Matematyka 1NI/Ciągłość zwykła

Z Brain-wiki

Ciągłość zwykła

Zadanie 1

Wykazać ciągłość funkcji [math]f(x)=\cos x\, [/math] w dowolnym punkcie [math]x_0\in\mathbb{R}\, [/math], korzystając z definicji Heinego oraz Cauchy'ego.



Zadanie 2

Wykazać ciągłość funkcji [math]f(x)=\mathrm{arctg}\, x\, [/math] w dowolnym punkcie [math]x_0\in\mathbb{R}\, [/math], korzystając z definicji Heinego oraz Cauchy'ego.



Zadanie 3

Wykazać ciągłość funkcji [math]f(x)=e^x\, [/math] w dowolnym punkcie [math]x_0\in\mathbb{R}\, [/math], korzystając z definicji Heinego oraz Cauchy'ego.



Zadanie 4

Wykazać ciągłość funkcji [math]f(x)=\sqrt[k]{x}\, [/math] dla [math]k\in\mathbb{N}\, [/math] i [math]k\geq 2\, [/math] w dowolnym punkcie [math]x_0\gt 0\, [/math], korzystając z definicji Heinego oraz Cauchy'ego.



Zadanie 5

Wykazać ciągłość funkcji [math]\displaystyle f(x)=\cos\frac{1}{x}\,[/math] w dowolnym punkcie [math]x_0\neq 0\,[/math], korzystając z definicji Heinego oraz Cauchy'ego.



Zadanie 6

Zbadać ciągłość funkcji:

[math] f(x)=\frac{\sin x}{E(x)}\; ,\;\;\;\;\mathrm{w\; punkcie}\;\; x_0\gt 1\; , \,[/math]

gdzie [math]E(x)\,[/math] oznacza część całkowitą liczby rzeczywistej [math]x\,[/math] (tzw. funkcję entier).



Zadanie 7

Zbadać ciągłość funkcji:

[math] f(x)=\frac{\sin \pi x}{E(x)}\; ,\;\;\;\;\mathrm{w\; punkcie}\;\; x_0\gt 1\; , \,[/math]

gdzie [math]E(x)\,[/math] oznacza część całkowitą liczby rzeczywistej [math]x\,[/math].



Zadanie 8

Zbadać ciągłość funkcji:

[math] f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\displaystyle \frac{1}{1+e^{a/x}} & \mathrm{dla} & x\neq 0\; ,\\ \displaystyle b & \mathrm{dla} & x=0\; , \end{array}\right.\,[/math]

gdzie [math]a,b\in\mathbb{R}\,[/math].



Zadanie 9

Zbadać ciągłość funkcji:

[math] f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\displaystyle \frac{\sin ax}{x} & \mathrm{dla} & x\gt 0\; ,\\ \displaystyle x^2+bx+c & \mathrm{dla} & x\leq0\; , \end{array}\right. \,[/math]

gdzie [math]a,b,c\in\mathbb{R}\,[/math].



Zadanie 10

Zbadać ciągłość funkcji:

[math] f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\displaystyle (1-a\,\sin x)^{\frac{1}{x}} & \mathrm{dla} & x\lt 0\; ,\\ \displaystyle b\, e^x & \mathrm{dla} & x\geq0\; , \end{array}\right.\,[/math]

gdzie [math]|a|\lt 1\,[/math] oraz [math]a,b\in\mathbb{R}\,[/math].



Zadanie 11

Zbadać ciągłość funkcji:

[math] f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\displaystyle a^{\frac{x}{1-x^2}} & \mathrm{dla} & |x|\gt 1\; ,\\ \displaystyle \displaystyle a^{\frac{1}{1-x^2}} & \mathrm{dla} & |x|\lt 1\; ,\\ \displaystyle \displaystyle b & \mathrm{dla} & |x|=1\; , \end{array}\right.\, [/math]

gdzie [math]a\gt 0\, [/math] oraz [math]b\in\mathbb{R}\, [/math].



Zadanie 12

Zbadać ciągłość funkcji, określonej w formie granicy:

[math] f(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{\sin x+\cos x}{\sqrt{2}}\right)^n\; . \, [/math]




Zadanie 13

Zbadać ciągłość funkcji, określonej w formie granicy:

[math] f(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{1+x^n+x^{2n}}\; . \, [/math]