Matematyka 1NI/Funkcje trygonometryczne
Uwagi wstępne
Przystępując do ćwiczeń zakładamy, że studenci umieją
- Szkicować wykresy funkcji trygonometrycznych, w szczególności znają znaki funkcji trygonometrycznych w poszczególnych ćwiartkach
- Znają wartości tych funkcji dla argumentów [math]0[/math], [math]\frac{\pi}{6}[/math], [math]\frac{\pi}{4}[/math], [math]\frac{\pi}{3}[/math], [math]\frac{\pi}{2}[/math], [math]\pi[/math], [math]\frac{3\pi}{2}[/math],
- Znają podstawowe związki między funkcjami trygonometrycznymi
[math]\sin^2 x+\cos^2 x=1 [/math],
[math] \tan x \frac{\sin x}{\cos x}[/math],
[math] \tan x \ctg x =1 [/math]. - Znają wzory na sinus sumy kątów i cosinus sumy kątów
[math]\sin (x+y)=\sin x\cos y+\cos x \sin y[/math] ,
[math] \cos (x+y)=\cos x\cos y-\sin x \sin y[/math]
i jego konsekwencje
[math]\sin (x-y)=\sin x\cos y-\cos x \sin y[/math],
[math] \cos (x-y)=\cos x\cos y+\sin x \sin y [/math],
[math]\sin (2x)=2\sin x\cos x [/math],
[math] \cos (2 x)=\cos^2 x-\sin^2 x [/math].
Umiejętności te będziemy sprawdzać w poniższych zadaniach.
Zadania
Zadanie 1
Rozwiąż równania
a) [math]\cos x = 1[/math],
b) [math]\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}[/math],
c) [math]\cos x =0[/math],
d) [math]\sin x = 0[/math],
e) [math]\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}[/math],
f) [math]\tg x= \sqrt{3}[/math],
g) [math]\ctg x = - \sqrt{3}[/math].
h) [math]\cos x = \sin x[/math].
a) [math]\left\{2 k \pi \, | \, k \in {\mathbb Z} \right\}[/math],
b) [math]\left\{\frac{\pi}{6}+2 k \pi \, \vee \, -\frac{\pi}{6}+2 k \pi \, | \, k \in {\mathbb Z} \right\}[/math],
c) [math]\left\{\frac{\pi}{2}+ k \pi \, | \, k \in {\mathbb Z} \right\}[/math],
d) [math]\left\{k \pi \, | \, k \in {\mathbb Z} \right\}[/math],
e) [math]\left\{\frac{\pi}{3}+2 k \pi \, \vee \, \frac{2 \pi}{3}+2 k \pi \, | \, k \in {\mathbb Z} \right\}[/math],
f) [math]\left\{\frac{\pi}{3}+k \pi \, | \, k \in {\mathbb Z} \right\}[/math],
g) [math]\left\{\frac{5\pi}{6}+k \pi \, | \, k \in {\mathbb Z} \right\}[/math],
h) [math]\left\{\frac{\pi}{4}+k \pi \, | \, k \in {\mathbb Z} \right\}[/math].
Zadanie 2
Rozwiąż nierówności
a) [math]2 \sin x \lt - 1[/math],
b) [math]3 \ctg^2 x \geq 1[/math].
a) [math]\displaystyle \bigcup_{k \in {\mathbb Z}}\,\, \left]\frac{7\pi}{6}+2 k \pi,\frac{11\pi}{6}+2 k \pi\right[[/math],
b) [math]\displaystyle \bigcup_{k \in {\mathbb Z}}\,\, \left] k \pi,\frac{\pi}{3}+ k \pi\right] \cup\left[\frac{2\pi}{3}+ k \pi,\pi+ k \pi\right[[/math]
Zadanie 3
Zredukuj następujące wyrażenia
a) [math]\cos (\pi-x)[/math],
b) [math]\cos (\frac{\pi}{2}+x)[/math],
c) [math]\sin (x-\pi)[/math],
d) [math]\sin (\frac{3}{2} \pi+x)[/math],
e) [math]\ctg (\frac{\pi}{2}+x)[/math],
f) [math]\tg (\frac{3}{2} \pi-x)[/math].
