Matematyka 1NI/Ciągi zwykłe: Różnice pomiędzy wersjami

Z Brain-wiki
(Utworzono nową stronę "==Ciągi zwykłe== <big>'''''Zadanie 1'''''</big> Znaleźć granicę ciągu: <equation id="eq:cia1"> <math> a_n=\frac{n-\sqrt[3]{n^3+2n}}{n-\sqrt[3]{n^3+3n}}\; . \, </...")
 
Linia 14: Linia 14:
 
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
 
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
 
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Pomnożymy licznik i mianownik wzoru <xr id="eq:cia1">(%i)</xr> przez wyrażenie:<br>
 
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Pomnożymy licznik i mianownik wzoru <xr id="eq:cia1">(%i)</xr> przez wyrażenie:<br>
<equation>
+
<equation id="eq:eq1">
 
<math>
 
<math>
 
n^2+n \sqrt[3]{n^3+2n}+(\sqrt[3]{n^3+2n})^2\; .
 
n^2+n \sqrt[3]{n^3+2n}+(\sqrt[3]{n^3+2n})^2\; .
Linia 104: Linia 104:
 
\,</math></equation>
 
\,</math></equation>
 
Podobnie: <math>n(4/5)^{n+1}\underset{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow}0\,</math>, gdyż
 
Podobnie: <math>n(4/5)^{n+1}\underset{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow}0\,</math>, gdyż
<equation>
+
<equation id="eq:eq2">
 
<math>
 
<math>
 
\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{n\left(\frac{4}{5}\right)^{n+1}}=\frac{4}{5}\,\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\frac{4n}{5}}=\frac{4}{5}<1\; .
 
\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{n\left(\frac{4}{5}\right)^{n+1}}=\frac{4}{5}\,\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\frac{4n}{5}}=\frac{4}{5}<1\; .
 
\,</math></equation>
 
\,</math></equation>
 
W konsekwencji otrzymujemy
 
W konsekwencji otrzymujemy
<equation>
+
<equation id="eq:eq3">
 
<math>
 
<math>
 
\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=\frac{1}{5}\; .
 
\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=\frac{1}{5}\; .
\,</math></equation><br>
+
\,</math></equation id="eq:eq4"><br>
 
}}
 
}}
 
----
 
----
Linia 202: Linia 202:
 
\,</math></equation>
 
\,</math></equation>
 
Pamiętając, że
 
Pamiętając, że
<equation>
+
<equation id="eq:eq5">
 
<math>
 
<math>
 
\lim_{n\rightarrow\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e\; ,
 
\lim_{n\rightarrow\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e\; ,
Linia 232: Linia 232:
 
\,</math></equation>
 
\,</math></equation>
 
Ponieważ
 
Ponieważ
<equation>
+
<equation id="eq:eq6">
 
<math>
 
<math>
 
\lim_{n\rightarrow\infty} \left(1-\frac{1}{2n}\right)^n=\frac{1}{\sqrt{e}}\; ,
 
\lim_{n\rightarrow\infty} \left(1-\frac{1}{2n}\right)^n=\frac{1}{\sqrt{e}}\; ,
\,</math></equation>
+
\,</math></equation id="eq:eq7">
 
oraz (dla dużych <math>n\,</math>) mamy następujące oszacowanie dla <math>\displaystyle \sqrt[n]{(n^5+2^n)}\, </math>:
 
oraz (dla dużych <math>n\,</math>) mamy następujące oszacowanie dla <math>\displaystyle \sqrt[n]{(n^5+2^n)}\, </math>:
 
<equation>
 
<equation>
Linia 267: Linia 267:
 
\,</math></equation>
 
\,</math></equation>
 
gdzie:
 
gdzie:
<equation>
+
<equation id="eq:eq8">
 
<math>
 
<math>
 
b_n:=\sqrt{2}+\sqrt{4}+\ldots +\sqrt{2n}\; ,\;\;\;\;\;\;\;\; c_n:=n\sqrt{n}\; .
 
b_n:=\sqrt{2}+\sqrt{4}+\ldots +\sqrt{2n}\; ,\;\;\;\;\;\;\;\; c_n:=n\sqrt{n}\; .
Linia 277: Linia 277:
 
\,</math></equation>
 
\,</math></equation>
 
Aby pozbyć się różnicy pierwiastków z mianownika pomnożymy licznik i mianownik przez sumę:
 
Aby pozbyć się różnicy pierwiastków z mianownika pomnożymy licznik i mianownik przez sumę:
<equation>
+
<equation id="eq:eq9">
 
<math>
 
<math>
 
(n+1)\sqrt{n+1}+n\sqrt{n}\; .
 
