Matematyka 1NI/Wielomiany i funkcje wymierne część I

Z Brain-wiki

Zadanie 1

Dane są wielomiany [math] w_1(x)=x+7 [/math], [math] w_2(x)=x^2+7 [/math] i [math] w_3(x)=7x^2+7x [/math]. Znajdź wielomian [math] w_4(x) = w_1(x)*w_2(x)-w_3(x)[/math]




Zadanie 2

Podziel (z resztą) wielomian [math] w(x)=x^4-3 x^3+1 [/math] przez wielomian [math] v(x)=x^3+2 [/math].




Zadanie 3

Znajdź resztę z dzielenia wielomianu [math] w(x)=x^{1000}+1 [/math] przez wielomian [math] v(x)=(x-1)(x-2)[/math].




Zadanie 4

Znajdź resztę z dzielenia wielomianu [math] w(x)=x^{1000}+x^6+1 [/math] przez wielomian [math] v(x)=x^2+1[/math].




Zadanie 5

Podziel (z resztą) wielomian [math] w(x)=x^n-a^n [/math] przez wielomian [math] v(x)=x-a[/math].




Zadanie 6

Sprowadź trójmian kwadratowy do postaci kanonicznej.




Zadanie 7

Rozwiąż równanie [math] (x+1)^2-9=0[/math]




Zadanie 8

Znajdź środek symetrii wykresu funkcji [math] y=ax^3+bx^2+cx+d[/math]




Zadanie 9

Dla jakich wartości parametru [math]a[/math] równanie kwadratowe (na [math]x[/math]) [math]2x^2+a x+\frac{1}{4} a^2-a=0[/math] ma dwa (różne) pierwiastki ujemne.




Zadanie 10

Wielomian [math]w(x)=4x^4-4x^3-13x^2 +12 x+3[/math] ma cztery pierwiastki rzeczywiste [math] x_1, \,[/math] [math]x_2,\,[/math] [math] x_3[/math] i [math]x_4[/math]. Znajdź wartości następujących wyrażeń:

a) [math]x_1+x_2+x_3+x_4,\, [/math] b) [math]x_1x_2x_3x_4,\, [/math] c) [math]x_1x_2 +x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4[/math].




Zadanie 11

Znajdź wszystkie rozwiązania całkowite równania.

[math]\displaystyle x^4+3x^3-\frac{7}{2}x^2+\frac{3}{2} x-2=0[/math].





Zadanie 12

Znajdź wszystkie rozwiązania wymierne równania

[math]\displaystyle x^3+\frac{7}{4}x^2-\frac{5}{8}x-\frac{1}{4} =0[/math].





Zadanie 13

Dla funkcji [math]f(x)=x^2+k x+k^2-k[/math] znaleźć zbiór wartości [math]k[/math], dla którego [math]\forall x\in\mathbb{R} \, : \,f(x)\gt 0[/math].





Zadanie 14

Rozwiąż nierówność

[math]\displaystyle \frac{(x-1)^5(x^2-x+1)(x^2-2)(x+1)^6}{x^2-2x-1} \geq 0[/math].





Zadanie 15

Rozwiąż nierówność [math]x^6+x^3-2\gt 0[/math].