http://brain.fuw.edu.pl/edu/index.php?title=Matematyka:Matematyka_II_NI/Ca%C5%82ka_nieoznaczona&feed=atom&action=history
Matematyka:Matematyka II NI/Całka nieoznaczona - Historia wersji
2024-03-29T07:43:56Z
Historia wersji tej strony wiki
MediaWiki 1.34.1
http://brain.fuw.edu.pl/edu/index.php?title=Matematyka:Matematyka_II_NI/Ca%C5%82ka_nieoznaczona&diff=1324&oldid=prev
Anula: Utworzono nową stronę "__NOTOC__ ==Całki niewłaściwe== ===Całki w granicach nieskończonych=== Wiemy, co to jest <math>\int _a^b f(x) {\sf d}x</math> w przypadku skończonego przedzia..."
2015-05-22T13:36:23Z
<p>Utworzono nową stronę "__NOTOC__ ==Całki niewłaściwe== ===Całki w granicach nieskończonych=== Wiemy, co to jest <math>\int _a^b f(x) {\sf d}x</math> w przypadku skończonego przedzia..."</p>
<p><b>Nowa strona</b></p><div>__NOTOC__<br />
<br />
==Całki niewłaściwe==<br />
<br />
<br />
===Całki w granicach nieskończonych===<br />
<br />
Wiemy, co to jest <math>\int _a^b f(x) {\sf d}x</math> w przypadku skończonego przedziału <math>[a,b]</math> i<br />
funkcji ograniczonej <math>f(x)</math>. Okazuje się potrzebne uogólnienie tego pojęcia<br />
w różnych kierunkach (przedział nieskończony iłub <math>f</math> nieograniczona).<br />
Tutaj będziemy się zajmować tylko funkcjami ograniczonymi na przedziałach<br />
nieskończonych.<br />
<br />
Niech funkcja <math>f</math> będzie określona w przedziale <math>[a, \infty [</math> (tzn. dla dowolnego <math>x\ge a</math>)<br />
i całkowalna na każdym skończonym przedziale <math>[a,A]</math> (zakładamy, że <math>A>a</math>).<br />
Dla dowolnego <math>A</math> jest<br />
więc dobrze określona całka <math>\int _a^A f(x) {\sf d}x</math>.<br />
====Całka niewłaściwa====<br />
<i>Całką niewłaściwą</i> z funkcji <math>f</math> po przedziale <math>[a,\infty [</math> nazywamy<br />
granicę<br />
<equation id="uid35"><br />
<math>{\displaystyle \mathop {\lim }_{{A}\rightarrow {\infty }} } \int _a^A f(x){\sf d}x;\;\;\;</math> oznaczamy ją <math>\;\; \int _a^\infty f(x) {\sf d}x.<br />
</math><br />
</equation><br />
<br />
W przypadku gdy granica (<xr id="uid35"> %i</xr>) jest skończona, mówimy że całka niewłaściwa jest <i>zbieżna</i>, a funkcja <math>f</math> jest <i>całkowalna</i>. Jeśli granica (<xr id="uid35"> %i</xr>) jest rozbieżna do <math>\infty </math> lub nie istnieje, mówimy,<br />
że całka niewłaściwa jest rozbieżna.<br />
=====Przykł.=====<br />
<ol><br />
<li><br />
<span style="font-style: smaller">Funkcja <math>f(x)=\frac{1}{1+x^2}</math> jest całkowalna w dowolnym przedziale<br />
skończonym <math>[0,A]</math> (<math>A>0</math>) i mamy:</span><br />
<br />
::<math><br />
\int _0^A \frac{1}{1+x^2} {\sf d}x = {\rm arctg\,} x|_0^A = {\rm arctg\,} (A).<br />
</math><br />
<br />
<span style="font-style: smaller">Granica <math>{\displaystyle \mathop {\lim }_{{A}\rightarrow {\infty }} }\; {\rm arctg\,} (A)</math> istnieje i jest równa <math>\frac{\pi }{2}</math>, zatem</span><br />