Zakładając, że [math]x[/math] jest w pierwszej ćwiartce jaki znak będzie miała nasza funkcja? Pozbywając się [math]\frac{3}{2} \pi[/math] lub [math]\frac{1}{2} \pi[/math] zmieniamy funkcję na jej kofunkcję. W przypadku usuwania [math]\pi[/math] i jego wielokrotności funkcji nie zmieniamy.
Postępując zgodnie ze wskazówkami mamy
a) [math]-\cos x[/math],
b) [math]-\sin x[/math],
c) [math]-\sin x[/math],
d) [math]-\cos x[/math],
e) [math]-\tg x[/math],
f) [math]\ctg x[/math].
Zadanie 4
Znajdź wartość [math]\cos \frac{\pi}{8}[/math] (wynik może zawierać jedynie operacje dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia i pierwiastkowania liczb naturalnych).
Użyj wzoru na cosinus podwojonego kąta.
Zgodnie ze wskazówką mamy
[math]2 \cos^2 \frac{\pi}{8}=1+\cos \frac{\pi}{4}=1+ \frac{\sqrt{2}}{2}[/math]
skąd otrzymujemy
[math]\cos \frac{\pi}{8}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}[/math].
Zadanie 5
Rozwiąż równanie [math]\cos (x+\pi) \cos(x+\frac{\pi}{2}) \ctg(x-\pi)=\frac{1}{2}.[/math]
Użyj wzorów redukcyjnych.
Po użyciu wzorów redukcyjnych otrzymujemy [math]\cos^2 x=\frac{1}{2}[/math] czyli [math]\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}[/math] lub [math]\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}[/math] co daje zbiór rozwiązań [math]\left\{\frac{\pi}{4}+ \frac{k \pi}{2} \, | \, k \in {\mathbb Z} \right\}[/math].
Zadanie 6
Udowodnij, że
a) [math]\forall \alpha \not\in \left\{ k \pi \, | \, k \in {\mathbb Z} \right\}: \,\, \tg \frac{\alpha}{2}= \frac{1-\cos \alpha}{\sin \alpha}[/math],
b) [math]\sin \frac{\alpha}{2} =\pm \sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{2}}[/math].
Użyj znanych Ci wzorów [math]\cos \alpha=\cos^2 \frac{\alpha}{2}- \sin ^2 \frac{\alpha}{2}[/math] i [math]\sin \alpha= 2 \sin\frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}[/math].
a) Mamy [math] \frac{1-\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{1-\cos^2 \frac{\alpha}{2}+\sin^2 \frac{\alpha}{2}}{2 \sin\frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}} =\frac{2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}}{2 \sin\frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}}=\tg \frac{\alpha}{2}[/math].
b) Ze wzoru [math]\cos \alpha=\cos^2 \frac{\alpha}{2}- \sin ^2 \frac{\alpha}{2}[/math] i jedynki trygonometrycznej mamy
[math]2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}=1-\cos \alpha[/math] skąd natychmiast otrzymujemy żądaną tożsamość.
Zadanie 7
Pokaż, że [math]\cos x+\cos y= 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}[/math]
Skorzystaj z dobrze Ci znanych wzorów [math]\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha \cos\beta-\sin\alpha \sin\beta[/math], [math]\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha \cos\beta+\sin\alpha \sin\beta[/math].
Dodając stronami wzory podane we wskazówce otrzymujemy [math]\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)=2\cos\alpha \cos\beta[/math]. Kładąc [math]\alpha=\frac{x+y}{2}[/math] i [math]\beta=\frac{x-y}{2}[/math] otrzymujemy żądaną tożsamość.
Zadanie 8
Wyprowadź wzory
a) [math]\sin x =\frac{2 \tg \frac{x}{2}}{1+\tg^2 \frac{x}{2}}[/math],
b) [math]\cos x =\frac{1- \tg^2 \frac{x}{2}}{1+\tg^2 \frac{x}{2}}[/math],
c) [math]\tg x =\frac{2 \tg \frac{x}{2}}{1-\tg^2 \frac{x}{2}}[/math].
