/math] i [math]R^{-}_{CSP}[/math] musi być równa 1. Korzystając z równania 2.5 wartości na diagonali można również zapisać za pomocą wzoru:

[math]k^{+}_{i} = \vec{p}^{T}_{i} R^{+} \vec{p}_{i} [/math] (2.6)

[math]k^{-}_{i} = \vec{p}^T_{i} R^{-}\vec{p}_{i} [/math] (2.7)

gdzie [math]\vec{p}_{i}[/math] to kolumnowy wektor macierzy [math]P[/math]. Po przekształceniach ilorazu równań 2.6 i 2.7 można otrzymać równanie:

[math]R^{+} \vec{p}_{i} = \frac{k^{+}_{i}}{k^{-}_{i}} R^{-} \vec{p}_{i} [/math] (2.8)

 Równanie to przedstawia ogólną formę zagadnienia wartości własnych. Takie przedstawienie problemu umożliwia zastosowanie do jego rozwiązania wydajnych metod algebraicznych.

Wektor własny [math]\vec{p}_i[/math] jest interpretowany jako filtr przestrzenny. Dzięki transformacie [math]P[/math] sygnał zostaje przeniesiony do przestrzeni, dla której różnica wariancji dla poszczególnych klas jest największa. Zgodnie z równaniem 2.5 najbardziej różniące się od siebie kanały są skorelowane z największą wartością własną [math]k^{+}[/math].