Matematyka 1NI/Funkcje hiperboliczne i polowe

Z Brain-wiki

Wiadomości wstępne

Przystępując do ćwiczeń przypominamy następujące fakty z wykładu

  1. Definicje funkcji hiperbolicznych
    [math]\sinh x :=\frac{e^x-e^{-x}}{2}[/math],
    [math]\cosh x :=\frac{e^x+e^{-x}}{2}[/math],
    [math]\tanh x :=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}[/math].
  2. Szkice wykresów funkcji hiperbolicznych.
  3. Wzory
    [math]\cosh^2 x -\sinh^2 x =1[/math]
    [math]\sinh (x+y)=\sinh x \cosh y + \sinh y \cosh x [/math]
    [math]\sinh (2x)=2\sinh x \cosh x [/math]
  4. Ponadto
    [math]\operatorname{arsinh} x=\log (x+\sqrt{x^2+1})[/math]
    [math]\sinh ' x = \cosh x [/math]
    [math]\cosh ' x = \sinh x [/math]
    [math]\operatorname{arsinh}' x=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}[/math]

Zadania

Zadanie 1

Udowodnij,że

a) [math]\cosh (x+y)=\cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y[/math]

b) [math]\cosh (x-y)=\cosh x \cosh y - \sinh x \sinh y[/math]

c) [math]\cosh (2x)=\cosh^2 x + \sinh^2 x [/math]




Zadanie 2

Udowodnij, że funkcją odwrotną do funkcji [math]f : \, \mathbb{R}_+\{0\} \to [1,\infty[ [/math]

[math]x\mapsto f(x)= \frac{e^x+e^{-x}}{2}[/math]

jest funkcja

[math]f^{-1}(x)= \log (x+\sqrt{x^2-1})=:\operatorname{ar cosh} \, x[/math] .

Oblicz pochodną [math]f^{-1}[/math] .