Obliczanie pochodnych skomplikowanych funkcji
Zadanie 1
Znaleźć pochodną funkcji:
[math]
f(x)=(\mathrm{tg}\, x)^{\sin x}\; ,
\, [/math]
gdzie [math]\displaystyle x\in \left]0,\frac{\pi}{2}\right[\, [/math].
Wskazówka
Najpierw należy obliczyć pochodną funkcji [math]\log f(x)\, [/math].
Rozwiązanie
Aby obliczyć pochodną, musimy oddzielić zależność od [math]x\, [/math] w podstawie od zależności od [math]x\, [/math] w wykładniku. Umożliwia nam to funkcja logarytm. Mamy z jednej strony:
[math]
\left[\log f(x)\right]'=\frac{1}{f(x)}\, f'(x)\; ,
\, [/math]
a z drugiej:
[math]
\begin{array}{ccl}
\left[\log f(x)\right]'&\!\!\! =&\!\!\! \displaystyle \left[\sin x\log\mathrm{tg}\,x\right]'=\cos x\log\mathrm{tg}\,x+\sin x\,\frac{1}{\mathrm{tg}\, x}\cdot\frac{1}{\cos^2 x}\\
&\!\!\! =&\!\!\! \displaystyle \cos x\log\mathrm{tg}\,x+\frac{1}{\cos x}\; .
\end{array}\, [/math]
Z porównania powyższych wzorów otrzymujemy:
[math]
f'(x)=(\mathrm{tg}\, x)^{\sin x}\left(\cos x\log\mathrm{tg}\,x+\frac{1}{\cos x}\right)\; .
\, [/math]
Zadanie 2
Znaleźć pochodną funkcji:
[math]
f(x)=\log_{\sin x}\cos x\; ,
\, [/math]
gdzie [math]\displaystyle x\in \left]0,\frac{\pi}{2}\right[\, [/math].
Wskazówka
Należy wykorzystać wzór na zamianę podstawy logarytmu.
Rozwiązanie
Aby oddzielić zależność funkcji od [math]x\, [/math] w podstawie logarytmu od zależności w argumencie, wykorzystamy wzór:
[math]
\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}\; .
\, [/math]
dla [math]a,b,c\gt 0[/math] i [math]a,c\neq 1[/math]. Otrzymujemy:
[math]
f(x)=\frac{\log \cos x}{\log \sin x}\; ,
\, [/math]
więc szukaną pochodną znaleźć możemy wykorzystując znany wzór na różniczkowanie ilorazu:
[math]
f'(x)=\left[\frac{\log \cos x}{\log \sin x}\right]'=-\frac{\mathrm{tg}\, x\,\log\sin x+\mathrm{ctg}\, x\,\log\cos x}{\log^2\sin x}\; .
\, [/math]
Zadanie 3
Znaleźć pochodną funkcji:
[math]
f(x)=e^{\sqrt{1-\mathrm{tg}\, x}}\; ,
\, [/math]
gdzie [math]\displaystyle x\in \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{4}\right[\, [/math].
Wskazówka
Zadanie bardzo łatwe, bez wskazówki.
Rozwiązanie
Aby znaleźć pochodną wystarczy wykorzystać wzór na różniczkowanie funkcji złożonej. Otrzymujemy:
[math]
\begin{array}{ccl}
f'(x)&\!\!\! =&\!\!\! \displaystyle\left[e^{\sqrt{1-\mathrm{tg}\, x}}\right]'=\left[e^u\right]'_u\bigg|_{u=\sqrt{1-\mathrm{tg}\, x}}\cdot \left[\sqrt{1-t}\right]'_t\bigg|_{t=\mathrm{tg}\, x}\cdot \left[\mathrm{tg}\, x\right]'_x\\
&\!\!\! =&\!\!\! \displaystyle-e^{\sqrt{1-\mathrm{tg}\, x}}\,\frac{1}{2\sqrt{1-\mathrm{tg}\, x}\,\cos^2 x}\; .
\end{array}\, [/math]
Zadanie 4
Znaleźć pochodną funkcji:
[math]
f(x)=\log_x\left(\sin^2 x+2^{x^2}\right)\; ,
\, [/math]
gdzie [math]\displaystyle x\in ]0,1[\, [/math].
Wskazówka
Należy wykorzystać wzór na zamianę podstawy logarytmu.
Rozwiązanie
Aby oddzielić zależność funkcji od [math]x\, [/math] w podstawie logarytmu od zależności w argumencie, wykorzystamy wzór (6). Otrzymujemy w ten sposób:
[math]
f(x)=\frac{\log (\sin^2 x+2^{x^2})}{\log x}\; ,
\, [/math]
i szukaną pochodną znaleźć możemy wykorzystując znany wzór na różniczkowanie ilorazu:
[math]
\begin{array}{ccl}
f'(x)&\!\!\!\! =&\!\!\!\! \displaystyle \left[\frac{\log (\sin^2 x+2^{x^2})}{\log x}\right]'=\frac{\frac{\sin 2x+2x\, 2^{x^2}\log 2}{\sin^2x+2^{x^2}}\,\log x-\frac{\log (\sin^2 x+2^{x^2})}{x}}{\log^2 x}\\
&\!\!\!\! =&\!\!\!\! \displaystyle\frac{x(\sin 2x+2x\, 2^{x^2}\log 2)\log x-(\sin^2 x+2^{x^2})\log (\sin^2 x+2^{x^2})}{x(\sin^2 x+2^{x^2})\log^2 x}\; .\end{array}
\, [/math]
