http://brain.fuw.edu.pl/edu/index.php?title=Matematyka_1_OO/Dodawanie_wektor%C3%B3w_i_rozk%C5%82ad_wektor%C3%B3w&feed=atom&action=history
Matematyka 1 OO/Dodawanie wektorów i rozkład wektorów - Historia wersji
2024-03-29T11:26:22Z
Historia wersji tej strony wiki
MediaWiki 1.34.1
http://brain.fuw.edu.pl/edu/index.php?title=Matematyka_1_OO/Dodawanie_wektor%C3%B3w_i_rozk%C5%82ad_wektor%C3%B3w&diff=1612&oldid=prev
Anula o 20:07, 22 maj 2015
2015-05-22T20:07:39Z
<p></p>
<table class="diff diff-contentalign-left" data-mw="interface">
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<tr class="diff-title" lang="pl">
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #222; text-align: center;">← poprzednia wersja</td>
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #222; text-align: center;">Wersja z 20:07, 22 maj 2015</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l104" >Linia 104:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Linia 104:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div></math></div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div></math></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>[[File:<del class="diffchange diffchange-inline">MatematykaOptykaOkularowa_cwicz_sem1_picture_2</del>.<del class="diffchange diffchange-inline">svg</del>]]</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>[[File:<ins class="diffchange diffchange-inline">MO2</ins>.<ins class="diffchange diffchange-inline">png</ins>]]</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Przykład</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Przykład</div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l303" >Linia 303:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Linia 303:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><math>|\vec{v}_1|</math>, <math>|\vec{v}_2|</math> i <math>\vec{v}_2\cdot \vec{v}_1</math>.</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><math>|\vec{v}_1|</math>, <math>|\vec{v}_2|</math> i <math>\vec{v}_2\cdot \vec{v}_1</math>.</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>[[File:MO4.<del class="diffchange diffchange-inline">svg</del>]]</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>[[File:MO4.<ins class="diffchange diffchange-inline">png</ins>]]</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><math>\begin{matrix}</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><math>\begin{matrix}</div></td></tr>
</table>
Anula
http://brain.fuw.edu.pl/edu/index.php?title=Matematyka_1_OO/Dodawanie_wektor%C3%B3w_i_rozk%C5%82ad_wektor%C3%B3w&diff=1611&oldid=prev
Anula o 20:06, 22 maj 2015
2015-05-22T20:06:38Z
<p></p>
<table class="diff diff-contentalign-left" data-mw="interface">
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<tr class="diff-title" lang="pl">
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #222; text-align: center;">← poprzednia wersja</td>
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #222; text-align: center;">Wersja z 20:06, 22 maj 2015</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l293" >Linia 293:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Linia 293:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Ten wynik należy zilustrować odpowiednim, w miarę dokładnym, rysunkiem.</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Ten wynik należy zilustrować odpowiednim, w miarę dokładnym, rysunkiem.</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>[[File:MO3.<del class="diffchange diffchange-inline">svg</del>]]</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>[[File:MO3.<ins class="diffchange diffchange-inline">png</ins>]]</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>==Zadanie==</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>==Zadanie==</div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l303" >Linia 303:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Linia 303:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><math>|\vec{v}_1|</math>, <math>|\vec{v}_2|</math> i <math>\vec{v}_2\cdot \vec{v}_1</math>.</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><math>|\vec{v}_1|</math>, <math>|\vec{v}_2|</math> i <math>\vec{v}_2\cdot \vec{v}_1</math>.</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>[[File:<del class="diffchange diffchange-inline">MatematykaOptykaOkularowa_cwicz_sem1_picture_4</del>.svg]]</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>[[File:<ins class="diffchange diffchange-inline">MO4</ins>.svg]]</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><math>\begin{matrix}</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><math>\begin{matrix}</div></td></tr>
</table>
Anula
http://brain.fuw.edu.pl/edu/index.php?title=Matematyka_1_OO/Dodawanie_wektor%C3%B3w_i_rozk%C5%82ad_wektor%C3%B3w&diff=1606&oldid=prev
Anula o 20:02, 22 maj 2015
2015-05-22T20:02:21Z
<p></p>
<table class="diff diff-contentalign-left" data-mw="interface">
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<tr class="diff-title" lang="pl">
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #222; text-align: center;">← poprzednia wersja</td>
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #222; text-align: center;">Wersja z 20:02, 22 maj 2015</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l293" >Linia 293:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Linia 293:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Ten wynik należy zilustrować odpowiednim, w miarę dokładnym, rysunkiem.</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Ten wynik należy zilustrować odpowiednim, w miarę dokładnym, rysunkiem.</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>[[File:<del class="diffchange diffchange-inline">MatematykaOptykaOkularowa_cwicz_sem1_picture_3</del>.svg]]</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>[[File:<ins class="diffchange diffchange-inline">MO3</ins>.svg]]</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>==Zadanie==</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>==Zadanie==</div></td></tr>
</table>
Anula
http://brain.fuw.edu.pl/edu/index.php?title=Matematyka_1_OO/Dodawanie_wektor%C3%B3w_i_rozk%C5%82ad_wektor%C3%B3w&diff=1266&oldid=prev
Anula: Utworzono nową stronę "Notacja: Punkty: <math>A=(A_1,A_2)</math>, <math>B=(B_1,B_2)</math> Wektory (“różnice punktów”): <math>\overrightarrow{AB}=[B_1-A_1,B_2-A_2]</math> __NOTOC__..."