(n+1)\sqrt{n+1}+n\sqrt{n}\; .
Linia 287: Linia 287:
 
\,</math></equation>
 
\,</math></equation>
 
W konsekwencji
 
W konsekwencji
<equation>
+
<equation id="eq:eq10">
 
<math>
 
<math>
 
\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{b_{n+1}-b_n}{c_{n+1}-c_n}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\; ,
 
\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{b_{n+1}-b_n}{c_{n+1}-c_n}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\; ,
Linia 307: Linia 307:
 
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
 
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
 
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Zgodnie z treścią kryterium Stolza oznaczmy:
 
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Zgodnie z treścią kryterium Stolza oznaczmy:
<equation>
+
<equation id="eq:eq12">
 
<math>
 
<math>
 
a_n=\frac{b_n}{c_n}\; ,
 
a_n=\frac{b_n}{c_n}\; ,
 
\,</math></equation>
 
\,</math></equation>
 
gdzie:
 
gdzie:
<equation>
+
<equation id="eq:eq11">
 
<math>
 
<math>
 
b_n:=\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}+\ldots +\sqrt[3]{2n+1}\; ,\;\;\;\;\;\;\;\; c_n:=n\sqrt[3]{n}\; ,
 
b_n:=\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}+\ldots +\sqrt[3]{2n+1}\; ,\;\;\;\;\;\;\;\; c_n:=n\sqrt[3]{n}\; ,
Linia 322: Linia 322:
 
\,</math></equation>
 
\,</math></equation>
 
Aby pozbyć się różnicy pierwiastków z mianownika pomnożymy licznik i mianownik przez  
 
Aby pozbyć się różnicy pierwiastków z mianownika pomnożymy licznik i mianownik przez  
<equation>
+
<equation id="eq:eq13">
 
<math>
 
<math>
 
(n+1)^{8/3}+(n+1)^{4/3}n^{4/3}+n^{8/3}\; ,\,</math></equation>
 
(n+1)^{8/3}+(n+1)^{4/3}n^{4/3}+n^{8/3}\; ,\,</math></equation>
Linia 333: Linia 333:
 
\end{array}\,</math></equation>
 
\end{array}\,</math></equation>
 
W efekcie
 
W efekcie
<equation>
+
<equation id="eq:eq14">
 
<math>
 
<math>
 
\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{b_{n+1}-b_n}{c_{n+1}-c_n}=\frac{3\sqrt[3]{2}}{4}\; ,
 
\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{b_{n+1}-b_n}{c_{n+1}-c_n}=\frac{3\sqrt[3]{2}}{4}\; ,
Linia 350: Linia 350:
 
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
 
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
 
| header = ''Wskazówka'' | content = Nalezy skorzystać z twierdzenia o granicy ciągu postaci:
 
| header = ''Wskazówka'' | content = Nalezy skorzystać z twierdzenia o granicy ciągu postaci:
<equation>
+
<equation id="eq:eq15">
 
<math>
 
<math>
 
a_n=(1+b_n)^{c_n}\; .
 
a_n=(1+b_n)^{c_n}\; .
Linia 392: Linia 392:
 
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
 
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
 
| header = ''Wskazówka'' | content = Należy skorzystać z twierdzenia o granicy ciągu postaci:
 
| header = ''Wskazówka'' | content = Należy skorzystać z twierdzenia o granicy ciągu postaci:
<equation>
+
<equation id="eq:eq16">
 
<math>
 
<math>
 
a_n=(1+b_n)^{c_n}\; .
 
a_n=(1+b_n)^{c_n}\; .
Linia 414: Linia 414:
 
\lim_{n\rightarrow\infty}b_nc_n=\lim_{n\rightarrow\infty}2n \frac{(\alpha-\beta) n-1}{1+\beta n + n^2}=2(\alpha-\beta)\; .\,</math></equation>
 
\lim_{n\rightarrow\infty}b_nc_n=\lim_{n\rightarrow\infty}2n \frac{(\alpha-\beta) n-1}{1+\beta n + n^2}=2(\alpha-\beta)\; .\,</math></equation>
 
W efekcie mamy:
 
W efekcie mamy:
<equation>
+
<equation id="eq:eq17">
 
<math>
 
<math>
 
\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=e^{2(\alpha-\beta)}\; .\,</math></equation><br>
 
\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=e^{2(\alpha-\beta)}\; .\,</math></equation><br>
Linia 556: Linia 556:
 
\,</math></equation>
 
\,</math></equation>
 
i w rezultacie
 
i w rezultacie
<equation>
+
<equation id="eq:eq18">
 
<math>
 
<math>
 
\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=2\; .
 
\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=2\; .

Wersja z 15:12, 26 maj 2015

Ciągi zwykłe

Zadanie 1

Znaleźć granicę ciągu:

[math] a_n=\frac{n-\sqrt[3]{n^3+2n}}{n-\sqrt[3]{n^3+3n}}\; . \, [/math]




Zadanie 2

Znaleźć granicę ciągu:

[math] a_n=\sqrt[4]{n}\left(\sqrt[4]{n+\sqrt{n}}-\sqrt[4]{n-\sqrt{n}}\right)\; . \,[/math]




Zadanie 3

Znaleźć granicę ciągu:

[math] a_n=\frac{5^n+n^24^n}{5^{n+1}+n4^{n+1}}\; . \,[/math]



{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F | | header = Rozwiązanie | content = Wyłączymy z licznika i mianownika wiodące wyrazy, jakimi są odpowiednio [math]5^n\,[/math] oraz [math]5^{n+1}\,[/math]. Otrzymujemy:

[math] a_n= \frac{5^n}{5^{n+1}}\cdot \frac{1+n^2(4/5)^n}{1+n(4/5)^{n+1}}\; , \,[/math]

Na mocy kryterium Cauchy'ego zachodzi: [math]n^2(4/5)^n\underset{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow}0\,[/math]. Mamy bowiem No reference identifier provided Podobnie: [math]n(4/5)^{n+1}\underset{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow}0\,[/math], gdyż

[math] \lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{n\left(\frac{4}{5}\right)^{n+1}}=\frac{4}{5}\,\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\frac{4n}{5}}=\frac{4}{5}\lt 1\; . \,[/math]

W konsekwencji otrzymujemy

[math] \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=\frac{1}{5}\; . \,[/math]</equation id="eq:eq4">

}}


Zadanie 4

Znaleźć granicę ciągu: <equation id="eq:cia4">

[math] a_n=\sqrt[n]{1^n+2^{n-1}+3^{n-2}+\ldots +10^{n-9}}\; . \,[/math]




Zadanie 5

Znaleźć granicę ciągu:

[math] a_n=\frac{1}{7^n}\left(\begin{array}{c}3n\\ 2n\end{array} \right)\; . \,[/math]




Zadanie 6

Znaleźć granicę ciągu:

[math] a_n=\frac{n!\,n^n}{(2n)!}\; . \,[/math]




Zadanie 7

Znaleźć granicę ciągu:

[math] a_n=(n^5+2^n)\left(1-\frac{1}{2n}\right)^{n^2}\; . \,[/math]




Zadanie 8

Znaleźć granicę ciągu:

[math] a_n=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{4}+\ldots +\sqrt{2n}}{n\sqrt{n}}\; . \,[/math]




Zadanie 9

Znaleźć granicę ciągu:

[math] a_n=\frac{\sqrt[3]{1}+\sqrt[3]{3}+\ldots +\sqrt[3]{2n+1}}{n\sqrt[3]{n}}\; . \,[/math]




Zadanie 10

Znaleźć granicę ciągu:

[math] a_n=\left(1+\sin\frac{1}{n}\right)^{\log^{-1}\left(\frac{n+1}{n}\right)}\; . \,[/math]




Zadanie 11

Znaleźć granicę ciągu:

[math] a_n=\left(\frac{\alpha n+n^2}{1+\beta n + n^2}\right)^{2n}\; , \,[/math]

gdzie [math]\alpha,\beta\in\mathbb{R}\,[/math].



Zadanie 12

Znaleźć granicę ciągu:

[math] a_n=\frac{n^{10}2^n+4^n+\log^{100}n}{(n^2+2^n)(n^3+2^n)}\; . \,[/math]




Zadanie 13

Znaleźć granicę ciągu:

[math] a_n=\frac{n^2}{\sqrt[n]{(2n)!}}\; . \,[/math]




Zadanie 14

Znaleźć granicę ciągu:

[math] a_n=\frac{1}{\sqrt[n]{2}-1}-\frac{2\sqrt[n]{2}+1}{\sqrt[n]{8}-1}\; . \,[/math]




Zadanie 15

Znaleźć granicę ciągu:

[math] a_n=\frac{3^n}{(1+\frac{1}{2n})(1+\frac{3}{2n})\cdot\ldots\cdot(1+\frac{2n+1}{2n})}\; . \,[/math]




Zadanie 16

Znaleźć granicę ciągu:

[math] a_n=\left(1+\frac{1}{1\cdot 3}\right)\left(1+\frac{1}{2\cdot 4}\right)\cdot\ldots\cdot \left(1+\frac{1}{n(n+2)}\right)\; . \,[/math]




Zadanie 17

Tak dobrać parametr [math]\beta\in\mathbb{R}\,[/math], aby ciąg postaci:

[math] a_n=\left(\beta\,\arcsin\frac{n}{2n+3}\right)^n\; , \,[/math]

był zbieżny do granicy różnej od zera. Znaleźć tę granicę.



Zadanie 18

Znaleźć granicę ciągu:

[math] a_n=\frac{n!}{(\sqrt[n]{n!}-1)^n}\; . \, [/math]




Zadanie 19

Znaleźć granicę ciągu:

[math] a_n=\frac{\sqrt[n]{5}-\sqrt[n]{4}}{\sqrt[n]{3}-\sqrt[n]{2}}\; . \, [/math]




Zadanie 20

Zbadać zbieżność ciągu:

[math] a_n=\left[(-1)^n+\frac{1+3(-1)^n}{2n}\right]^n\; . \, [/math]




Zadanie 21

Zbadać zbieżność ciągu:

[math] a_n=\sin\left(\pi\sqrt[4]{n^4+n}\right)\; . \, [/math]




Zadanie 22

Zbadać zbieżność ciągu:

[math] a_n=\cos\left(\pi\sqrt[4]{n^4+n}\right)\; . \, [/math]




Zadanie 23

Zbadać zbieżność ciągu:

[math] a_n=\sin\left(\frac{\pi}{4}\cdot\frac{2n^2+n+2}{2n+1}\right) \, [/math]