http://brain.fuw.edu.pl/edu/index.php?title=Matematyka_1NI/Obliczanie_pochodnych_z_definicji&feed=atom&action=history
Matematyka 1NI/Obliczanie pochodnych z definicji - Historia wersji
2024-03-28T10:03:59Z
Historia wersji tej strony wiki
MediaWiki 1.34.1
http://brain.fuw.edu.pl/edu/index.php?title=Matematyka_1NI/Obliczanie_pochodnych_z_definicji&diff=1209&oldid=prev
Anula: Utworzono nową stronę "==Obliczanie pochodnych z definicji== <big>'''''Zadanie 1'''''</big> Znaleźć z definicji pochodną funkcji <math>f(x)=\mathrm{ctg}\, x\, </math> w punkcie <math>x_0\..."
2015-05-22T12:30:59Z
<p>Utworzono nową stronę "==Obliczanie pochodnych z definicji== <big>'''''Zadanie 1'''''</big> Znaleźć z definicji pochodną funkcji <math>f(x)=\mathrm{ctg}\, x\, </math> w punkcie <math>x_0\..."</p>
<p><b>Nowa strona</b></p><div>==Obliczanie pochodnych z definicji==<br />
<br />
<big>'''''Zadanie 1'''''</big><br />
<br />
Znaleźć z definicji pochodną funkcji <math>f(x)=\mathrm{ctg}\, x\, </math> w punkcie <math>x_0\neq k\pi\, </math>, gdzie <math>k\in\mathbb{N}\, </math>.<br><br />
<br />
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |<br />
| header = ''Wskazówka'' | content = <br />
Zadanie bardzo proste, bez wskazówki.<br />
<br>}}<br />
----<br />
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |<br />
| header = ''Rozwiązanie'' | content = <br />
Napiszemy wyrażenie na iloraz różnicowy:<br />
<equation id="eq:pdef1"><br />
<math><br />
\begin{array}{ccl}<br />
\displaystyle \frac{f(x_0+\bigtriangleup x)-f(x_0)}{\bigtriangleup x}<br />
&\!\!\!\! =&\!\!\!\! \displaystyle \frac{\mathrm{ctg}(x_0+\bigtriangleup x)-\mathrm{ctg}\, x_0}{\bigtriangleup x}\\<br />
&\!\!\!\! =&\!\!\!\! \displaystyle \frac{\cos(x_0+\bigtriangleup x)\sin x_0 -\sin(x_0+\bigtriangleup x)\cos x_0}{\bigtriangleup x \sin x_0 \sin(x_0+\bigtriangleup x)}\; .\end{array}<br />
\, </math></equation><br />
Korzystając ze wzorów na sinus i cosinus sumy kątów oraz ze znanych granic:<br />
<equation id="eq:pdef1a"><br />
<math><br />
\begin{array}{ccl}<br />
\displaystyle \lim_{\bigtriangleup x\rightarrow 0}\frac{\sin \bigtriangleup x}{\bigtriangleup x}&\!\!\! =&\!\!\! 1\; ,\\<br />
\displaystyle \lim_{\bigtriangleup x\rightarrow 0}\sin (x_0+\bigtriangleup x)&\!\!\! =&\!\!\! \displaystyle \sin x_0\; ,<br />
\end{array}\,</math></equation><br />
przy czym ta druga wynika z ciągłości funkcji sinus, możemy napisać:<br />
<equation id="eq:pdef1b"><br />
<math><br />
\begin{array}{ccl}<br />
f'(x_0)&\!\!\! =&\!\!\! \displaystyle \lim_{\bigtriangleup x\rightarrow 0}\frac{f(x_0+\bigtriangleup x)-f(x_0)}{\bigtriangleup x}\\<br />
