Matematyka 1NI/Szeregi liczbowe

Z Brain-wiki
Wersja z dnia 12:44, 22 maj 2015 autorstwa Anula (dyskusja | edycje) (Utworzono nową stronę "==Wstęp== <big>''''' Przykład '''''</big> (O tym że grupowanie wyrazów to delikatna materia a raczej o tym, że trzeba sprecyzować o czym mówimy pisząc <math>a_0...")
(różn.) ← poprzednia wersja | przejdź do aktualnej wersji (różn.) | następna wersja → (różn.)

Wstęp

Przykład (O tym że grupowanie wyrazów to delikatna materia a raczej o tym, że trzeba sprecyzować o czym mówimy pisząc [math]a_0+a_1+\cdots[/math])

[math]\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n[/math],

[math](1-1)+(1-1)+\cdots=0 ?[/math]

[math]1+(-1+1)+(-1+1)+\cdots=1 ?[/math]


Definicja szeregu, zbieżności (rozbieżności) szeregu, sumy szeregu

Niech dany jest ciąg [math]n \mapsto a_n[/math]. Szeregiem o wyrazach [math]a_n[/math] nazywamy ciąg [math]n \mapsto S_n=\sum_{k=0}^{n} a_k[/math]. [math]S_n[/math] nazywamy sumą częściową szeregu. Szereg nazywamy zbieżnym gdy ciąg [math]S_n[/math] ma skończoną granicę (granicę tę nazywamy sumą szeregu). W przeciwnym wypadku szereg nazywamy rozbieżnym.


Fakt

Szereg powstający z pogrupowania wyrazów wyjściowego szeregu zbieżnego ma tę samą sumę co szereg wyjściowy bo jest podciągiem ciągu wyjściowego (szeregu wyjściowego rozumianego jako ciąg). Dla szeregów o wyrazach dodatnich fakt ten można rozciągnąć na szeregi rozbieżne do [math]\infty[/math].


Zadanie 1 (Warunek konieczny zbieżności szeregu)

Zbadaj zbieżność szeregów [math]\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{3-2n}{3+2n}\right)^n[/math], [math]\sum_{n=1}^{\infty} \sqrt[n]{\frac{1}{n}}[/math].




Zadanie 2 (suma resorująca)

Zbadaj zbieżność szeregów ewentualnie oblicz ich sumę

[math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{5}{7n+7n^2}[/math],

[math]\sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)[/math].




Zadanie 3 (sumy częściowe szeregu geometrycznego, suma szeregu geometrycznego, dodawanie szeregów, mnożenie przez stałą)

Znaleźć sumę szeregu [math]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4 \pi^n+e^n}{4^n}[/math]




Zadanie 4

Zbadaj zbieżność szeregu, w zależności od parametru [math]q[/math], oblicz jego sumę [math]\sum_{k=0}^{\infty} (k+1) q^k[/math].





Zadanie 5 (Permutacja wyrazów szeregu to delikatna sprawa)


Wiedząc że [math]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}=\log 2[/math] znajdź sumę szeregu, którego sumy częściowe to [math]T_1=1[/math], [math]T_2=1+\frac{1}{3}[/math], [math]T_3=1+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}[/math] [math]T_4=1+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{5}[/math], [math]T_5=1+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}[/math], [math]T_6=1+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{4}[/math] etc.





Fakt

Suma szeregów bezwzględnie zbieżnych nie zmienia się gdy poprzestawiamy jego wyrazy.


Szeregi o wyrazach dodatnich, zbieżność bezwzględna a zbieżność

Fakt

Szereg harmoniczny p-tego rzędu [math]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}[/math].

[math]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}[/math] jest zbieżny wtedy i tylko wtedy gdy [math]p\gt 1[/math].

Zadanie 6 (kryterium Cauchy o zagęszczaniu) [math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n \ln n}[/math]




Zadanie 7 (kryterium porównawcze, kryterium porównawcze ilorazowe)

Zbadaj zbieżność poniższych szeregów

a) [math]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2+n+1}{n^4+n^2+1}, [/math]

b) [math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}}[/math],

c) [math] \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[n]{(n+1)(n+2)\cdots 2n}}, [/math]

d) [math] \sum_{n=1}^{\infty} \left[\frac{1}{n}- \log (1+\frac{1}{n}) \right][/math]

e) [math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{n^3}[/math],

f) [math]\sum_{n=1}^{\infty}2^n\sin\frac{\pi}{3^n}[/math],

g) [math]\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{n-1}{n+1}\right)^{n(n-1)}[/math],

h) [math]\sum_{n=1}^{\infty} \left(1- \sqrt[n]{\frac{n-1}{n}} \right)[/math].




Zadanie 8 (kryterium d'Alemberta, Cauchy'ego)

Zbadaj zbieżność szeregów

a) [math]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)!}{(n!)^2}, [/math]

b) [math]\sum_{k=1}^{\infty} \left( \begin{matrix} 2k \\ k\end{matrix}\right)5^{-k},[/math]

c) [math]\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{n-1}{n+1}\right)^{n(n-1)}[/math]

d) [math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n n!}{n^n}[/math]

e) [math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(\operatorname{arctg} n)^n}{2^n}[/math],

f) [math]\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2n+\sqrt{n}}{8n+1}\right)^{\frac{n}{2}}[/math],

g) [math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n^2+n+1)7^n}{2^{n+1} 3^{n-1}}[/math].






Przypomnienie

Związek między kryterium d'Alemberta i kryterium Cauchy'ego. [math]\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=g \Rightarrow \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_n}=g[/math].


Zadanie 9 (Zbieżność bezwzględna a zbieżność)

Zbadaj zbieżność szeregu

[math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin 3^n}{3^n}[/math],





Szeregi naprzemienne

Zadanie 10 (Kryterium Leibnitza)

Zbadaj zbieżność szeregów

a) [math] \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{\sqrt[4]{|n -\frac{2011}{2}|}} [/math]

b) [math]\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{\ln n}{n}[/math].





Zadanie 11

Zbadaj zbieżność szeregu

[math] \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n\frac{2009+(-1)^n}{n}[/math].