Matematyka 1NI/Ciągłość jednostajna

Ciągłość jednostajna

Zadanie 1

Zbadać jednostajną ciągłość funkcji [math]f(x)=\sin x\, [/math] na zbiorze [math]X=\mathbb{R}\, [/math].

Wskazówka

Należy oszacować wyrażenie [math]|f(x)-f(x')|\, [/math] dla [math]x,x'\in X\, [/math].

---

Rozwiązanie

Dowodzenie ciągłości jednostajnej funkcji przebiega podobnie jak dowodzenie zwykłej (punktowej) ciągłości metodą Cauchy'ego, z tą różnicą, że teraz wybrane przez nas [math]\delta\, [/math] musi być uniwersalne dla wszystkich [math]x\, [/math] i [math]x'\, [/math]. Obliczamy więc

[math] |f(x)-f(x')|=|\sin x-\sin x'|= 2\left|\sin\frac{x-x'}{2}\cos\frac{x+x'}{2}\right|\; , \, [/math]

gdzie wykorzystaliśmy wzór:

[math] \sin\alpha-\sin\beta=2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\; . \, [/math]

Ponieważ zachodzi: [math]|\sin t|\leq |t|\, [/math], a cosinus ma wartości w przedziale [math][-1,1]\, [/math], więc (1) można oszacować z góry przez:

[math] |f(x)-f(x')|\leq 2\left|\frac{x-x'}{2}\right|=|x-x'|\; , \, [/math]

Biorąc [math]\delta=\epsilon\, [/math] (zauważmy, że wybrana [math]\delta\, [/math] jest wspólna dla wszystkich [math]x,x'\, [/math] i zależy wyłącznie od [math]\epsilon\, [/math]) i żądając aby [math]|x-x'|\lt \delta\, [/math], otrzymujemy wynik:

[math] |f(x)-f(x')|\lt \epsilon\; , \, [/math]

który oznacza, że funkcja jest ciągła jednostajnie.

---

Zadanie 2

Zbadać jednostajną ciągłość funkcji [math]f(x)=x^3\, [/math] na zbiorze [math]X_1=\mathbb{R}\, [/math] oraz na zbiorze [math]X_2=[a,b]\, [/math], gdzie [math]0\lt a\lt b\, [/math].

Wskazówka

Należy oszacować wyrażenie [math]|f(x)-f(x')|\, [/math] dla [math]x,x'\in X\, [/math].

---

Rozwiązanie

1. Badamy ciągłość jednostajną na zbiorze [math]X_1\, [/math].
   Podobnie jak w poprzednim przykładzie rozpoczynamy od oszacowania wyrażenia [math]|f(x)-f(x')|\, [/math]:
   [math] |f(x)-f(x')|=|x^3-x'^3|= |x-x'|\, |x^2+x\,x'+x'^2|\; . \, [/math]

   Załóżmy, że wybraliśmy [math]\epsilon\gt 0\, [/math] i dobraliśmy jakiekolwiek małe [math]\delta\, [/math]. Wykażemy, że nie może być ono uniwersalne, czyli że zawsze potrafimy wskazać takie [math]x\, [/math] i [math]x'\, [/math], że zachodzi [math]|x-x'|\lt \delta\, [/math], a [math]|f(x)-f(x')|\lt \epsilon\, [/math] nie. Niewątpliwie biorąc [math]\displaystyle x'=x+\frac{\delta}{2}\, [/math], spełnimy [math]|x-x'|\lt \delta\, [/math]. Oszacujmy wyrażenie (5) dla tak wybranych [math]x\, [/math] i [math]x'\, [/math]:

   [math] \left|f(x)-f(x+\frac{\delta}{2})\right|=\frac{\delta}{2}\, \left|3x^2+\frac{3}{2}\,x\delta+\frac{1}{4}\,\delta^2\right|\; . \, [/math]
   Wyrażenie wewnątrz wartości bezwzględnej jest trójmianem kwadratowym w [math]x\, [/math] (pamiętamy, że [math]\delta\, [/math] jest ustalone), więc jasne jest, że jest nieograniczone z góry. Wybierając bardzo duże [math]x\, [/math] naruszymy nierówność [math]|f(x)-f(x')|\lt \epsilon\, [/math], a zatem funkcja nie jest jednostajnie ciągła na [math]X_1\, [/math].
2. Badamy ciągłość jednostajną na zbiorze [math]X_2\, [/math].
   Ponieważ [math]0\lt x,x'\leq b\, [/math], więc
   [math] \left|x^2+x\,x'+x'^2\right|\leq 3b^2 \, [/math]
   i, wybierając [math]\displaystyle\delta =\frac{\epsilon}{3b^2}\, [/math], na mocy (5) mamy [math]|f(x)-f(x')|\lt \epsilon\, [/math]. Na zbiorze [math]X_2=[a,b]\, [/math] funkcja jest zatem ciągła jednostajnie.

---

Zadanie 3

Zbadać jednostajną ciągłość funkcji [math]f(x)=x+\cos x\, [/math] na zbiorze [math]X=\mathbb{R}\, [/math].