&\!\!\! =&\!\!\! \displaystyle \lim_{\bigtriangleup x\rightarrow 0}\frac{(\cos x_0\cos\bigtriangleup x-\sin x_0\sin\bigtriangleup x)\sin x_0 -(\sin x_0\cos\bigtriangleup x+\cos x_0\sin\bigtriangleup x)\cos x_0}{\bigtriangleup x \sin x_0 \sin(x_0+\bigtriangleup x)}\\<br />
&\!\!\! =&\!\!\! \displaystyle <br />
-\lim_{\bigtriangleup x\rightarrow 0}\frac{\sin \bigtriangleup x}{\bigtriangleup x}\cdot\frac{\sin^2 x_0 +\cos^2 x_0}{\sin x_0 \sin(x_0+\bigtriangleup x)}=-\frac{1}{\sin^2 x_0}\; .<br />
\end{array}\,</math></equation><br />
<br>}}<br />
----<br />
<big>'''''Zadanie 2'''''</big><br />
<br />
Znaleźć z definicji pochodną funkcji <math>f(x)=\mathrm{cosh}\, x\, </math> w punkcie <math>x_0\in\mathbb{R}\, </math>.<br><br />
<br />
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |<br />
| header = ''Wskazówka'' | content = <br />
Zadanie bardzo proste, bez wskazówki.<br />
<br>}}<br />
----<br />
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |<br />
| header = ''Rozwiązanie'' | content = <br />
Iloraz różnicowy ma postać:<br />
<equation id="eq:pdef2"><br />
<math><br />
\begin{array}{ccl}<br />
\displaystyle \frac{f(x_0+\bigtriangleup x)-f(x_0)}{\bigtriangleup x}&\!\!\! =&\!\!\! \displaystyle \frac{\mathrm{cosh}(x_0+\bigtriangleup x)-\mathrm{cosh}\, x_0}{\bigtriangleup x}=\frac{1}{2}\cdot\frac{e^{x_0+\bigtriangleup x}+e^{-x_0-\bigtriangleup x}-e^{x_0}-e^{-x_0}}{\bigtriangleup x }\\<br />
&\!\!\! =&\!\!\! \displaystyle \frac{1}{2}\,e^{x_0}\frac{e^{\bigtriangleup x}-1}{\bigtriangleup x}-\frac{1}{2}\,e^{-x_0-\bigtriangleup x}\frac{e^{\bigtriangleup x}-1}{\bigtriangleup x}\; .<br />
\end{array}\,</math></equation><br />
Jak wiadomo<br />
<equation id="eq:pdef2a"><br />
<math><br />
\lim_{\bigtriangleup x\rightarrow 0}\frac{e^{\bigtriangleup x}-1}{\bigtriangleup x}=1\; ,<br />
\, </math></equation><br />
więc<br />
<equation id="eq:pdef2b"><br />
<math><br />
f'(x_0)=\lim_{\bigtriangleup x\rightarrow 0}\frac{f(x_0+\bigtriangleup x)-f(x_0)}{\bigtriangleup x}=\frac{1}{2}\,e^{x_0}-\frac{1}{2}\,e^{-x_0}=\mathrm{sinh}\, x_0 \; .<br />
\, </math></equation><br />
<br>}}<br />
----<br />
<big>'''''Zadanie 3'''''</big><br />
<br />
Znaleźć z definicji pochodną funkcji <math>f(x)=\mathrm{arctg}\, x\, </math> w punkcie <math>x_0\in\mathbb{R}\, </math>.<br><br />
<br />
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |<br />
| header = ''Wskazówka'' | content = <br />
Należy skorzystać ze wzoru:<br />
<equation id="eq:pdef3"><br />
<math><br />
\mathrm{arctg}\, a-\mathrm{arctg}\, b=\mathrm{arctg}\frac{a-b}{1+ab}\; ,<br />
\, </math></equation><br />
który słuszny jest dla rzeczywistych <math>a\, </math> i <math>b\, </math>, dla których <math>ab>-1\, </math>.<br />
<br>}}<br />
----<br />
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |<br />
