Matematyka 1NI/Dwumian Newtona

Z Brain-wiki

Dwumian Newtona

Zadanie 1

Znaleźć współczynnik przy [math]x^{334}\, [/math] w rozwinięciu wyrażenia [math]\displaystyle \left(\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}\right)^{1001}\, [/math].




Zadanie 2

W wielomianie [math]\displaystyle w(x)=\sum_{k=0}^{10}(1+x)^k\, [/math] znaleźć wyraz zawierający [math]x^4\, [/math].



Zadanie 3

Wykazać tożsamość:

[math] \sum_{k=1}^nk\left(\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right)=n 2^{n-1}\; . \, [/math]




Zadanie 4

Wykazać tożsamość:

[math] \sum_{k=1}^n(-1)^kk\left(\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right)=0\; , \, [/math]

dla [math]n\gt 1\, [/math].



Zadanie 5

Wykazać tożsamość:

[math] \sum_{k=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right)^2=\left(\begin{array}{c}2n\\n\end{array}\right)\; . \, [/math]




Zadanie 6

Wykazać tożsamość:

[math] \sum_{k=0}^{2n}(-1)^k\left(\begin{array}{c}2n\\k\end{array}\right)^2=(-1)^n\left(\begin{array}{c}2n\\n\end{array}\right)\; . \, [/math]




Zadanie 7

Wykazać tożsamość:

[math] \sum_{k=0}^{2n-1}(-1)^k\left(\begin{array}{c}2n-1\\k\end{array}\right)^2=0\; . \, [/math]