2015-05-22T13:02:29Z
<p>Utworzono nową stronę "Notacja: Punkty: <math>A=(A_1,A_2)</math>, <math>B=(B_1,B_2)</math> Wektory (“różnice punktów”): <math>\overrightarrow{AB}=[B_1-A_1,B_2-A_2]</math> __NOTOC__..."</p>
<p><b>Nowa strona</b></p><div>Notacja:<br />
<br />
Punkty: <math>A=(A_1,A_2)</math>, <math>B=(B_1,B_2)</math><br />
<br />
Wektory (“różnice punktów”): <math>\overrightarrow{AB}=[B_1-A_1,B_2-A_2]</math><br />
<br />
__NOTOC__<br />
<br />
==Zadanie==<br />
<br />
Znaleźć sumę wektorów <math>\vec{w}_A=[2,3]</math> i <math>\vec{w}_B=[5,-2]</math><br />
<br />
Prosimy studentów o narysowanie układu współrzędnych,<br />
zaznaczenie punktów <math>O=(0,0)</math>, <math>A=(2,3)</math> i <math>B=(5,-2)</math> i<br />
narysowanie wektorów <math>\vec{w}_A</math> i <math>\vec{w}_B</math>.<br />
Następnie powinni narysować (liniami przerywanymi) dwie proste:<br />
<br />
* prostą równoległą do <math>OA</math> przechodzącą przez punkt <math>B</math><br />
oraz<br />
* prostą równoległą do <math>OB</math> przechodzącą przez punkt <math>A</math>.<br />
<br />
Proste te przecinają się w punkcie <math>C</math> o współrzędnych <math>(x_C,y_C)</math>.<br />
Wektor <math>\vec{w}_C=[x_C,y_C]</math> jest szukaną sumą wektorów<br />
<math>\vec{w}_A</math> i <math>\vec{w}_B</math>.<br />
<br />
Następnie przeprowadzamy obliczenia opisujące powyższą metodę graficzną.<br />
<br />
Znajdujemy równanie prostej <math>OA</math>:<br />
<br />
::<math><br />
y=ax+b:<br />
\qquad \left\lbrace <br />
\begin{array}{l}<br />
0=a_A\cdot 0 + b_A<br />
\\<br />
3=a_A\cdot 2 + b_A<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
\qquad \Rightarrow \qquad \left\lbrace <br />
\begin{array}{l}<br />
b_A=0<br />
\\<br />
a_A=\frac{3}{2}<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
\qquad \Rightarrow \qquad y=\frac{3}{2}x<br />
</math><br />
<br />
Analogicznie znajdujemy równanie prostej <math>OB</math>: <math>y=-\frac{2}{5}x</math><br />
<br />
Prosta <math>BC</math> jest równoległa do <math>OA</math>, więc jej równanie ma postać<br />
<math>y=a_Ax+b_{BC}=\frac{3}{2}x+b_{BC}</math>. Przechodzi ona przez punkt <math>B</math>, więc<br />
spełnione musi być równanie <math>y_B=\frac{3}{2}x_{B}+b_{BC}</math>, z którego<br />
wyznaczmy <math>b_{BC}</math>:<br />
<br />
::<math><br />
b_{BC}=y_B-\frac{3}{2}x_B=-2-\frac{3}{2}\cdot 5=-2-\frac{15}{2}=-\frac{19}{2}<br />
</math><br />
<br />
Prosta <math>BC</math> opisana jest równaniem <math>y=\frac{3}{2}x-\frac{19}{2}</math>.<br />
<br />
Analogicznie znajdujemy równanie prostej <math>AC</math>: <math>y=-\frac{5}{2}x+\frac{19}{5}</math>.<br />
<br />
Znajdujemy współrzędne punktu <math>C</math>, który jest punktem wspólnym prostych<br />
<math>AC</math> i <math>BC</math>:<br />
<br />
::<math><br />
\left\lbrace <br />
\begin{array}{l}<br />