| header = ''Rozwiązanie'' | content = <br />
Wyrażenie na iloraz różnicowy ma postać:<br />
<equation id="eq:pdef3a"><br />
<math><br />
\frac{f(x_0+\bigtriangleup x)-f(x_0)}{\bigtriangleup x}=\frac{\mathrm{arctg}(x_0+\bigtriangleup x)-\mathrm{arctg}\, x_0}{\bigtriangleup x}=\frac{\mathrm{arctg}\frac{\bigtriangleup x}{1+x_0(x_0+\bigtriangleup x)}}{\bigtriangleup x}\; ,<br />
\, </math></equation><br />
gdzie wykorzystaliśmy wzór podany we wskazówce:<br />
<equation id="eq:pdef3b"><br />
<math><br />
\mathrm{arctg}\, a-\mathrm{arctg}\, b=\mathrm{arctg}\frac{a-b}{1+ab}\; ,<br />
\, </math></equation><br />
który obowiązuje dla rzeczywistych <math>a\, </math> i <math>b\, </math>, spełniających <math>ab>-1\, </math>. W naszym przypadku <math>a=x_0+\bigtriangleup x\, </math>, a <math>b=x_0\, </math>, więc (dla małego <math>\bigtriangleup x\, </math>) warunek ten jest spełniony. Jak wiadomo:<br />
<equation id="eq:pdef3c"><br />
<math><br />
\lim_{t\rightarrow 0}\frac{\mathrm{arctg}\, t}{t}=1\; ,<br />
\, </math></equation><br />
więc otrzymujemy:<br />
<equation id="eq:pdef3d"><br />
<math><br />
\begin{array}{ccl}<br />
f'(x_0)=\displaystyle \lim_{\bigtriangleup x \rightarrow 0}\frac{\mathrm{arctg}\frac{\bigtriangleup x}{1+x_0(x_0+\bigtriangleup x)}}{\frac{\bigtriangleup x}{1+x_0(x_0+\bigtriangleup x)}}\cdot \frac{1}{1+x_0(x_0+\bigtriangleup x)}=\frac{1}{1+x_0^2} \; .<br />
\end{array}\, </math></equation><br />
Aby wykorzystać <xr id="eq:pdef3c">(%i)</xr> zastosowaliśmy powyżej podstawienie <math>\displaystyle t=\frac{\bigtriangleup x}{1+x_0(x_0+\bigtriangleup x)}\, </math>.<br />
<br>}}<br />
----<br />
<big>'''''Zadanie 4'''''</big><br />
<br />
Znaleźć z definicji pochodną funkcji <math>f(x)=\sqrt{x}\, </math> w punkcie <math>x_0>0\, </math>.<br><br />
<br />
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |<br />
| header = ''Wskazówka'' | content = <br />
Zadanie bardzo proste, bez wskazówki.<br />
<br>}}<br />
----<br />
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |<br />
| header = ''Rozwiązanie'' | content = <br />
Jak zwykle napiszemy wyrażenie na iloraz różnicowy:<br />
<equation id="eq:pdef4"><br />
<math><br />
\begin{array}{ccl}<br />
\displaystyle \frac{f(x_0+\bigtriangleup x)-f(x_0)}{\bigtriangleup x}&\!\!\! =&\!\!\! \displaystyle \frac{\sqrt{x_0+\bigtriangleup x}-\sqrt{x_0}}{\bigtriangleup x}\\<br />
&\!\!\! =&\!\!\! \displaystyle \frac{x_0+\bigtriangleup x-x_0}{\bigtriangleup x\,(\sqrt{x_0+\bigtriangleup x}+\sqrt{x_0})}=\frac{1}{\sqrt{x_0+\bigtriangleup x}+\sqrt{x_0}}\; .<br />
\end{array}\, </math></equation><br />
Przechodząc z <math>\bigtriangleup x\, </math> do zera otrzymujemy:<br />
<equation id="eq:pdef4a"><br />
<math><br />