<br />
::<math><br />
\int _0^\infty \frac{1}{1+x^2} {\sf d}x = \frac{\pi }{2}.<br />
</math><br />
<br />
<span style="font-style: smaller"></span><br />
<br />
<br />
<li><br />
<span style="font-style: smaller">Zapytajmy, dla jakich wartości wykładnika <math>\alpha </math> istnieje całka niewłaściwa</span><br />
<br />
<equation id="uid38"><br />
<math>\int _a^\infty \frac{1}{x^\alpha } {\sf d}x\;\;\;(\mathrm{tu}\;\;\;a>0).<br />
<br />
</math><br />
</equation><br />
<br />
<span style="font-style: smaller">Niech <math>\alpha \ne 1</math>. Wówczas</span><br />
<br />
::<math><br />
\int _a^A \frac{1}{x^\alpha } {\sf d}x = \frac{1}{1-\alpha } x^{1-\alpha }\left.\right|^A_a<br />
=<br />
\frac{1}{1-\alpha } (A^{1-\alpha }-a^{1-\alpha }).<br />
</math><br />
<br />
<span style="font-style: smaller">Dla <math>A\rightarrow \infty </math>, prawa strona ma granicę <math>\infty </math>, gdy <math>1-\alpha >0</math>, tzn. <math>\alpha <1</math>,<br />
bąd/x <math>\frac{\alpha -1}{a^{1-\alpha }}</math>, gdy <math>\alpha >1</math>. W przypadku pośrednim, tzn. gdy <math>\alpha =1</math>,<br />
mamy</span><br />
<br />
::<math><br />
\int _a^A \frac{1}{x^\alpha } {\sf d}x = \ln x |^A_a =\ln A - \ln a </math><br />
::<math>\lim_{A\rightarrow \infty} \int _a^A \frac{1}{x^\alpha } {\sf d}x\longrightarrow \infty</math><br />
<br />
<span style="font-style: smaller">zatem w tym przypadku całka jest rozbieżna.</span><br />
<br />
<span style="font-style: smaller">Ostatecznie otrzymujemy, że całka niewłaściwa (<xr id="uid38"> %i</xr>) jest rozbieżna, gdy <math>\alpha \le 1</math>,<br />
i zbieżna, gdy <math>\alpha >1</math>; w tym przypadku jej wartość wynosi <math>\frac{\alpha -1}{a^{1-\alpha }}</math>.</span><br />
<br />
<br />
<li><br />
<span style="font-style: smaller">2. prędkość kosmiczna</span><br />
<br />
</ol><br />
===Całka z funkcji <math>f</math> w przedziale <math>]-\infty ,a]</math>===<br />
Analogicznie jak w (<xr id="uid35"> %i</xr>) definiujemy także całkę z funkcji <math>f</math> w przedziale <math>]-\infty ,a]</math>:<br />
<br />
<equation id="uid40"><br />
<math>\int _{-\infty }^a f(x) {\sf d}x = {\displaystyle \mathop {\lim }_{{A^{\prime }}\rightarrow {-\infty }} } \int _{A^{\prime }}^a f(x){\sf d}x \;\;\;(\mathrm{tu}\;\;A^{\prime }<a),<br />
<br />
</math><br />
</equation><br />
===Całka po prostej rzeczywistej===<br />
oraz całkę po całej prostej rzeczywistej:<br />
<equation id="uid41"><br />
<math>\int _{-\infty }^{+\infty } f(x) {\sf d}x = {\displaystyle \mathop {\lim }_{{A^{\prime }}\rightarrow {-\infty }} } {\displaystyle \mathop {\lim }_{{A}\rightarrow {\infty }} } \int _{A^{\prime }}^A f(x){\sf d}x.<br />
</math><br />
</equation><br />
<br />
===Związek z podstawowym wzorem rachunku różniczkowego i całkowego===<br />