y_C=-\frac{2}{5}x_C+\frac{19}{5}<br />
\\<br />
y_C=\frac{3}{2}x_C-\frac{19}{2}<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
\quad \Rightarrow \quad \frac{3}{2}x_C-\frac{19}{2}=-\frac{2}{5}x_C+\frac{19}{5}<br />
\quad \Rightarrow \quad x_C=\frac{133}{19}=7<br />
</math><br />
<br />
::<math><br />
y_C=\frac{3}{2}x_C-\frac{19}{2}=\frac{21}{2}-\frac{19}{2}=1<br />
</math><br />
<br />
Punkt <math>C</math> ma współrzędne <math>(7,1)</math>, a więc <math>\vec{w}_C=[7,1]</math>.<br />
<br />
Ten sam wynik można uzyskać znacznie szybciej licząc<br />
<br />
::<math><br />
\vec{w}_C=\vec{w}_A+\vec{w}_B<br />
=<br />
[2,3]+[5,-2]=[2+5,3-2]=[7,1]<br />
</math><br />
<br />
Metoda bardziej skomplikowana służy temu, żeby pokazać,<br />
że graficzne dodawanie wektorów jest równoważne metodzie<br />
prostej polegającej na dodawaniu odpowiednich składowych.<br />
<br />
==Zadanie==<br />
<br />
Używając metody graficznej dodawania wektorów, pokazać, że<br />
odejmowanie wektora jest równoważne dodawaniu wektora przeciwnego<br />
<br />
::<math><br />
\vec{w}_A-\vec{w}_B=\vec{w}_A+(-\vec{w}_B)<br />
</math><br />
<br />
[[File:MatematykaOptykaOkularowa_cwicz_sem1_picture_2.svg]]<br />
<br />
Przykład<br />
<math>\vec{w}_A=[2,3]</math>, <math>\vec{w}_B=[4,-1]</math><br />
==Zadanie==<br />
<br />
Rozłożyć wektor <math>\vec{w}=[5,4]</math> w bazie <math>\vec{v}_1=[1,2]</math>, <math>\vec{v}_2=[-3,2]</math>.<br />
<br />
::<math><br />
\vec{w}=a_1\cdot \vec{v}_1 + a_2\cdot \vec{v}_2<br />
</math><br />
<br />
Porównanie dwóch składowych (często oznaczanych jako składowe <math>x</math>-owa<br />
i <math>y</math>-owa) powyższego równania wektorowego daje układ równań<br />
<br />
::<math><br />
\left\lbrace <br />
\begin{array}{l}<br />
5 = a_1\cdot 1 +a_2 \cdot (-3)<br />
\\<br />
4 = a_1\cdot 2 +a_2 \cdot 2<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
</math><br />
<br />
Mnożąc pierwsze z powyższych równań przez 2 i odejmując drugie<br />
równanie otrzymujemy<br />
<br />
::<math><br />
6 = -8a_2<br />
\qquad \Rightarrow \qquad a_2=-\frac{3}{4}<br />
</math><br />
<br />
Podstawienie wyliczonego <math>a_2</math> do drugiego równania daje<br />
<br />
::<math><br />
4=2a_1-\frac{3}{2}<br />
\qquad \Rightarrow \qquad a_1=\frac{11}{4}<br />
</math><br />
<br />
Należy sprawdzić poprawność wyniku licząc odpowiednią kombinację liniową:<br />
<br />
::<math><br />
\frac{11}{4}\vec{v}_1 - \frac{3}{4}\vec{v}_2<br />
=<br />
\frac{11}{4}[1,2] - \frac{3}{4}[-3,2]<br />
=<br />
\left[\frac{11}{4}+\frac{9}{4},\frac{11}{2}-\frac{3}{2}\right]<br />
=<br />
\left[\frac{20}{4},\frac{8}{2}\right]<br />
=<br />
[5,4]<br />
</math><br />
<br />
Powyższe rachunki trzeba zilustrować rysunkami odpowiadającymi<br />
graficznemu dodawaniu wektorów.<br />
<br />
<br />
Warto poprosić studentów o rozłożenie tego samego wektora <math>\vec{w}</math><br />