f'(x_0)=\frac{1}{2\sqrt{x_0}} \; .<br />
\, </math></equation><br />
<br>}}<br />
----<br />
<big>'''''Zadanie 5'''''</big><br />
<br />
Znaleźć z definicji pochodną funkcji <math>f(x)=\sqrt[k]{x}\,</math> w punkcie <math>x_0>0\, </math> dla <math>k\in \mathbb{N}\, </math> i <math>k\geq 2\, </math>.<br><br />
<br />
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |<br />
| header = ''Wskazówka'' | content = <br />
Należy skorzystać ze wzoru:<br />
<equation id="eq:pdef5"><br />
<math><br />
a^k-b^k=(a-b)(a^{k-1}+a^{k-2}b+\ldots +a b^{k-2}+b^{k-1})\; .<br />
\, </math></equation><br />
<br>}}<br />
----<br />
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |<br />
| header = ''Rozwiązanie'' | content = <br />
Wyrażenie na iloraz różnicowy ma teraz postać:<br />
<equation id="eq:pdef5a"><br />
<math><br />
\frac{f(x_0+\bigtriangleup x)-f(x_0)}{\bigtriangleup x}= \frac{\sqrt[k]{x_0+\bigtriangleup x}-\sqrt[k]{x_0}}{\bigtriangleup x}\; .<br />
\, </math></equation><br />
Aby pozbyć się różnicy pierwiastków z licznika wykorzystamy podany we wskazówce wzór:<br />
<equation id="eq:pdef5b"><br />
<math><br />
a^k-b^k=(a-b)(a^{k-1}+a^{k-2}b+\ldots +a b^{k-2}+b^{k-1})\; ,<br />
\, </math></equation><br />
przyjmując: <math>\displaystyle a=\sqrt[k]{x_0+\bigtriangleup x}\, </math> oraz <math>\displaystyle b=\sqrt[k]{x_0}\, </math>. Otrzymujemy:<br />
<equation id="eq:pdef5c"><br />
<math><br />
\begin{array}{ccl}<br />
\displaystyle \frac{f(x_0+\bigtriangleup x)-f(x_0)}{\bigtriangleup x}&\!\!\! = &\!\!\! \displaystyle \frac{x_0+\bigtriangleup x-x_0}{\bigtriangleup x\,(\sqrt[k]{(x_0+\bigtriangleup x)^{k-1}}+\sqrt[k]{(x_0+\bigtriangleup x)^{k-2}x_0}+\ldots +\sqrt[k]{x_0^{k-1}})}\\<br />
&\!\!\! = &\!\!\! \displaystyle \frac{1}{\sqrt[k]{(x_0+\bigtriangleup x)^{k-1}}+\sqrt[k]{(x_0+\bigtriangleup x)^{k-2}x_0}+\ldots +\sqrt[k]{x_0^{k-1}}}\; .<br />
\end{array}\, </math></equation><br />
Przechodząc z <math>\bigtriangleup x\, </math> do zera mamy:<br />
<equation id="eq:pdef5d"><br />
<math><br />
f'(x_0)=\frac{1}{k\sqrt[k]{x_0^{k-1}}} \; .<br />
\, </math></equation><br />
<br>}}<br />
----<br />
<big>'''''Zadanie 6'''''</big><br />
<br />
Znaleźć z definicji pochodną funkcji <math>\displaystyle f(x)=\frac{1}{x+x^2}\, </math> w punkcie <math>x_0>0\, </math>.<br><br />
<br />
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |<br />
| header = ''Wskazówka'' | content = <br />
Zadanie bardzo proste, bez wskazówki.<br />
<br>}}<br />
----<br />
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |<br />
| header = ''Rozwiązanie'' | content = <br />
Jak zwykle rozpoczynamy od napisania ilorazu różnicowego:<br />
<equation id="eq:pdef6"><br />
<math><br />