<br />
Załóżmy teraz, że całkowana funkcja <math>f</math> posiada funkcję pierwotną <math>F</math> w całym przedziale <math>[a,\infty [</math><br />
(pamiętamy, że będzie tak np. wtedy, gdy <math>f</math> jest ciągła). Wtedy na podstawie podstawowego tw. rach.<br />
różniczkowego i całkowego mamy<br />
::<math><br />
\int _a^A f(x){\sf d}x = F(A)-F(a) = F(x)|^A_a.<br />
</math><br />
Porównując to z wz. (<xr id="uid35"> %i</xr>) widzimy, że całka<br />
niewłaściwa (<xr id="uid35"> %i</xr>) istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje skończona granica<br />
::<math><br />
{\displaystyle \mathop {\lim }_{{A}\rightarrow {\infty }} } F(A).<br />
</math><br />
Granicę powyższą oznaczamy często <math> F(\infty )</math>.Możemy wtedy zapisać<br />
::<math><br />
\int _a^\infty f(x) {\sf d}x = F(\infty )-F(a) = F(x)|_a^\infty .<br />
</math><br />
Mamy też analogicznie<br />
::<math><br />
\int _{-\infty }^a = F(x)|^a_{-\infty }, \;\;\;\int _{-\infty }^{+\infty } f(x) {\sf d}x = F(x)|^{+\infty }_{-\infty }.<br />
</math><br />
====Przykł.====<br />
<ol><br />
<br />
<li><br />
<span style="font-style: smaller"><math>\int _0^\infty e^{-ax} {\sf d}x, \;\; a>0</math>. Mamy: <math>F(x)=-\frac{1}{a} e^{-ax}</math>,<br />
skąd <math>F(\infty ) = {\displaystyle \mathop {\lim }_{{A}\rightarrow {-\infty }} } e^{-aA}=0</math>, tak więc</span><br />
<br />
::<math><br />
\int _0^\infty e^{-ax} {\sf d}x = F(x)|^\infty _0 = \frac{1}{a}.<br />
</math><br />
<br />
<span style="font-style: smaller"></span><br />
<br />
<br />
<li><br />
<span style="font-style: smaller"><math>\int _0^\infty \sin x {\sf d}x</math>. Funkcją pierwotną jest tu <math>-\cos x</math>,ale symbol <math>\cos x|^\infty _0</math><br />
jest bez sensu, bo nie istnieje granica <math>{\displaystyle \mathop {\lim }_{{x}\rightarrow {\infty }} } \cos x</math>.</span><br />
<br />
<br />
<li><br />
<span style="font-style: smaller"><math>\int _{\nicefrac{2}{\pi} }^\infty \frac{1}{x^2} \sin \frac{1}{x} = \cos \frac{1}{x} \left.\right|^\infty _{\nicefrac{2}{\pi} } = 1.</math></span><br />
<br />
</ol><br />
<br />
===Całki niewłaściwe a szeregi===<br />
<br />
Pomiędzy całkami niewłaściwymi a szeregami istnieje szereg podobieństw, które teraz wyliczymy;<br />
wiele twierdzeń o całkach niewłaściwych jest prostym przeniesieniem analogonów z teorii szeregów.<br />
<br />
<table class="wikitable"><br />
<tr><br />
<td><b>SZEREGI</b></td><br />
<br />
<td><b>CAłKI</b></td><br />
<br />
</tr><br />
<tr><br />
<td>Wyraz ogólny szeregu <math>a_n</math></td><br />
<br />
<td>Funkcja podcałkowa <math>f(x)</math></td><br />
<br />
</tr><br />
<tr><br />
<td></td><br />
<br />
<td></td><br />
<br />
</tr><br />
<tr><br />
<td>Suma częściowa szeregu <math>\sum _{n=1}^N a_n</math></td><br />
<br />
<td>Całka właściwa <math>\int _a^A f(x){\sf d}x</math></td><br />