Użyj wzorów [math]\cos x=\cos^2 \frac{x}{2}- \sin ^2 \frac{x}{2},\,\,\,[/math] [math]\sin x= 2 \sin\frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}[/math] i jedynki trygonometrycznej.
a) [math]\sin x=\frac{\sin x}{1}=\frac{2 \sin\frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} }{ \cos^2 \frac{x}{2}+ \sin ^2 \frac{x}{2} } = \frac{2 \frac{ \sin\frac{x}{2} }{ \cos \frac{x}{2} } }{ 1+ \frac{ \sin ^2 \frac{x}{2} }{ \cos^2 \frac{x}{2} } } =\frac{2 \tg \frac{x}{2}}{1+\tg^2 \frac{x}{2}} [/math],
b) [math]\cos x =\frac{\cos x}{1}=\frac{\cos^2 \frac{x}{2}- \sin ^2 \frac{x}{2}}{ \cos^2 \frac{x}{2}+ \sin ^2 \frac{x}{2} } = \frac{ 1- \frac{ \sin ^2 \frac{x}{2}}{ \cos^2 \frac{x}{2} } }{ 1+ \frac{ \sin ^2 \frac{x}{2} }{ \cos^2 \frac{x}{2} } } =\frac{1- \tg^2 \frac{x}{2} }{1+\tg^2 \frac{x}{2}} [/math],
c)[math]\tg x=\frac{\sin x}{\cos x }=\frac{2 \tg \frac{x}{2}}{1-\tg^2 \frac{x}{2}}[/math].
Zadanie 9
Rozwiąż równania w zbiorze [math]]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[[/math]
a) [math]4 \sin^3 \theta+2 \cos^2 \theta-2 \sin \theta -1=0 [/math],
b) [math]\tan ^2 x- \tan x -3 + 3 \cot x = 0[/math].
a) Podstaw [math]t=\sin \theta[/math] (uprzednio używając jedynki trygonometrycznej) a następnie poszukaj pierwiastków wymiernych równania na [math]t[/math].
b) Podstaw [math]t=\tan x[/math].
a) Postępując zgodnie ze wskazówką otrzymujemy [math]4 t^3- 2 t^2 -2 t+1=0[/math]. Pierwiastkiem wymiernym tego równania jest [math]t=\frac{1}{2}[/math], dzięki temu mamy [math]4 t^3- 2 t^2 -2 t+1=4 (t-\frac{1}{2})(t^2-\frac{1}{2})=4 (t-\frac{1}{2})(t^2-\frac{1}{2}) =4 (t-\frac{1}{2})(t-\frac{\sqrt{2}}{2})(t+\frac{\sqrt{2}}{2}) [/math] a więc
[math]\sin \theta=\frac{1}{2} \, \vee \, \sin \theta=\frac{\sqrt{2}}{2} \, \vee \, \sin \theta=-\frac{\sqrt{2}}{2}[/math],
skąd ostatecznie
[math] \theta \in \{-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{6} \}[/math].
b) Po podstawieniu [math]t=\tan x[/math] otrzymujemy [math]t^3- t^2 -3 t+3=0[/math]. Zapisując wyrażenie po lewej stronie równości w postaci iloczynowej [math](t-1)(t-\sqrt{3})(t+\sqrt{3})=0[/math]. mamy natychmiast
[math]\tan x=1 \, \vee \, \tan x=\sqrt{3} \, \vee \, \tan x=-\sqrt{3}[/math] i ostatecznie
[math]x \in \{\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3},-\frac{\pi}{3} \}[/math].
Zadanie 10
Udowodnij, że jeżeli [math] \cos x \neq 0,\,\,\, \cos y \neq 0,\,\,\, \cos (x+y) \neq 0\,\,\,[/math] to [math] \tan(x+y)=\frac{\tan x + \tan y}{1-\tan x \tan y}[/math]
Skorzystaj ze wzorów [math]\sin (x+y)=\sin x\cos y+\cos x \sin y[/math],
[math] \cos (x+y)=\cos x\cos y-\sin x \sin y[/math]
[math] \tan(x+y)=\frac{\sin (x+y)}{ \cos (x+y)}=\frac{\sin x\cos y+\cos x \sin y}{\cos x\cos y-\sin x \sin y}= \frac{\frac{\sin x}{\cos x }+\frac{\sin y}{\cos y}}{1-\frac{\sin x}{\cos x }\frac{\sin y}{\cos y}}=\frac{\tan x + \tan y}{1-\tan x \tan y} [/math].