Wskazówka

Należy oszacować wyrażenie [math]|f(x)-f(x')|\, [/math] dla [math]x,x'\in X\, [/math].

---

Rozwiązanie

Wyrażenie [math]|f(x)-f(x')|\, [/math] możemy przekształcić, a następnie oszacować w następujący sposób:

[math] \begin{array}{ccl} |f(x)-f(x')|&\!\!\! =&\!\!\! \displaystyle |x+\cos x-x'-\cos x'|= \left|x-x' -2\sin\frac{x-x'}{2}\sin\frac{x+x'}{2}\right|\\ &\!\!\! \leq&\!\!\! \displaystyle |x-x'|+2\left|\sin\frac{x-x'}{2}\right|\, \left|\sin\frac{x+x'}{2}\right|\leq |x-x'|+2\left|\frac{x-x'}{2}\right|=2|x-x'|\; . \end{array}\,[/math]

Ponieważ żądamy, aby [math]|x-x'|\lt \delta\, [/math], więc możemy zapewnić spełnienie [math]|f(x)-f(x')|\lt \epsilon\, [/math] wybierając [math]\displaystyle\delta =\frac{\epsilon}{2}\, [/math], co oznacza, że funkcja jest ciągła jednostajnie.

---

Zadanie 4

Zbadać jednostajną ciągłość funkcji [math]\displaystyle f(x)=\mathrm{tg}\frac{1}{x}\, [/math], na zbiorze [math]\displaystyle X=\left]\frac{2}{\pi},\infty\right[\, [/math].

Wskazówka

Należy oszacować wyrażenie [math]|f(x)-f(x')|\, [/math] dla [math]x,x'\in X\, [/math].

---

Rozwiązanie

Aby oszacować wyrażenie

[math] |f(x)-f(x')|=\left|\mathrm{tg}\frac{1}{x}-\mathrm{tg}\frac{1}{x'}\right| \, [/math]

dla [math]x,x'\in X\, [/math], wykorzystamy wzór:

[math] \mathrm{tg}\,\alpha - \mathrm{tg}\,\beta=\frac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}\; . \, [/math]

Weźmy przykładowo:

[math] x=x_n:=\frac{2}{\pi}\cdot\frac{n}{n-2}\;,\;\;\;\; x'=x'_n:=\frac{2}{\pi}\cdot\frac{n}{n-1}\; , \, [/math]

dla [math]n=3,4,\ldots \, [/math]. Zachodzi naturalnie: [math]x,x'\in X\,[/math]. Dobierając odpowiednio duże [math]n\,[/math] możemy sprawić, że spełniona będzie nierówność [math]|x-x'|\lt \delta\, [/math], niezależnie od tego jak małe byłoby [math]\delta\, [/math]. Mamy bowiem:

[math] |x-x'|=|x_n-x'_n|=\left|\frac{2}{\pi}\cdot\frac{n}{(n-1)(n-2)}\right|\underset{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow}0\; . \, [/math]

Jednakże dla tych wartości [math]x\, [/math] i [math]x'\, [/math] możemy napisać, przy wykorzystaniu (10):

[math] \begin{array}{ccl} |f(x)-f(x')|&\!\!\! =&\!\!\! \displaystyle \left|\frac{\sin\left(\frac{1}{x_n}-\frac{1}{x'_n}\right)}{\cos\frac{1}{x_n}\cos\frac{1}{x'_n}}\right|=\frac{\left|\sin\left(-\frac{\pi}{2n}\right)\right|}{\left|\cos\frac{\pi}{2}\left(1-\frac{2}{n}\right)\right|\, \left|\cos\frac{\pi}{2}\left(1-\frac{1}{n}\right)\right|}\\ &\!\!\! =&\!\!\! \displaystyle \frac{\sin\left(\frac{\pi}{2n}\right)}{\sin\frac{\pi}{n}\sin\frac{\pi}{2n}}=\frac{1}{\sin\frac{\pi}{n}}\geq 1\; . \end{array}\, [/math]

Nie uda się zatem spełnić warunku [math]|f(x)-f(x')|\lt \epsilon\, [/math] dla dowolnie małego [math]\epsilon\, [/math], co oznacza, że funkcja nie jest ciągła jednostajnie.

---

Zadanie 5

Zbadać jednostajną ciągłość funkcji [math]f(x)=\log x\, [/math], na zbiorze [math]\displaystyle X=\left]0,1\right[\, [/math].

Wskazówka

Należy oszacować wyrażenie [math]|f(x)-f(x')|\, [/math] dla [math]x,x'\in X\, [/math].