<br />
</tr><br />
<tr><br />
<td></td><br />
<br />
<td></td><br />
<br />
</tr><br />
<tr><br />
<td>Suma szeregu <math>\sum _{n=1}^\infty a_n</math></td><br />
<br />
<td>Całka niewłaściwa <math>\int _a^\infty f(x){\sf d}x</math></td><br />
<br />
</tr><br />
<tr><br />
<td>jako granica sumy częściowej dla <math>N\rightarrow \infty </math></td><br />
<br />
<td>jako granica całki właściwej dla <math>A\rightarrow \infty </math></td><br />
<br />
</tr><br />
<tr><br />
<td></td><br />
<br />
<td></td><br />
<br />
</tr><br />
<tr><br />
<td>reszta szeregu <math>\sum _{n=N+1}^\infty a_n</math></td><br />
<br />
<td>Całka niewłaściwa <math>\int _A^\infty f(x){\sf d}x</math></td><br />
<br />
</tr><br />
</table><br />
<br />
<br />
<br />
Poniższych twierdzeń dowodzi się albo przez niewielką modyfikację twierdzeń dla szeregów,<br />
albo przez proste rozszerzenie twierdzeń o całkach właściwych.<br />
<br />
<ol><br />
<br />
<li><br />
Jeśli całka <math>\int _a^\infty f(x) {\sf d}x</math> jest zbieżna, to zbieżna jest też całka <math>\int _A^\infty f(x) {\sf d}x</math> i<br />
na odwrót. Ponadto<br />
<br />
::<math><br />
\int _a^\infty f(x) {\sf d}x = \int _a^A f(x) {\sf d}x + \int _A^\infty f(x) {\sf d}x.<br />
</math><br />
<br />
<br />
<li><br />
Gdy całka <math>\int _A^\infty f(x) {\sf d}x</math> jest zbieżna, to zachodzi<br />
<br />
::<math><br />
{\displaystyle \mathop {\lim }_{{A}\rightarrow {\infty }} }\int _A^\infty f(x) {\sf d}x=0.<br />
</math><br />
<br />
<br />
<li><br />
Jeśli zbieżna jest całka <math>\int _a^\infty f(x) {\sf d}x</math>, to zbieżna jest też całka<br />
<math>\int _a^\infty c\cdot f(x) {\sf d}x</math> (<math>c=</math> const.) i zachodzi<br />
<br />
::<math><br />
\int _a^\infty c\cdot f(x) {\sf d}x = c \int _a^\infty f(x) {\sf d}x<br />
</math><br />
<br />
<br />
<li><br />
Jeśli zbieżne są całki <math>\int _a^\infty f(x) {\sf d}x</math> i <math>\int _a^\infty g(x) {\sf d}x</math>,<br />
to zbieżna jest też całka <math>\int _a^\infty (f\pm g)(x) {\sf d}x</math> i zachodzi<br />
<br />
::<math><br />
\int _a^\infty (f\pm g)(x) {\sf d}x =\int _a^\infty f(x) {\sf d}x \pm \int _a^\infty f(x) {\sf d}x.<br />
</math><br />
<br />
</ol><br />
<br />
<br />
<br />
===Zbieżność całki w przypadku funkcji nieujemnej===<br />
<br />
Jeśli funkcja <math>f(x)</math> jest nieujemna, to całka<br />
<equation id="uid52"><br />
<math>F(A)=\int _a^A f(x){\sf d}x<br />
</math><br />
</equation><br />
jest funkcją <i>niemalejącą</i> zmiennej <math>A</math>. Jeśli ponadto funkcja <math>F(A)</math> jest ograniczona,<br />
tzn. <math>\exists _C \forall _x</math>: <math>F(x)\le C</math>, to <math>F(X)</math> posiada granicę, gdy <math>A\rightarrow \infty </math>, a to znaczy, że<br />
całka (<xr id="uid52"> %i</xr>) <i>jest zbieżna</i>. W oczywisty sposób, warunek ten jest też warunkiem <i>koniecznym</i><br />