\begin{array}{ccl}<br />
\displaystyle \frac{f(x_0+\bigtriangleup x)-f(x_0)}{\bigtriangleup x}&\!\!\! = &\!\!\! \displaystyle \frac{1}{\bigtriangleup x}\left[\frac{1}{(x_0+\bigtriangleup x)(1+x_0+\bigtriangleup x)}-\frac{1}{x_0(1+x_0)}\right]\\<br />
&\!\!\! = &\!\!\! \displaystyle \frac{x_0(1+x_0)-(x_0+\bigtriangleup x)(1+x_0+\bigtriangleup x)}{\bigtriangleup x(x_0+\bigtriangleup x)(1+x_0+\bigtriangleup x)x_0(1+x_0)}\; .<br />
\end{array}\, </math></equation><br />
Po uproszczeniu otrzymujemy:<br />
<equation id="eq:pdef6a"><br />
<math><br />
\frac{f(x_0+\bigtriangleup x)-f(x_0)}{\bigtriangleup x}=-\frac{1+2x_0+\bigtriangleup x}{(x_0+\bigtriangleup x)(1+x_0+\bigtriangleup x)x_0(1+x_0)}\underset{\bigtriangleup x\rightarrow 0}{\longrightarrow}-\frac{1+2x_0}{x_0^2(1+x_0)^2}\; ,<br />
\, </math></equation><br />
i taka jest też wartość pochodnej.<br />
<br>}}<br />
----<br />
<big>'''''Zadanie 7'''''</big><br />
<br />
Znaleźć z definicji pochodną funkcji <math>f(x)=x\sin x\, </math> w punkcie <math>x_0\in\mathbb{R}\, </math>.<br><br />
<br />
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |<br />
| header = ''Wskazówka'' | content = <br />
Zadanie bardzo proste, bez wskazówki.<br />
<br>}}<br />
----<br />
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |<br />
| header = ''Rozwiązanie'' | content = <br />
Iloraz różnicowy ma tym razem postać:<br />
<equation id="eq:pdef7"><br />
<math><br />
\begin{array}{ccl}<br />
\displaystyle \frac{f(x_0+\bigtriangleup x)-f(x_0)}{\bigtriangleup x}&\!\!\! =&\!\!\! \displaystyle \frac{(x_0+\bigtriangleup x)\sin(x_0+\bigtriangleup x)-x_0\sin x_0}{\bigtriangleup x}\\<br />
&\!\!\! =&\!\!\! \displaystyle x_0\,\frac{\sin(x_0+\bigtriangleup x)-\sin x_0}{\bigtriangleup x}+\sin(x_0+\bigtriangleup x)\; .<br />
\end{array}\, </math></equation><br />
Wykorzystamy teraz wzór:<br />
<equation id="eq:pdef7a"><br />
<math><br />
\sin\alpha-\sin\beta=2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\; ,<br />
\, </math></equation><br />
który pozwoli nam przepisać <xr id="eq:pdef7">(%i)</xr> w postaci:<br />
<equation id="eq:pdef7b"><br />
<math><br />
\frac{f(x_0+\bigtriangleup x)-f(x_0)}{\bigtriangleup x}=2x_0\cos\left(x_0+\frac{\bigtriangleup x}{2}\right)\frac{\sin\frac{\bigtriangleup x}{2}}{\bigtriangleup x}+\sin(x_0+\bigtriangleup x)\; .<br />
\, </math></equation><br />
Korzystając z ciągłości funkcji trygonometrycznych oraz z wartości granicy:<br />
<equation id="eq:pdef7c"><br />
<math><br />
\lim_{t\rightarrow 0}\frac{\sin a t}{t}=a\; ,<br />
\, </math></equation><br />
otrzymujemy:<br />
<equation id="eq:pdef7d"><br />
<math><br />
f'(x_0)=x_0\cos x_0+\sin x_0\; .<br />
\, </math></equation><br />
<br>}}<br />
----</div>
Anula