Matematyka 1NI/Wzór Taylora

Z Brain-wiki
Wersja z dnia 12:43, 22 maj 2015 autorstwa Anula (dyskusja | edycje) (Utworzono nową stronę "==Wzór Taylora== <big>'''''Zadanie 1'''''</big> Napisać wzór Taylora-Maclaurina dla funkcji <math>\displaystyle f(x)=(1+x)^{\frac{1}{3}}\, </math> do rzędu <math>n...")
(różn.) ← poprzednia wersja | przejdź do aktualnej wersji (różn.) | następna wersja → (różn.)

Wzór Taylora

Zadanie 1

Napisać wzór Taylora-Maclaurina dla funkcji [math]\displaystyle f(x)=(1+x)^{\frac{1}{3}}\, [/math] do rzędu [math]n\, [/math] z resztą w postaci Lagrange'a.



Zadanie 2

Wyprowadzić wzór Taylora-Maclaurina dla funkcji [math]\displaystyle f(x)=\mathrm{arsinh}\,x\, [/math] do rzędu [math]k=2n+1\, [/math] z resztą w postaci Peano.



Zadanie 3

Znaleźć rozwinięcie funkcji [math]f(x)=\log\cos x\, [/math] w szereg Taylora wokół punktu [math]x_0=0\, [/math] do wyrazów czwartego rzędu włącznie, z resztą w postaci Peano.



Zadanie 4

Znaleźć rozwinięcie funkcji [math]\displaystyle f(x)=\cos (e^x-1)\, [/math] w szereg Taylora wokół punktu [math]x_0=0\, [/math] do wyrazów piątego rzędu włącznie, z resztą w postaci Peano.



Zadanie 5

Znaleźć rozwinięcie funkcji [math]\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+\sin x}\, [/math] w szereg Taylora wokół punktu [math]x_0=0\, [/math] do wyrazów trzeciego rzędu włącznie, z resztą w postaci Peano.



Zadanie 6

Znaleźć rozwinięcie funkcji [math]\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+\sin x}\, [/math] w szereg Taylora wokół punktu [math]\displaystyle x_0=\frac{\pi}{2}\, [/math] do wyrazów trzeciego rzędu włącznie, z resztą w postaci Peano.



Zadanie 7

Wykorzystując wzór Taylora, znaleźć granicę:

[math] \lim_{x\rightarrow 0}x\,\frac{\cos x-\cosh x}{\sin x-\sinh x} \, [/math]




Zadanie 8

Wykorzystując wzór Taylora, znaleźć granicę:

[math] \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\mathrm{tg}\, x-x}{\sin^3 x} \, [/math]




Zadanie 9

Wykorzystując wzór Taylora, znaleźć granicę:

[math] \lim_{x\rightarrow 1}\frac{\log x+\log^2x-x+1}{\cos^2\frac{x\pi}{2}}\; . \, [/math]




Zadanie 10

Wykorzystując wzór Taylora dla funkcji logarytm oszacować wartość [math]\log 2\, [/math], uwzględniając wyrazy do piątego rzędu włącznie oraz znaleźć błąd jaki przy tym popełniamy. Zbadać, ile wyrazów rozwinięcia musielibyśmy uwzględnić, aby popełniany błąd był mniejszy niż [math]10^{-6}\, [/math].