zbieżności; gdy nie jest on spełniony, to całka (<xr id="uid52"> %i</xr>) jest rozbieżna.<br />
<br />
Wykorzystując powyższy fakt, dowodzi się, że ma miejsce następujące<br />
====Twierdzenie====<br />
Jeśli dla wszystkich <math>x\in [a,\infty [</math> zachodzi nierówność: <math>f(x)\le g(x)</math>, to ze zbieżności całki <math>\int _a^\infty g(x) {\sf d}x</math> wynika zbieżność całki <math>\int _a^\infty f(x) {\sf d}x</math>; i na odwrót: z rozbieżności całki <math>\int _a^\infty g(x) {\sf d}x</math> wynika rozbieżność całki <math>\int _a^\infty f(x) {\sf d}x</math>.<br />
=====Dowód=====<br />
jest analogiczny jak w przypadku tw. porównawczego dla szeregów &mdash; należy tylko wszędzie zamienić<br />
"sumę" na "całkę".<br />
<br />
<span style="font-style: smaller"></span><span style="font-style: smaller"><b>CBDO</b></span><br />
<br />
Kryterium to jest ógólnikowe: Skuteczność w jego stosowaniu zależy od<br />
tego, czy uda się w danym problemie znaleźć dostatecznie dobry, a<br />
jednocześnie wyliczalny 'ogranicznik', pozwalający oszacować badaną<br />
funkcję całkowaną od góry lub od dołu. Wybierając konkretne funkcje do<br />
porównań, możemy otrzymać bardziej szczegółowe kryteria<br />
zbieżności/rozbieżności całek. Często do porównań bierze się funkcję<br />
<math>\frac{1}{x^\alpha }</math> (jak pamiętamy, całka z tej funkcji<br />
jest zbieżna dla <math>\alpha >1</math> i rozbieżna dla <math>\alpha<br />
\le 1</math>). Z porównania z funkcją <math>\frac{1}{x^\alpha<br />
}</math>, otrzymuje się następujące <i>kryteria Cauchy'ego</i>:<br />
<br />
====Twierdzenie (kryteria Cauchy'ego)====<br />
Niech funkcja <math>f(x)</math> ma dla dostatecznie dużych <math>x</math> postać<br />
::<math><br />
f(x)=\frac{\phi (x)}{x^\alpha },\;\;\;\alpha >0.<br />
</math><br />
Wtedy:<br />
<ol><br />
<br />
<li><br />
Jeśli <math>\alpha >1</math> i <math>\phi (x)</math> jest ograniczona, tzn. <math>\exists _{C <\infty } \forall _x</math>: <math>F(x)\le C</math>,<br />
to całka <math>\int _a^\infty f(x) {\sf d}x </math> jest zbieżna;<br />
<li><br />
jeśli <math>\alpha \le 1</math> i <math>\phi (x)\ge c>0</math>, to całka jest rozbieżna.<br />
</ol><br />
=====Dowód=====<br />
<ol><br />
<li><br />
Tu bierzemy do porównania funkcję <math>g(x)=\frac{C}{x^\alpha }</math>; mamy: <math>f(x)\le g(x)</math> i<br />
wiemy, że <math>g(x)</math> jest<br />
całkowalna dla <math>\alpha >1</math>, co dowodzi zbieżności całki <math>\int _a^\infty f(x) {\sf d}x </math>.<br />
<li><br />
Tu bierzemy do porównania <math>g(x)=\frac{c}{x^\alpha }</math>. Zachodzi: <math>f(x)\ge g(x)</math>,<br />
całka z <math>g(x)</math> jest rozbieżna, więc też rozbieżna jest całka <math>\int _a^\infty f(x) {\sf d}x </math>.<br />
<br />
</ol><br />
<br />
<span style="font-style: smaller"></span><span style="font-style: smaller"><b>CBDO</b></span><br />