w dwóch innych “bazach”, np.:<br />
<br />
* <math>\vec{u}_1=[-1,3]</math>, <math>\vec{u}_2=[2,-6]</math><br />
* <math>\vec{u}_1=[0,2]</math>, <math>\vec{u}_2=[-3,1]</math>, <math>\vec{u}_3=[-1,2]</math><br />
<br />
Trzeba wyjaśnić jak brak rozwiązań w przypadku górnym<br />
i nieskończenie wiele rozwiązań w przypadku dolnym<br />
tłumaczy się na przypadek graficznego dodawania wektorów.<br />
<br />
<br />
==Zadanie==<br />
<br />
Wierzchołki trójkąta znajdują się w punktach <math>A=(1,4)</math>,<br />
<math>B=(3,-2)</math>, <math>C=(-2,1)</math>. Znaleźć długości boków, kąty<br />
miedzy bokami i pole powierzchni tego trójkąta.<br />
<br />
<br />
Zaczynamy od wyznaczenia wektorów będących “różnicami”<br />
punktów <math>A</math>, <math>B</math> i <math>C</math>:<br />
<br />
::<math><br />
\overrightarrow{AB}=[2,-6]<br />
\qquad \overrightarrow{BC}=[-5,3]<br />
\qquad \overrightarrow{CA}=[3,3]<br />
</math><br />
<br />
Długości boków trójkąta są równe długościom tych wektorów<br />
<br />
<math>\begin{matrix}<br />
&&{\rm d}(A,B)=\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}<br />
\\<br />
&&{\rm d}(A,C)=\sqrt{3^2+3^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}<br />
\\<br />
&&{\rm d}(B,C)=\sqrt{5^2+3^2}=\sqrt{34}<br />
\end{matrix}</math><br />
<br />
Następnie wyznaczamy cosinusy kątów między bokami trójkąta<br />
<br />
<math>\begin{matrix}<br />
\cos (\alpha _A)<br />
&&\!\!\!\!\!\!\!\!<br />
=<br />
\cos \left(\angle \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\right)<br />
=<br />
\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|}<br />
=<br />
\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \left(-\overrightarrow{CA}\right)}{|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{CA}|}<br />
\\<br />
&&\!\!\!\!\!\!\!\!<br />
=<br />
\frac{2(-3)+(-6)(-3)}{2\sqrt{10}3\sqrt{2}}<br />
=<br />
\frac{12}{6\sqrt{20}}=\frac{1}{\sqrt{5}}<br />
\\[6pt]<br />
\cos (\alpha _B)<br />
&&\!\!\!\!\!\!\!\!<br />
=<br />
\cos \left(\angle \left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)\right)<br />
=<br />
\frac{\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}|\cdot |\overrightarrow{BC}|}<br />
=<br />
\frac{(-\overrightarrow{AB})\cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{BC}|}<br />
\\<br />
&&\!\!\!\!\!\!\!\!<br />
=<br />
\frac{(-2)(-5)+(6)(3)}{2\sqrt{10}\sqrt{34}}<br />
=<br />
\frac{28}{4\sqrt{85}}=\frac{7}{\sqrt{85}}<br />
\\[6pt]<br />
\cos (\alpha _C)<br />
&&\!\!\!\!\!\!\!\!<br />
=<br />
\cos \left(\angle \left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}\right)\right)<br />
=<br />
\frac{\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CA}|\cdot |\overrightarrow{CB}|}<br />
=<br />
\frac{\overrightarrow{CA}\cdot (-\overrightarrow{BC})}{|\overrightarrow{CA}|\cdot |\overrightarrow{BC}|}<br />