---

Rozwiązanie

Wybierzmy [math]x\, [/math] i [math]x'\, [/math] w postaci:

[math] x=x_n:=\frac{1}{e^n}\;,\;\;\;\; x'=x'_n:=\frac{1}{e^{n+1}}; , \, [/math]

dla [math]n\in\mathbb{N} \, [/math]. Zachodzi naturalnie: [math]0\lt x,x'\lt 1\, [/math]. Dobierając odpowiednio duże [math]n\, [/math] możemy zagwarantować spełnienie nierówności [math]|x-x'|\lt \delta\, [/math], niezależnie od tego jak małe [math]\delta\, [/math] wybralibyśmy. Mamy bowiem:

[math] |x-x'|=|x_n-x'_n|=\left|\frac{1}{e^n}-\frac{1}{e^{n+1}}\right|=\frac{1}{e^n}\cdot\frac{e-1}{e}\underset{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow}0\; . \, [/math]

Jednakże dla tych wartości [math]x\, [/math] i [math]x'\, [/math], mamy:

[math] |f(x)-f(x')|= |\log x_n-\log x'_n|=\left|\log\frac{x_n}{x'_n}\right|=\log e=1\; . \, [/math]

Nie jesteśmy w stanie zatem spełnić warunku [math]|f(x)-f(x')|\lt \epsilon\, [/math] dla dowolnie małego [math]\epsilon\, [/math], co oznacza, że funkcja nie jest ciągła jednostajnie.

---

Zadanie 6

Zbadać jednostajną ciągłość funkcji [math]f(x)=\sin x^2\, [/math], na zbiorze [math]\displaystyle X=\mathbb{R}\, [/math].

Wskazówka

Należy oszacować wyrażenie [math]|f(x)-f(x')|\, [/math] dla [math]x,x'\in X\, [/math].

---

Rozwiązanie

W tym zadaniu wybierzemy [math]x\, [/math] i [math]x'\, [/math] w postaci:

[math] x=x_n:=\sqrt{n\pi}\;,\;\;\;\; x'=x'_n:=\sqrt{n\pi+\frac{\pi}{2}}\; , \, [/math]

dla [math]n\in\mathbb{N} \, [/math]. Niezależnie od tego jak małe [math]\delta\, [/math] wybierzemy, nierówność [math]|x-x'|\lt \delta\, [/math] będzie spełniona dla dużych wartości [math]n\, [/math]. Mamy bowiem:

[math] \begin{array}{ccl} |x-x'|&\!\!\! =&\!\!\! \displaystyle |x_n-x'_n|=\left|\sqrt{n\pi}-\sqrt{n\pi+\frac{\pi}{2}}\right|=\frac{\left|n\pi-n\pi-\frac{\pi}{2}\right|}{\sqrt{n\pi}+\sqrt{n\pi+\frac{\pi}{2}}}\\ &\!\!\! =&\!\!\! \displaystyle \frac{\pi}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{n\pi}+\sqrt{n\pi+\frac{\pi}{2}}}\underset{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow}0\; . \end{array}\, [/math]

Jednocześnie dla tych wartości [math]x\, [/math] i [math]x'\, [/math], mamy:

[math] |f(x)-f(x')|= |\sin x_n^2-\sin {x'}^2_n|=\left|\sin n\pi-\sin\left(n\pi+\frac{\pi}{2}\right)\right|=1\; . \, [/math]

Nie uda się więc spełnić warunku [math]|f(x)-f(x')|\lt \epsilon\, [/math] dla dowolnie małego [math]\epsilon\, [/math], co oznacza, że funkcja nie jest ciągła jednostajnie.

---

Zadanie 7

Zbadać jednostajną ciągłość funkcji [math]f(x)=e^x\, [/math], na zbiorze [math]\displaystyle X=\mathbb{R}\, [/math].

Wskazówka

Należy oszacować wyrażenie [math]|f(x)-f(x')|\, [/math] dla [math]x,x'\in X\, [/math].

---

Rozwiązanie

Wybierzemy tym razem [math]x\, [/math] i [math]x'\, [/math] w postaci:

[math] x=x_n:=\log n\;,\;\;\;\; x'=x'_n:=\log (n+1)\; , \, [/math]

dla [math]n\in\mathbb{N} \, [/math]. Dla dowolnie małego [math]\delta\gt 0\, [/math] spełnimy nierówność [math]|x-x'|\lt \delta\, [/math] wybierając odpowiednio duże [math]n\, [/math]. Mamy bowiem:

[math] \begin{array}{ccl} |x-x'|&\!\!\! =&\!\!\! |x_n-x'_n|=|\log n-\log(n+1)|=\log\frac{n+1}{n}\underset{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow}0\; . \end{array}\, [/math]

Dla tych wartości [math]x\, [/math] i [math]x'\, [/math], mamy jednak:

[math] |f(x)-f(x')|= \left|e^{x_n}-e^{x'_n}\right|=\left|e^{\log n}-e^{\log(n+1)}\right|=|n-n-1|=1\; . \, [/math]

Warunek [math]|f(x)-f(x')|\lt \epsilon\, [/math] dla małego [math]\epsilon\, [/math] nie może być więc spełniony pomimo, że [math]|x-x'|\lt \delta\, [/math] (przy dowolnym wyborze [math]\delta\gt 0\, [/math]). Oznacza to, że funkcja nie jest ciągła jednostajnie.

---