=====Przykłady=====<br />
<ol><br />
<br />
<li><br />
<span style="font-style: smaller">Zbadajmy zbieżność całki</span><br />
<br />
::<math><br />
\int _0^\infty \frac{x^\frac{3}{2}}{1+x^2} {\sf d}x<br />
</math><br />
<br />
<span style="font-style: smaller">Zamiast całki <math>\int _0^\infty </math> zbadajmy całkę <math>\int _1^\infty </math>; taka zmiana przedziału nie ma wpływu na zbieżność. Mamy:</span><br />
<br />
::<math><br />
\frac{x^\frac{3}{2}}{1+x^2}<br />
=<br />
\frac{(x^2)^\frac{3}{4}}{1+x^2}<br />
\ge \frac{(1+x^2)^\frac{3}{4}}{1+x^2}<br />
=<br />
\frac{1}{(1+x^2)^\frac{1}{4}}</math> jeżeli <math>x\ge 1</math> całość <math>{\ge }<br />
\frac{1}{(x^2+x^2)^\frac{1}{4}}=\frac{1}{2^\frac{1}{4}\sqrt{x}},<br />
</math><br />
<br />
<span style="font-style: smaller">a <math>\int _1^\infty \frac{1}{\sqrt{x}} {\sf d}x</math> jest rozbieżna, więc rozbieżna jest też całka wyjściowa.</span><br />
<br />
<br />
<li><br />
<span style="font-style: smaller">Zbadajmy zbieżność całki</span><br />
<br />
::<math><br />
\int _1^\infty \frac{1}{x^2\sqrt{1+x^2}} {\sf d}x<br />
</math><br />
<br />
<span style="font-style: smaller">Tu oszacujmy w drugą stronę:</span><br />
<br />
::<math><br />
\frac{1}{x^2\sqrt{1+x^2}}<br />
\le \frac{1}{x^3},<br />
</math><br />
<br />
<span style="font-style: smaller">i ponieważ <math>\int _1^\infty \frac{1}{x^3}{\sf d}x</math> jest zbieżna, to zbieżna jest też całka wyjściwa.</span><br />
<br />
</ol><br />
===Zbieżność bezwzględna===<br />
<br />
Wróćmy do badania zbieżności całek w przypadku ogólnym<br />
(tzn. niekoniecznie dla nieujemnych funkcji podcałkowych). Jak<br />
pamiętamy, zagadnienie zbieżności całki niewłaściwej <math>\int<br />
_a^\infty f(x){\sf d}x</math> sprowadza się do rozstrzygnięcia, czy<br />
istnieje skończona granica funkcji <math>\Phi (A)</math> dla<br />
<math>A\rightarrow \infty </math>, gdzie<br />
<equation id="uid60"><br />
<math>\Phi (A)=\int _a^A f(x){\sf d}x<br />
</math><br />
</equation><br />
<br />
Przypomnijmy sobie najsampierw [[Matematyka:Szeregi#Twierdzenie_.28Warunek_Cauchy.27ego.29|warunek Cauchy'ego]]<ref>Zwany też gdzieniegdzie warunkiem Bolzano-Cauchy'ego</ref> zbieżności szeregu <math>{a}_1 + {a}_2 +\dots </math>. Oznaczmy przez <math>\lbrace {s}_n \rbrace </math> ciąg jego sum częściowych.<br />
Warunek B-C mówi zbieżności szeregu mówi, iż<br />
::<math><br />
\forall _{\epsilon >0} \exists _{k\in { \mathbb N}} \forall _{m,m^{\prime }\in { \mathbb N}}: |s_{m}-s_{m^{\prime }}| < \epsilon ,<br />
</math><br />
Warunek ten ma swój bezpośredni odpowiednik w postaci warunku istnienia całek niewłaściwych.<br />
Można go sformułować następująco:<br />
====Twierdzenie====<br />
Warunkiem koniecznym i dostatecznym zbieżności całi <math>\int _a^\infty f(x){\sf d}x</math><br />