\\<br />
&&\!\!\!\!\!\!\!\!<br />
=<br />
\frac{(3)(5)+(3)(-3)}{3\sqrt{2}\sqrt{34}}<br />
=\frac{1}{\sqrt{17}}<br />
\end{matrix}</math><br />
<br />
Pole powierzchni:<br />
<br />
<math>\begin{matrix}<br />
S_{ABC}<br />
&&\!\!\!\!\!\!\!\!<br />
=<br />
\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|\sin (\alpha _A)<br />
=<br />
\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|<br />
\sqrt{1-\left(\cos (\alpha _A)\right)^2}<br />
\\&&\!\!\!\!\!\!\!\!<br />
=<br />
\frac{1}{2}\,2\sqrt{10}\,3\,\sqrt{2}\sqrt{1-\frac{1}{5}}<br />
=<br />
6\sqrt{5}\sqrt{\frac{4}{5}}=12<br />
\end{matrix}</math><br />
<br />
Warto zapytać studentów, który z kątów w tym trójkącie jest największy,<br />
a który najmniejszy.<br />
<br />
::<math><br />
\alpha _A=\arccos \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)<br />
\qquad \alpha _B=\arccos \left(\frac{7}{\sqrt{85}}\right)<br />
\qquad \alpha _C=\arccos \left(\frac{1}{\sqrt{17}}\right)<br />
</math><br />
<br />
Trzeba przypomnieć (wyjaśnić), że wszystkie kąty w każdym trójkącie<br />
spełniają warunek <math>0<\alpha <\pi </math>. W tym przedziale argumentów funkcja<br />
cosinus jest ściśle malejąca. Czyli, większa wartość cosinusa odpowiada<br />
mniejszej wartości kąta.<br />
<br />
::<math><br />
\frac{1}{\sqrt{17}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{85}}<br />
<<br />
\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{85}}<br />
<<br />
\frac{7}{\sqrt{85}}<br />
</math><br />
<br />
::<math><br />
\cos (\alpha _C)<\cos (\alpha _A)<\cos (\alpha _B)<br />
\qquad \Rightarrow \qquad \alpha _C>\alpha _A>\alpha _B<br />
</math><br />
<br />
Ten wynik należy zilustrować odpowiednim, w miarę dokładnym, rysunkiem.<br />
<br />
[[File:MatematykaOptykaOkularowa_cwicz_sem1_picture_3.svg]]<br />
<br />
==Zadanie==<br />
<br />
Udowodnić wzór cosinusów<br />
<br />
Mając dwa wektory <math>\vec{v}_1</math> i <math>\vec{v}_2</math>, chcemy wyrazić<br />
długość ich różnicy <math>|\vec{v}_2-\vec{v}_1|</math> przez<br />
<math>|\vec{v}_1|</math>, <math>|\vec{v}_2|</math> i <math>\vec{v}_2\cdot \vec{v}_1</math>.<br />
<br />
[[File:MatematykaOptykaOkularowa_cwicz_sem1_picture_4.svg]]<br />
<br />
<math>\begin{matrix}<br />
\left|\vec{v}_2-\vec{v}_1\right|^2<br />
&&\!\!\!\!\!\!\!\!\!<br />
=<br />
\left(\vec{v}_2-\vec{v}_1\right)\cdot \left(\vec{v}_2-\vec{v}_1\right)<br />
=<br />
\vec{v}_1\cdot \vec{v}_1+\vec{v}_2\cdot \vec{v}_2-2\,\vec{v}_1\cdot \vec{v}_2<br />
\\<br />
&&\!\!\!\!\!\!\!\!\!<br />
=<br />
\left|\vec{v}_1\right|^2+\left|\vec{v}_2\right|^2<br />
-2\left|\vec{v}_1\right|\cdot \left|\vec{v}_2\right|\cdot \cos \alpha _{12}<br />
\end{matrix}</math><br />
<br />
::<math><br />
c=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos \alpha }<br />
</math></div>
Anula