jest, aby<br />
::<math><br />
\forall _{\epsilon >0} \exists _{A_0>a} \forall _{A,A^{\prime }>A_0}:<br />
|\Phi (A^{\prime })-\Phi (A)|=|\int _A^{A^{\prime }} f(x) {\sf d}x| < \epsilon ,<br />
</math><br />
gdzie <math>\Phi (A)</math> jest dane przez (<xr id="uid60"> %i</xr>).<br />
<br />
<span style="font-style: smaller"></span><span style="font-style: smaller"><b>CBDO</b></span><br />
<br />
Korzystając z powyższego warunku, łatwo udowodnimy twierdzenie (mające analog dla szeregów: [[Matematyka:Szeregi1#Twierdzenie|Jeśli szereg jest bezwzględnie zbieżny to jest zbieżny]]):<br />
====Twierdzenie====<br />
Jeżeli całka <math>\int _a^\infty |f(x)| {\sf d}x</math> jest zbieżna, to jest zbieżna też całka<br />
<math>\int _a^\infty f(x) {\sf d}x</math>.<br />
<br />
=====Uwaga=====<br />
W takim przypadku mówimy, że całka <math>\int _a^\infty f(x) {\sf d}x</math> jest <i>bezwzględnie</i> zbieżna. (Znów analogia z szeregami!)<br />
=====Dowód=====<br />
Stosując powyższe kryterium do całki <math>\int _a^\infty |f(x)| {\sf d}x</math> (o której zakładamy, że jest zbieżna) mamy: Dla dowolnego <math>\epsilon >0</math> istnieje takie <math>A_0>a</math>, że dla <math>A^{\prime }>A>A_0</math> zachodzi<br />
::<math><br />
\int _A^{A^{\prime }} |f(x)|{\sf d}x < \epsilon ;<br />
</math><br />
ale mamy też:<br />
::<math><br />
\left|\int _A^{A^{\prime }} f(x){\sf d}x\right| < \int _A^{A^{\prime }} |f(x)|{\sf d}x<br />
\;\;\;</math> co znaczy, że <math><br />
\;\;\;<br />
\left|\int _A^{A^{\prime }} f(x){\sf d}x\right| < \epsilon </math><br />
a to oznacza, że zbieżna jest całka <math>\int _a^\infty f(x){\sf d}x</math>.<br />
<br />
<span style="font-style: smaller"></span><span style="font-style: smaller"><b>CBDO</b></span><br />
====Twierdzenie====<br />
Jeśli całka <math>\int _a^\infty f(x){\sf d}x</math> jest zbieżna bezwzględnie, a funkcja <math>g(x)</math> jest ograniczona (tzn. dla dowolnego <math>x</math>: <math>|g(x)\le C</math>), to całka <math>\int _a^\infty f(x) \cdot g(x) {\sf d}x</math> też jest bezwzględnie zbieżna.<br />
=====Dowód=====<br />
Wystarczy oszacować:<br />
::<math><br />
\left| f(x)\cdot g(x)\right|\le C \cdot |f(x)|<br />
</math><br />
i skorzystać z kryterium porównawczego.<br />
<span style="font-style: smaller"></span><span style="font-style: smaller"><b>CBDO</b></span><br />
=====Przykł.=====<br />
<span style="font-style: smaller"><br />
Rozważmy całkę:</span><br />
::<math><br />
\int _0^\infty \frac{\cos a x}{k^2 + x^2}{\sf d}x, \;\;\;k\ne 0.<br />
</math><br />
<span style="font-style: smaller">Funkcja <math>\frac{1}{k^2 + x^2}</math> jest całkowalna (całka z tej funkcji jest oczywiście bezwzględnie zbieżna),<br />
zaś funkcja <math>\cos a x</math> jest ograniczona; zatem powyższa całka jest bezwzględnie zbieżna.<br />
</span><br />
<br />
<br />
-------<br />
<references/></div>
Anula